1、北京市第七中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合、，由图可知阴影部分区域所表示的集合为，由此可得结果.【详解】或，所以，由图可知，阴影部分区域所表示的集合为.故选：C.2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3
2、. 下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可【详解】y为奇函数，不符合题意，y为偶函数，在区间单调递增，符合题意，定义域为（0，+），是非奇非偶函数，不符合题意，是偶函数，且x0时，y1-x单调递减，不符合题意故选：B4. 如果实数，满足：，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果【详解】对于选项A，当c=0时，ac2=bc2，故选项A错误；对于选项B，当时，a2b2c2错误；对于选项C，当
3、a=1，b=0，时，a+c2b错误；对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出，故选项D正确故选：D【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.5. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性和正弦函数的单调性，运用中间数比较法进行求解即可.【详解】，因此.故选：D.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关对数值、正弦值之间数值的大小比较问题，解题思路如下：（1）利用对数函数和正弦函数的单调性，比较值之间的大小；（2）利用中介值比较大小.6. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位
4、D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可.【详解】根据函数平移变换,由变换为,只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.7. 设、为实数，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的单调性得出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义可得出结论.【详解】因为指数函数为上的减函数，则.，但因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.8. 函数在区
5、间上的零点个数为（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】作出函数和函数在区间上的图象，数形结合可得出结果.【详解】由可得，则函数在区间上的零点个数即为函数和函数在区间上的图象的交点个数，如下图所示：由图象可知，函数和函数在区间上的图象有两个交点.因此，函数在区间上的零点个数为.故选：B.【点睛】利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点9. 已知是定义在上的函数，的图象如图所示，那么不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分和两种情况解不等式即可得解.【详解】当时，由可
6、得，解得；当时，由可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：C.10. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.1的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为由题意可得：则数列为首项为，公比为的等比数列即则视力4.9的视标边长为故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题
7、5分，共25分.把答案填在题中横线上.11. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为.故答案为：.【点睛】求解函数的定义域的求解策略：1、根据函数的解析式有意义，列出不等式（组），取交集求得函数的定义域；2、若函数用图象给出，则图象在轴上的投影所覆盖的的集合即为定义域；3、若函数用表格给出，则表格中的集合即为定义域.12. 已知，则的最小值为_，此时x的值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先将变形为，再根据基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即
8、时等号成立.故答案为：；.【点睛】本题考查基本不等式求最小值，是基础题.13. 若角的终边经过点，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用三角函数定义求得，再结合诱导公式及二倍角正弦公式求解【详解】若角的终边经过点，则故答案为：；14. 已知函数若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】讨论的取值范围，分别代入对应解析式即不等式即可求出的取值范围.【详解】由，若，当时，则，解得 当，则，解得 综上所述，或，故答案为：.【点睛】关键点点睛：该题考查了求解分段函数的不等式，在解题的过程中，关键点是需要分类讨论，属于中档题.15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关
9、企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；
10、甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确；故答案为：【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在锐角ABC中，角A、B、C的对边长分别为a，b，c，已知b=5，（1）求边c的值；（2）求sinC的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析
11、】（1）由b的值和的值,利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,让面积等于得到关于c的方程,求出才的解即可得到c的值; （2）由三角形为锐角三角形,得到A的范围,由的值,利用同角三角函数间的基本关系即可求出的值,然后由b,c和的值即可求出的值,再由和的值,利用正弦定理即可求出的值.【详解】（1）由,则,可得,解得（2）由锐角中可得:,由余弦定理可得:, 所以由正弦定理:,即.【点睛】本题考查学生灵活运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值,灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.17. 已知函数.（1）求在点处的切线方程
12、；（2）求的单调区间；（3）若的定义域为时，值域为，求的最大值.【答案】（1）；（2）的单调递增区间为、；单调递减区间为；（3）3.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程；（2）令和分别可得单调递减和递增区间；（3）根据在上的单调性，结合；以及值域为可得，从而可得结果.【详解】（1）由，得，所以所以切线方程为，即：（2）令，得，令，得或，.所以的单调递增区间为、；单调递减区间为.（3）由（1）知，函数在区间和上单调递增；在区间上单调递减，且；.所以当时，的值域为；当时，的值域为.所以的最大值等于.【点睛】关键点点睛：第3问根据在上的单调性，利用；以及值域
13、为解题是关键.18. 在中，.（1）求；（2）若，.求.从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】（1） （2）时，；时，【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角得，再根据两角和与差的正弦、余弦公式变形可得，再根据角的范围可得结果；（2）若选，根据余弦定理可得结果；若选，先求出，再根据正弦定理可得结果【详解】（1）因为，所以.又因为，所以，即.所以.又因为，所以，所以.（2）若选，则在中，由余弦定理，得，解得或（舍）.所以.若选，则，由正弦定理，得，解得.所以.【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题.19. 已知函数，且的最小正周期为
14、.（）若，求的值；（）求函数的单调增区间.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）由已知可得，且由，得，解三角方程并注意，取相应范围的根；（）将变形为，利用复合函数的单调性，只需，解不等式并表示成区间的形式，即得单调递增区间.试题解析：（）解：因为的最小正周期为，所以，解得由，得，即，所以，.因为 ，所以.（）解：函数，由，解得所以函数的单调增区间为.考点：1、三角方程；2、两角和与差的三角函数；3、三角函数的单调性.20. 已知函数.（1）若函数是奇函数，直接写出的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）若在区间上恒成立，求的最大值.【答案】（1）0；（2）当时，无递减区间；当时，的单调递减
15、区间是；当时，的单调递减区间是；（3）1.【解析】【分析】（1）令，根据函数是奇函数，由求解.（2）求导，分，和三种情况，由求解. （3）将在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立求解.【详解】（1）已知函数，所以，因为函数是奇函数，所以，即，所以，解得.（2）.当时，在内单调递增；当时，由得：；当时，由得：.综上所述，当时，无递减区间；当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是.（3）因为在区间上恒成立，即在区间上恒成立.所以在区间上恒成立.因为，所以.所以.所以若在区间上恒成立，的最大值为1.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；（2）能成立：；.若
16、能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；（2）能成立：；21. 已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）若直线是曲线的切线，求实数的值；（3）设，求在区间上最大值.（其中为自然对数的底数）【答案】（1）的单调递减区间是和，单调递增区间是（0,2）（2）（3）当时，最大值为，当时，的最大值为【解析】【详解】（1），或，故函数的单调递增区间为（0,2），单调递减区间是和.（2）设切点为（x,y）,由切线斜率得由，当x=1时，得a=1,当时，得a=1,当时，无解，故所求实数a的值为1.（3），当时，单调递增，最大值，当时，单调递减，的最大值为，当时，函数先减后增，最大值为g(1)或g(e),设，即时，即时，即时，最大值为g(1),若时，最大值为g(e),综上，当时，最大值为，当时，的最大值为【点睛】本试题主要是考查了运用导数的思想来求解函数的单调区间和函数的最值问题，以及曲线在某点的切线方程的综合运用（1根据函数求解导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调区间（2）根据给定的切线方程得到切点的坐标，进而得到参数的值（3）对于函数的最值问题，根据给定的函数，求解导数，运用导数的符号判定单调性，和定义域结合得到最值
