1、第五章三角函数51任意角和弧度制51.1任意角课程目标 1.了解任意角的概念,能正确区分正角、负角与零角,了解象限角的概念;2.理解并掌握终边相同角的概念,能写出终边相同角组成的集合 知识点一任意角1角的概念:角可以看成_一条射线_绕着它的_端点_旋转所成的图形2角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:类型定义图示正角一条射线绕其端点按_逆时针方向旋转_形成的角负角一条射线绕其端点按_顺时针方向旋转_形成的角零角一条射线_没有做任何旋转_,就称它形成了一个零角研读角的概念中,“旋转”是关键,要注意旋转方向和旋转量的大小 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)零角的始边与终边重合()(2)始
2、边与终边重合的角是零角()(3)360角是指一条射线绕其端点逆时针旋转一周所得的图形()(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了90.()【解析】 (1)符合零角的概念(2)始边与终边重合的角不一定是零角,也可以是其他角,如720角的始边与终边重合(4)钟表上的分针在一刻钟的时间里走了90. 知识点二象限角角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是_第几象限角_如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限研读象限角满足的条件:角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边不在坐标轴上 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)
3、50角是第四象限角()(2)钝角是第二象限的角()(3)180角不是象限角()(4)第一象限角都是锐角()【解析】 (4)第一象限角不一定都是锐角,如300是第一象限角,但不是锐角 知识点三终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S|_k360,kZ_,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与_整数个周角_的和 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)终边落在同一条射线上的角有无数个()(2)30角与330角的终边相同()(3)角与角的终边相同,则360.()(4)若180,则角与角的终边相反()【解析】 (1)根据终边相同的角的概念知说法正确(3)角与角的终边相同,则k
4、360(kZ). 下列结论中正确的是_(填序号)三角形的内角必是第一、二象限角;始边相同而终边不同的角一定不相等;小于90的角为锐角;第三象限角大于第二象限角;小于180的角是钝角、直角或锐角【解析】 90角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故不正确;始边相同而终边不同的角一定不相等,故正确;小于90的角可以是0角,也可以是负角,故不正确;终边落在第三象限的角可以是正角,也可以是负角,终边落在第二象限的角可以是正角也可以是负角,故不正确;0小于180,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故不正确 活学活用设A小于90的角,B锐角,C第一象限角,D小于90而不小于0的角,那么有(D)ABCABB
5、ACCDDCDB【解析】 小于90的角、锐角、第一象限角及小于90而不小于0的角的范围,如下表所示角集合表示小于90的角A|90锐角B|090第一象限角C|k360k36090,kZ小于90而不小于0的角D|090所以CDB. 在0360范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角(1)150;(2)650;(3)95015.解:(1)因为150360210,所以在0360范围内,与150角终边相同的角是210角,它是第三象限角(2)因为650360290,所以在0360范围内,与650角终边相同的角是290角,它是第四象限角(3)因为95015336012945,所以在0360
6、范围内,与95015角终边相同的角是12945角,它是第二象限角 活学活用给出下列四个命题:75角是第四象限角;225角是第三象限角;475角是第二象限角;315角是第一象限角其中真命题有(D)A1个 B2个C3个 D4个【解析】 对于:如图1所示,75角是第四象限角,正确;对于:如图2所示,225角是第三象限角,正确;对于:如图3所示,475角是第二象限角,正确;对于:如图4所示,315角是第一象限角,正确【迁移探究】已知是第四象限角,则角所在的象限是_第二或第四象限_【解析】 因为是第四象限角,所以k36090k360(kZ),所以k18045k180(kZ).当k为偶数时,是第四象限角;
7、当k为奇数时,是第二象限角所以角在第二或第四象限 已知290.(1)把改写成k360(kZ,0360)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求,使与终边相同,且1 000300.解:(1)因为29036070.所以把改写成k360(kZ,0360)的形式为36070,它是第一象限角(2)与290角终边相同的角为k36070(kZ),由1 000k36070300,得10736k37.因为kZ,所以k2,此时650.即所求满足条件的为650.规律方法1终边落在直线上的角的集合的步骤:(1)写出在0360范围内相应的角;(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合;(3)根据条件能合并一定合并,使结果
8、简洁2终边相同角常用的三个结论:(1)终边相同的角之间相差360的整数倍;(2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90的整数倍 活学活用如图,分别是终边在OA,OB位置上的两个角,且60,315.(1)求终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合;(2)求终边在阴影部分(不包括边界),且满足0360的角的集合解:(1)因为与角终边相同的一个角可以表示为45,所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为|k36045k36060,kZ(2)|060或3153601下列说法正确的是(A)A锐角是第一象限角B第二象限角是钝角C第三象限角都大于180D第
9、四象限角是负角【解析】 根据象限角的概念知,只有选项A正确2与390终边相同的最小正角是(D)A210 B30C60 D330【解析】 与390终边相同的角是k360390,kZ,当k2 时,330,即330为最小正角3与60角终边相同的角的集合是(B)A|k36060,kZB|k360300,kZC|k360120,kZD|k360300,kZ【解析】 因为30036060,所以300角与60角的终边相同,所以与60角终边相同的角的集合是|k360300,kZ4集合|k18045k18090,kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是(C)5已知1 120.(1)把写成k 360(kZ)的形式,其中0360;(2)写出与角终边相同的角的集合,并求出适合不等式7200的角.解:(1)用1 120除以360,商为4,余数为320,4360320.(2)与角1 120终边相同的角的集合是|k360320,kZ解法一:(赋值法)由所求角的范围,可得:当k2时,2360320400,当k1时,136032040,故400或40.解法二:(不等式法)由720k3603200,得k,kZ,k2或1.400或40.