1、24.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一) 学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直知识链接1如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功W是多少？答W|F|s|cos .2向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答向量的数量积ab是一个实数，不考虑方向；数乘向量a是一个向量，既有大小，又有方向预习导引1两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b
2、，并规定它的范围是0a，b.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，bb，a(2)当a，b时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作ab.2平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为，则向量a在b方向的投影是|a|cos ，向量b在a方向上的投影是|b|cos .3数量积的几何意义ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积要点一平面向量数量积
3、的基本概念例1下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影长其中正确的是_答案解析由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b共线ab|a|b|，所以错对于，应有|a|b|ab，所以错；对于，应该是aaa|a|2a，所以错；a2b22|a|b|2ab，故正确；当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；|b|cos 表示
4、向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故错综上可知正确规律方法对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等跟踪演练1已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为()ab|a|b|ab；a、b反向ab|a|b|；ab|ab|ab|；|a|b|ac|bc|.A1 B2 C3 D4答案C解析ab|a|b|cos ，由ab|a|b|及a、b为非零向量可得cos 1，0或.ab，且以上各步均可逆，故命题是真命题若a、b反向，则a、b的夹角为，ab|
5、a|b|cos |a|b|，且以上各步均可逆，故命题是真命题当ab时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|ab|ab|.反过来，若|ab|ab|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，ab，故命题是真命题当|a|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|ac|bc|，反过来由|ac|bc|也推不出|a|b|.故命题是假命题综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题要点二平面向量数量积的基本运算例2已知|a|3，|b|6，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab.解当ab时，若a与b同向，则它们的
6、夹角0，ab|a|b|cos 036118；若a与b反向，则它们的夹角180，ab|a|b|cos 18036(1)18；当ab时，它们的夹角90，ab0；当a与b的夹角是60时，有ab|a|b|cos 60369.规律方法(1)非零向量共线的充要条件是ab|a|b|，因此，当ab时，有0或180两种可能；(2)非零向量abab0；(3)两个向量的数量积ab|a|b|cos ，与它们的夹角有关，夹角范围是0，180跟踪演练2若向量a、b、c满足abc0，且|a|3，|b|1，|c|4，求abbcca.解方法一由已知得|c|a|b|，cab，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向abbcca3c
7、os 04cos 18012cos 180341213.方法二(abc)2a2b2c22(abbcca)，abbcca13.要点三与向量的模有关的问题例3已知|a|3，|b|4，求|ab|的取值范围解方法一|a|b|ab|a|b|，1|ab|7，即|ab|的取值范围是1,7方法二|ab|2a2b22aba2b22|a|b|cos 2524cos ，为两向量a、b的夹角，0，|ab|21,49，|ab|1,7规律方法运用向量不等式|a|b|ab|a|b|，注意等号成立的条件；解法二中将模平方，这是处理向量模的问题的基本方法，也是常用的方法，并且平方后往往涉及数量积的运算跟踪演练3已知向量a，b满
8、足|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab|.解|ab|4，|ab|242，a22abb216.|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入式得42ab916，得2ab3.又(ab)2a22abb243910，|ab|.要点四向量的夹角与垂直问题例4已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角解e1，e2为单位向量且夹角为60，e1e211cos 60.ab(e1e2)(e22e1)2e1e2121，|a| ，|b| ，cos .又0，180，120.a与b的夹角为120.规律方法要注意向量数量积性质的正确运用，以及向量夹角的范围，注意0，当cos 0时
9、，0，)；当cos 0时，(，；当cos 0时，.由2abb2，不能推出2ab，同样由a2b2也不能得出ab或ab.跟踪演练4已知向量a、b不共线，且|2ab|a2b|，求证：(ab)(ab)证明|2ab|a2b|，(2ab)2(a2b)2.a2b2.(ab)(ab)a2b20.又a与b不共线，ab0，ab0，(ab)(ab).1若acbc(c0)，则()AabBabC|a|b|Da在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等答案D解析设a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，acbc，|a|c|cos 1|b|c|cos 2，即|a|cos 1|b|cos 2，故选D.2若向量a，b满足|a|b|
10、1，a与b的夹角为120，则aaab_.答案解析aaab1211cos 120.3在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_答案25解析易知|2|2|2，C90.cos B，cos，cos(180B)cos B.|cos(180B)13525.4已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).解(1)与的夹角为60.|cos 6011.(2)与的夹角为120.|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90
11、时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆3b在a方向上的投影：|b|cos 是一个数量而不是向量具体情况可以借助下表分析：的范围00909090180180图形b在a方向上的投影的正负正正0负负一、基础达标1已知a、b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b等于()A1 B0 C1 D2答案B解析因为a、b为单位向量，且其夹角为60，所以ab11cos 60，(2ab)b2abb2210.2已知|a|9，|b|6，ab54，则a与b的夹角为()A45 B135 C120 D150答案B解析cos
12、，0180，135.3已知|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的投影等于()A3 B2 C2 D1答案D解析a在b方向上的投影是|a|cos 2cos 1201.4已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于()A. B C D1答案A解析(3a2b)(ab)3a2(23)ab2b23a22b212180.5已知|a|2，|b|1，a(ab)5，则a，b夹角的余弦值为()A. B. C. D.答案A解析a(ab)a2ab5，ab1.cosa，b.6已知|a|2，|b|10，a，b120，则向量b在向量a方向上的投影是_，向量a在向量b方向上的投
13、影是_答案51解析b在a方向上的投影为|b|cosa，b10cos 1205，a在b方向上的投影为|a|cosa，b2cos 1201.7已知ABC中，a，b，当ab满足下列条件时，能确定ABC的形状吗？(1)ab0.解ab|cos A.(1)当ab0时，A为锐角，ABC的形状不确定二、能力提升8设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b等于()A150 B120 C60 D30答案B解析abc，|c|2|ab|2a22abb2.又|a|b|c|，2abb2，即2|a|b|cosa，b|b|2.cosa，b，a，b120.9设e1，e2为单位向量且e1，e2的夹角为，若ae13e
14、2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_答案解析向量a在b方向上的射影为|a|cosa，b.|b|2，ab(e13e2)2e12e6e1e2265，所以向量a在b方向上的射影为.10已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2，则|a|_.答案3解析|a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e|212e1e24|e2|29121149.|a|3.11如图，在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM2，求()的最小值解设t，0t1，则22t，t(t1)，()2(t1)t28(t1)t8t28t822，当t时，()有最小值2.12在ABC中，已知|5，|4，|3，求：(1)；(2)在方向上的投影；(3)在方向上的投影解|5，|4，|3.ABC为直角三角形，且C90.cos A，cos B.(1)5416；(2)|cos，；(3)|cos，4.三、探究与创新13已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.答案2解析因为已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则0，故()()()2240042.
