1、天津市南开区南大奥宇培训学校2019-2020学年高二数学下学期第三次月考试题（含解析）时间为120分钟，满分150分.一选择题(本大题共9小题，共45.0分)1. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，命题“”的否定是，故选：B.【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.2. 设，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数及对数函数的性质，借助中间量0或1即可求解.【详解】解：因为，所以，.故选
2、：D.【点睛】方法点睛：比较大小的常用方法为：（1）化为同底数、同指数或同真数的对数式和指数式，利用其单调性进行比较，（2）借助于中间值0和1进行比较.3. 不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】【分析】求出不等式成立的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可.【详解】解：解不等式，得：或，故不等式成立的一个必要不充分条件是：或，故选：B.【点睛】结论点睛：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应
3、集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分也不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含.4. 若，且，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】从题设可得，则，应选答案A5. 若向量满足条件与共线，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】向量，所以，所以与共线，所以，截得，故选B.6. 以下命题中正确的是（ ）A. 以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥D. 圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形的半径为圆锥底面圆的半径【答案】A【解析】【分析】根据空间几
4、何体的结构特征进行判断【详解】解：对于A，由圆锥的定义可知A正确；对于B，若旋转轴不是直角梯形的直腰，则旋转体不是圆台，故B错误；对于C，若其余各面三角形没有公共顶点，则几何体不是棱锥，故C错误；对于D，圆锥的侧面展开图的半径是圆锥的母线，故D错误，故选A【点睛】本题考查了旋转体与多面体的结构特征，考查学生对常见几何体的掌握情况，属于基础题7. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A. (1,3)B. (1,)C. (0,3)D. (0,)【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A【考点】双
5、曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.8. 用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为（ ）.A. 2B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】由球的体积，得球的半径是，利用球的截面的性质，即可求解【详解】设球的半径为，截面圆的半径为，由球的体积，得球的半径是，截面的面积为，则截面圆的半径是，所以球心到截面的距离为.故选C.【点睛】本题主要考查了球的截面的性质的应用，其中解答中熟记球的截面的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题9. 已知数列满足递推关系，则
6、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果.【详解】由，所以则，又，所以所以数列是以2为首项，1为公比的等差数列所以，则所以故选：B【点睛】本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题.二填空题(本大题共6小题，共30.0分)10. 已知直线经过点，则该直线的倾斜角为_.【答案】【解析】【分析】根据斜率公式，即可求解.【详解】由，可得直线的斜率.设直线的倾斜角为，则，.故答案为：.【点睛】本题考查斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题.11. 已知命题p：nN，n22n，则p为_【答案】
7、n0N，n2n0.【解析】【分析】根据全称命题“”否定为特称命题“”可得结果.【详解】利用全称命题的否定为特称命题，全称量词改写为存在量词，可得命题p：nN，n22n的否定p为n0N，n.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.12. 7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有_种【答案】1440【解析】【分析】因为要求不相邻，采用插空法来解，先排列另外四人，有种结果，再在排列好的四人的
8、5个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，根据分步计数原理相乘得到结果详解】解：7个人站成一排，若甲、乙、丙彼此不相邻，采用插空法来解，先排列甲、乙、丙之外的4人，有种结果，再在排列好的4人的5个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，根据分步计数原理知共有种结果，故答案为：1440【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空里，排列不相邻的元素属于基础题13. 某高级中学共有名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取个容量为的样本，其中高一年级抽人，高三年级抽人则该校高二年级学生人数为_【答案】300【解析】由题意得高二年级应抽
9、取人，则高二年级学生人数为，故答案为.点睛：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一；用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，根据高一年级抽人，高三年级抽人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有名学生，算出高二年级学生人数.14. 等差数列，的前项和分别为，且，则_【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质可得，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，由等差数列的性质，可得，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前项和，熟记等差
10、数列的性质与前项和公式，即可得出结果.15. 过点作斜率为直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 【答案】【解析】试题分析：设A ，B ，则，M是线段AB的中点，直线AB的方程是，过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（ab0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得，即考点：椭圆的简单性质三解答题(本大题共5小题，共75.0分)16. 已知数列的前n项的和为，且，其中.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用关系式，求出数列的通项公式（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和.【详解】解：（1）当时
11、，故：.当时，且符合上式.故数列的通项公式为：.（2）由题可知，则：，得：，整理得：，则：.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有，等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.17. 如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,交于点,为中点,.（1）求证:;（2）求证:平面;（3）求二面角的大小.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）.【解析】【分析】（1
12、）要证明,只需证明面,即可求得答案;（2）要证明平面,只需证,即可求得答案;（3）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求得平面的法向量和平面的法向量,根据,即可求得答案.【详解】（1）正方形和矩形所在的平面互相垂直,平面,平面,是正方形,面,平面,. （2）连结,如图:交于点,为的中点,四边形是平行四边形,又不包含于平面平面,平面. （3）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图:,设平面的法向量,则,取,可得,又平面的法向量,二面角的平面角为.【点睛】本题主要考查了求证异面直线垂直和线面平行,及其向量法求二面角,解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直和向量法求二面角的
13、解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.18. 已知抛物线的标准方程是.（1）求它的焦点坐标和准线方程；（2）直线过已知抛物线的焦点且倾斜角为45，且与抛物线的交点为，求的长度.【答案】(1)焦点为，准线方程：；(2)12.【解析】试题分析：（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可试题解析：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，=焦点为F（，0），准线方程：x=，（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45，直线L的方程为
14、y=x，代入抛物线y2=6x化简得x29x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12故所求的弦长为12点睛：本题考查了直线与怕西安的位置关系中的弦长公式的应用，本题的解答中根据直线过抛物线的焦点，根据抛物线的定义，抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化同时如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化19. 如
15、图，边长为5的正方形与矩形所在平面互相垂直，分别为的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）利用为正方形，可得，根据面面垂直的性质，可得平面；（2）连接，利用三角形中位线的性质，证明，利用线面平行的判定，可得平面；（3）过点作交线段于点，即为所求，利用，可求的长.试题解析：（1）是正方形，又平面平面且平面平面， (2)连接是矩形，是的中点，是的中点，又是的中点，而平面，平面，平面 (3)过点作交线段于点，则点即为所求.平面，又，平面，与相似，而，.20
16、. 已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）设椭圆的半焦距为c，则由题设，得：，解得a，c的值，即可求出b的值，从而可得椭圆C的方程；（2）设点，将直线l的方程代入，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值.【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为c，则由题设，得：解得所以，故所求椭圆C方程为.（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下：设点，将直线l的方程代入，并整理，得因为点在椭圆的内部，所以，则，因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即.又，于是，解得，所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.【点睛】关键点点睛：解决直线与圆锥曲线相交的相关问题时，关键在于将目标条件转化到交点的坐标上去，用关于交点坐标的韦达定理表示，在转化时，注意运用平面几何的相关知识.
