1、2014-2015学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1（5分）若复数z=，则|等于（） A B C 1 D 【考点】： 复数求模【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数分母实数化，求出复数的共轭复数，然后利用模的求法法则，求解即可【解析】： 解：复数z=1+i，则|=|1i|=故选：D【点评】： 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力2（5分）设函数f（x）=2x+1（x0），则f（x）（） A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数【考点】： 基本不等式在最值问题中的应用【分析】： 利
2、用基本不等式求最值时，一定要注意满足的条件，不是正数提出负号后再用基本不等式【解析】： 解：x0，当且仅当即x=取等号故选项为A【点评】： 利用基本不等式求最值，注意“一正”“二定”“三相等”要同时满足3（5分）某一棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为（） A 8+4 B 20 C 12 D 8【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题【分析】： 由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，高为2，底面是一个矩形，边长分别为6，4据此即可计算出该几何体的侧面积【解析】： 解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，高为2，底面是一个矩形，边长分别为6，4如图所示，设对角线AC与BD相较于点O，则PO
3、=2分别取AB、BC的中点E、F，则OE=2，OF=3在RtPOE与RtPOF中，由勾股定理得PE=，PF=该几何体的侧面积S=2（+）=故选C【点评】： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键4（5分）下列函数中，周期为1的奇函数是（） A y=12sin2x B y=sinxcosx C y=tanx D y=sin（2x+）【考点】： 三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 对A先根据二倍角公式化简为y=cos2x为偶函数，排除；对于D验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案【解析】： 解：A，y=12sin2x=1（1cos
4、2x）=cos2x，由于f（x）=cos（2x）=cos2x=f（x），故为偶函数，不符合；B，对于y=sinxcosx=sin2x，为奇函数，且T=1，满足条件C，由正切函数的周期公式可得T=2，不符合；D，对于函数y=sin （2x+），f（x）=sin（2x+）sin（2x+），不是奇函数，排除故选：B【点评】： 本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin（wx+）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题，属于基础题5（5分）给定函数，y=|x1|，y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（） A B C D 【
5、考点】： 函数单调性的判断与证明【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；为增函数，为定义域上的减函数，y=|x1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，y=2x+1为增函数【解析】： 解：是幂函数，其在（0，+）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数y=x1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；中的函数图象为指数函数，因其底
6、数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选B【点评】： 本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件6（5分）已知O为坐标原点，点A（x，y）与点B关于x轴对称，则满足不等式的点A的集合用阴影表示（） A B C D 【考点】： 向量在几何中的应用【专题】： 计算题；压轴题；转化思想【分析】： 先求出点B的坐标，并用点A的坐标表示出+，最后把原不等式转化为x2+（y1）21，找出点所在的位置即可求出结论【解析】： 解：由题得：B（x，y），=（0，2y）+=x2+y2+2y=x2+（y1）21不等式转化为x2+（y1）21故满足要求的点在以（o，1）为圆心，1为半径的圆
7、上以及圆的内部故选C【点评】： 本题主要考查向量的基本运算以及计算能力和转化思想的应用，属于基础题7（5分）已知点A（0，2），B（2，0）若点C在函数y=x2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为（） A 4 B 3 C 2 D 1【考点】： 抛物线的应用【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数【解析】： 解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积
8、为2可得：=|a+a22|=2得：a2+a=0或a2+a4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得ABC的面积为2（即图中的三角形ABC1，ABC2，ABC3，ABC4）故应选：A【点评】： 本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想8（5分）如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（） A B C D 【考点】： 空间中直线与直线之间
9、的位置关系【专题】： 压轴题【分析】： 只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D【解析】： 解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2xcosD1BD=2是一次函数，所以排除D故选B【点评】： 本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）直线y=x被圆x2+（y2
10、）2=4截得的弦长为【考点】： 直线与圆相交的性质【专题】： 直线与圆【分析】： 确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长【解析】： 解：圆x2+（y2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2圆心到直线y=x的距离为直线y=x被圆x2+（y2）2=4截得的弦长为2=故答案为：【点评】： 本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长10（5分）若函数则不等式的解集为 3，1【考点】： 其他不等式的解法【专题】： 计算题；压轴题；转化思想【分析】： 先由分段函数的定义域选择解析式，
11、构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集【解析】： 解：由由不等式的解集为x|3x1，故答案为：3，1【点评】： 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法属于基础知识、基本运算11（5分）若向量，满足|=|=|+|=1，则的值为与的夹角是120【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出【解析】： 解：|=|=|+|=1，=1，即1+1+2=1，则=，与的夹角是120故答案为：120【点评】： 本题考查了向量的数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分
12、）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则F1PF2的大小为，F1PF2的面积为2【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 根据椭圆的方程，可得a=3，b=，c=由椭圆的定义，得|PF2|=2a|PF1|=2，在PF1F2中利用余弦定理，可算出F1PF2=，最后由正弦定理的面积公式，可得F1PF2的面积【解析】： 解：椭圆的方程为，a2=9，b2=2，可得a=3，b=，c=|PF1|=4，|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=6|PF1|=2PF1F2中，|F1F2|=2c=2，cosF1PF2=F1PF2（0，），F1PF2
13、=由正弦定理的面积公式，得F1PF2的面积为S=|PF1|PF2|sin=2故答案为：，2【点评】： 本题给出椭圆的焦点三角形PF1F2，求F1PF2的大小并求面积，着重考查了椭圆的简单几何性质、利用正余弦定理解三角形等知识点，属于基础题13（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 首先根据题意作出可行域，欲求区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值，由其几何意义为点A（1，0）到直线2xy=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案【解析】： 解：如图可行域为阴影部分，由其几
14、何意义为点A（1，0）到直线2xy=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d=，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于 故答案为：【点评】： 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题14（5分）已知f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2若xR，f（x）0或g（x）0，则m的取值范围是（4，0）【考点】： 复合命题的真假；全称命题【专题】： 简易逻辑【分析】： 由于g（x）=2x20时，x1，根据题意有f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时成立，根据二次函数的性质可求【解析】： 解：g（x）=2x2，当x1时，g（x）0，又xR，f
15、（x）0或g（x）0此时f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则4m0故答案为：（4，0）【点评】： 本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键三.解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明和演算步骤）15（12分）若Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列S1，S2，S4的公比（）若S2=4，求an的通项公式【考点】： 等比数列的性质；等差数列的通项公式【专题】： 计算题【分析】： 由若Sn是公差不为0的等差数列
16、an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列根据等差数列的前n项和公式，我们易求出基本量（即首项与公差）之间的关系（1）将基本量代入易得列S1，S2，S4的公比；（2）由S2=4，构造方程，解方程即可求出基本量（即首项与公差）的值，然后根据等差数列通项公式的概念，不难得到答案【解析】： 解：（）设数列an的公差为d，由题意，得S22=S1S4=所以（2a1+d）2=a1（4a1+6d）因为d0所以d=2a1故公比（）因为S2=4，d=2a1，S2=2a1+2a1=4a1，a1=1，d=2因此an=a1+（n1）d=2n1【点评】： 解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关
17、于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算16（14分）已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，且ab，试求角B和角C【考点】： 正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数【专题】： 解三角形【分析】： （1）将f（x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间为2k，2k+，xZ列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式，及f（
18、）=，求出sin（B）的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意B和C的度数【解析】： 解：（1）f（x）=cos（2x）cos2x=sin2xcos2x=sin（2x），令2k2x2k+，xZ，解得：kxk+，xZ，则函数f（x）的递增区间为k，k+，xZ；（2）f（B）=sin（B）=，sin（B）=，0B，B，B=，即B=，又b=1，c=，由正弦定理=得：sinC=，C为三角形的内角，C=或，当C=时，A=；当C=时，A=
19、（不合题意，舍去），则B=，C=【点评】： 此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17（14分）在长方形ABB1A1中，AB=2AA1=2，C，C1分别是AB，A1B1的中点（如图一）将此长方形沿CC1对折，使平面ACC1A1平面CBB1C1（如图二），已知D是AB的中点（）求证：BC1平面A1CD；（）求证：平面A1CD平面ABB1A1；（）求三棱锥C1A1CD的体积【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （I）利用正方形的性
20、质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理即可得出（）由AC=BC，D为AB中点，可得CDAB；利用线面垂直的判定定理可得：CC1平面ABC又可得BB1CD可得CD平面AA1B1B，即可证明：平面ACD平面AA1B1B（）作DHAC于H，由于 CC1平面ABC，可得DH平面ACC1A1利用V=即可得出【解析】： （）证明：连接AC1，设AC1A1C=E，连接DE，AC=AA1=1=CC1=A1C1，AA1AC，ACC1A1是正方形，E是AC1中点，又D为AB中点，EDBC1，又ED平面A1CD，BC1平面A1CD，BC1平面A1CD（）证明：AC=BC，D为AB中点，CDAB，CC1AC，CC1
21、BC，且相交，CC1平面ABCBB1CC1，BB1平面ABC，CD平面ABC，BB1CDCD平面AA1B1B，CD平面ACD，平面ACD平面AA1D1B（）解：作DHAC于H，由于 CC1平面ABCCC1DH，又DHAC，DH平面ACC1A1DH即为D到平面平面ACC1A1的距离又平面平面ACC1A1平面CBB1C1且交线是CC1，BC平面CBB1C1，BCCC1，BC平面平面ACC1A1BCAC，而DHAC，且BC=1，DH=，V=【点评】： 本题考查了正方形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（13分）函
22、数（1）若f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为，求实数a的值；（2）若f（x）在x=1取得极值，求函数f（x）的单调区间【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】： 综合题【分析】： （1）求出函数的导函数，把x=1代入导函数得到切线的斜率k，让k=即可得到a的值；（2）由f（x）在x=1取得极值得到f（1）=0，求出a的值，根据函数的定义域为x1，分区间利用x的范围讨论导函数的正负，得到函数的单调区间【解析】： 解：（1），若f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为，则所以，得a=1（2）因为f（x）在x=1处取得极值，所以f（1
23、）=0，即1+2a=0，a=3，因为f（x）的定义域为x|x1，所以有：所以，f（x）的单调递增区间是（，3），（1+），单调递减区间是（3，1），（1，1）【点评】： 考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究函数的极值19（14分）已知椭圆C：+=1（ab0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（）求椭圆C的方程；（）当AMN的面积为时，求k的值【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立
24、方程组，从而可求椭圆C的方程；（）直线y=k（x1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x1）的距离，利用AMN的面积为，可求k的值【解析】： 解：（）椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，b=椭圆C的方程为；（）直线y=k（x1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，|MN|=A（2，0）到直线y=k（x1）的距离为AMN的面积S=AMN的面积为，k=1【点评】： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的
25、关键是正确求出|MN|20（13分）已知点Pn（an，bn）（nN*）满足an+1=anbn+1，且点P1的坐标为（1，1）（）求经过点P1，P2的直线l的方程；（） 已知点Pn（an，bn）（nN*）在P1，P2两点确定的直线l上，求证：数列是等差数列（）在（）的条件下，求对于所有nN*，能使不等式（1+a1）（1+a2）（1+an）成立的最大实数k的值【考点】： 数列与解析几何的综合；数列与不等式的综合【专题】： 计算题【分析】： （）由，知由此知过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1（）由Pn（an，bn）在直线l上，知2an+bn=1故bn+1=12an+1由an+1=anbn+1
26、，得an+1=an2anan+1由此知是公差为2的等差数列（）由，知所以，依题意恒成立设，所以只需求满足kF（n）的F（n）的最小值【解析】： 解：（）因为，所以所以（1分）所以过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1（2分）（）因为Pn（an，bn）在直线l上，所以2an+bn=1所以bn+1=12an+1（3分）由an+1=anbn+1，得an+1=an（12an+1）即an+1=an2anan+1所以所以是公差为2的等差数列（5分）（）由（）得所以所以（7分）所以（8分）依题意恒成立设，所以只需求满足kF（n）的F（n）的最小值（10分）因为=，所以F（n）（xN*）为增函数（12分）所以所以所以（14分）【点评】： 本题考查数列与解析几何的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用公式
