1、江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2020届高三数学第二次调研考试（4月）试题(满分160分，考试时间120分钟)20204参考公式：柱体的体积公式：V柱体Sh，其中S为柱体的底面积，h为高锥体的体积公式：V锥体Sh，其中S为锥体的底面积，h为高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合A1，4，Ba5，7若AB4，则实数a的值是_2. 若复数z满足2i，其中i是虚数单位，则z的模是_(第4题)3. 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量(单位：吨)分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则该农作物的年平均产量是_吨4. 如图是一个算
2、法流程图，则输出S的值是_5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头，甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是_6. 在ABC中，已知B2A，ACBC，则A的值是_7. 在等差数列an(nN*)中，若a1a2a4，a83，则a20的值是_(第8题)8. 如图，在体积为V的圆柱O1O2中，以线段O1O2上的点O为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1，V2，则的值是_9. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q.
3、若APQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是_10. 在平面直角坐标系xOy中，点P在直线y2x上，过点P作圆C：(x4)2y28的一条切线，切点为T.若PTPO，则PC的长是_11. 若x1，则2x的最小值是_12. 在平面直角坐标系xOy中，曲线yex在点P(x0，ex0)处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数若点B(x0，0)，PAB的面积为3，则x0的值是_13. 如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2)，其中OA1A1A2A2A3A7A81，则的值是_14. 设函数f(x)若存在实数m，使得关于x的方程f(x)m有
4、4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a(cos ，sin )，b(cos()，sin()，其中0.(1) 求(ba)a的值；(2) 若c(1，1)，且(bc)a，求的值16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点求证：(1) PQ平面ABC；(2) PQ平面ABB1A1.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x3)2
5、y21，椭圆E：1(ab0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切(1) 求椭圆E的方程；(2) 设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当ANAM时，求直线l的方程18. (本小题满分16分)某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉方案是：先建造一条直道DE将ABC分成面积之比为21的两部分(点D，E分别在边AB，AC上)；再取DE的中点M，建造直道AM(如图)设ADx，DEy1，AMy2(单位：百米)(1) 分别求y1，y2关于x的函数关系式；(2) 试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值19. (
6、本小题满分16分)若函数f(x)在x0处有极值，且f(x0)x0，则称x0为函数f(x)的“F点”(1) 设函数f(x)kx22ln x(kR) 当k1时，求函数f(x)的极值； 若函数f(x)存在“F点”，求k的值；(2) 已知函数g(x)ax3bx2cx(a，b，cR，a0)存在两个不相等的“F点”x1，x2，且|g(x1)g(x2)|1，求a的取值范围20. (本小题满分16分)在等比数列an中，已知a11，a4.设数列bn的前n项和为Sn，且b11，anbnSn1(n2，nN*)(1) 求数列an的通项公式；(2) 求证：数列是等差数列；(3) 是否存在等差数列cn，使得对任意nN*，
7、都有Sncnan？若存在，求出所有符合题意的等差数列cn；若不存在，请说明理由2020届高三模拟考试试卷 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A的逆矩阵A1.若曲线C1：y21在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线C2，求曲线C2的方程B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C的方程为r(r0)，直线l的方程为cos().设直线l与曲线C相交于A，B两点，且AB2，求r的值C. (选修4
8、5：不等式选讲)已知实数x，y，z满足2，求证：.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺维持营业，否则该店就停业(1) 求发生调剂现象的概率；(2) 设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望23.我们称n(nN*)元有序实数组(x1，x2，xn)为n维向量，为该向量的范数已知n维向量a(x1，x2，xn)，其中xi1，0，1，i1，2，n.记范数为奇数的n维向量a的个数
9、为An，这An个向量的范数之和为Bn.(1) 求A2和B2的值；(2) 当n为偶数时，求An，Bn(用n表示)2020届高三模拟考试试卷(七市联考)数学参考答案及评分标准1. 92. 3. 104. 5. 6. 7. 158. 9. 210. 11. 812. ln 613. 14. (，1)15. 解：(1) 因为向量a(cos ，sin )，b(cos()，sin()，所以(ba)aaba2(2分)cos cos()sin sin()(cos2sin2)(4分)cos()11.(6分)(2) 因为c(1，1)，所以bc(cos()1，sin()1)因为(bc)a，所以cos()1sin s
10、in()1cos 0.(9分)于是sin cos sin()cos cos()sin ，从而sin()sin ，即sin().(12分)因为0，所以，于是，即.(14分)16. 证明：(1) 取AB的中点D，连结PD，CD.在ABB1中，因为点P，D分别为AB1，AB中点，所以PDBB1，且PDBB1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1BB1，CC1BB1.因为点Q为棱CC1的中点，所以CQBB1，且CQBB1.(3分)于是PDCQ，PDCQ.所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQCD.(5分)因为CD平面ABC，PQ平面ABC，所以PQ平面ABC.(7分)(2) 在直三棱柱ABCA1B
11、1C1中，BB1平面ABC.又CD平面ABC，所以BB1CD.因为CACB，点D为AB中点，所以CDAB.(10分)由(1)知CDPQ，所以BB1PQ，ABPQ.(12分)因为ABBB1B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以PQ平面ABB1A1.(14分)17. 解：(1) 记椭圆E的焦距为2c(c0)因为右顶点A(a，0)在圆C上，右准线x与圆C：(x3)2y21相切，所以解得于是b2a2c23，所以椭圆E的方程为1.(4分)(2) (解法1)设N(xN，yN)，M(xM，yM)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)由方程组消去y，得(4k23)x216k2x1
12、6k2120.所以xN2，解得xN.(6分)由方程组消去y，得(k21)x2(4k26)x4k280，所以xM2，解得xM.(8分)因为ANAM，所以2xN(xM2)，(10分)即，解得k1.(12分)所以直线l的方程为xy20或xy20.(14分)(解法2)设N(xN，yN)，M(xM，yM)，当直线l与x轴重合时，不符题意设直线l的方程为xty2(t0)由方程组消去x，得(3t24)y212ty0，所以yN.(6分)由方程组消去x，得(t21)y22ty0，所以yM.(8分)因为ANAM，所以yNyM.(10分)即，解得t1.(12分)所以直线l的方程为xy20或xy20.(14分)18.
13、 解：(1) 因为SADESABC，ABC是边长为3的等边三角形，又ADx，所以ADAEsin (32sin )，所以AE.(2分)由得2x3.(解法1)在ADE中，由余弦定理得DE2AD2AE22ADAEcos x26.所以，直道 DE的长度y1关于x的函数关系式为y1，x2，3(6分)在ADM和AEM中，由余弦定理得AD2DM2AM22DMAMcosAMD，AE2EM2AM22EMAMcos(AMD).(8分)因为点M为DE的中点，所以DMEMDE.由，得AD2AE2DM2EM22AM2DE22AM2.所以x2()2(x26)2AM2，所以AM2.所以，直道AM的长度y2关于x的函数关系式
14、为y2，x2，3(10分)(解法2)在ADE中，因为，所以2222()22xcos x2x26.所以，直道DE的长度y1关于x的函数关系式为y1，x2，3(6分)在ADE中，因为点M为DE的中点，所以()(8分)所以2(222)(x26)所以，直道AM的长度y2关于x的函数关系式为y2，x2，3(10分)(2) 由(1)得，两条直道的长度之和为DEAMy1y2(12分)(当且仅当即x时取“”)(14分)答：当AD百米时，两条直道的长度之和取得最小值()百米(16分)19. 解：(1) 当k1时，f(x)x22ln x(kR)，所以f(x)(x0)令f(x)0，得x1.(2分)列表如下：x(0，
15、1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)在x1处取得极小值，极小值为1，无极大值(4分) 设x0是函数f(x)的一个“F点”(x00)因为f(x)(x0)，所以x0是函数f(x)的零点所以k0.由f(x0)0，得kx1，x0.由f(x0)x0，得kx2ln x0x0，即x02ln x010.(6分)设(x)x2ln x1，则(x)10，所以函数(x)x2ln x1在(0，)上单调递增，注意到(1)0，所以方程x02ln x010存在唯一实数根1，所以x01，得k1.根据知，k1时，x1是函数f(x)的极小值点，所以1是函数f(x)的“F点”综上，实数k的值为1.(9分)(2) 因
16、为g(x)ax3bx2cx(a，b，cR，a0)，所以g(x)3ax22bxc(a0)因为函数g(x)存在不相等的两个“F点”x1和x2，所以x1，x2是关于x的方程的两个相异实数根由ax3bx2cxx得x0，ax2bxc10.(11分) 当x0是函数g(x)一个“F点”时，c0且x，所以a()2b()10，即9a2b2.又|g(x1)g(x2)|x1x2|1，所以4b29a2，所以9a22(9a)又a0，所以2a0.(13分) 当x0不是函数g(x)一个“F点”时，则x1，x2是关于x的方程的两个相异实数根又a0，所以解得所以ax2，得x1，2.所以|g(x1)g(x2)|x1x2|21，得
17、2a0.综上，实数a的取值范围是2，0)(16分)20. (1) 解：设等比数列an的公比为q，因为a11，a4，所以q3，解得q.所以数列an的通项公式为an()n1.(3分)(2) 证明：由(1)得，当n2，nN*时，()n1bnSn1，所以()nbn1Sn，得bn1bn()n，(5分)所以1，即1，n2，nN*.因为b11，由得b20，所以0(1)1，所以1，nN*.所以数列是以1为首项，1为公差为等差数列(8分)(3) 解：由(2)得n2，所以bn，Sn2(an1bn1)2().假设存在等差数列cn，其通项cndnc，使得对任意nN*，都有Sncnan，即对任意nN*，都有dnc.(1
18、0分)首先证明满足的d0.若不然，d0，则d0，或d0.() 若d0，则当n，nN*时，cndnc1an，这与cnan矛盾() 若d0，则当n，nN*时，cndnc1.而Sn1Sn0，S1S2S3，所以SnS11.故cndnc1Sn，这与Sncn矛盾所以d0.(12分)其次证明：当x7时，f(x)(x1)ln 22ln x0.因为f(x)ln 2ln 20，所以f(x)在7，)上单调递增，所以当x7时，f(x)f(7)6ln 22ln 7ln 0.所以当n7，nN*时，2n1n2.(14分)再次证明c0.() 若c0时，则当n7，n，nN*，Snc，这与矛盾() 若c0时，同()可得矛盾所以c
19、0.当cn0时，因为Sn0，an()n10，所以对任意nN*，都有Sncnan.所以cn0，nN*.综上，存在唯一的等差数列cn，其通项公式为cn0，nN*满足题设(16分)2020届高三模拟考试试卷(七市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为AA1E，所以，即.所以解得所以A.(4分)设P(x，y)为曲线C1上任一点，则y21.又设P(x，y)在矩阵A变换作用下得到点Q(x，y)，则，即，所以即代入y21，得y2x21，所以曲线C2的方程为x2y21.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，于是曲线C：r(r0)的直角坐标方程为x2
20、y2r2，表示以原点为圆心，半径为r的圆(3分)由直线l的方程cos()，化简得cos cos sin sin ，所以直线l的直角坐标方程为xy20.(6分)记圆心到直线l的距离为d，则d.又r2d2()2，即r2279，所以r3.(10分)C. 证明：因为2，所以1111.(5分)由柯西不等式得()()()2，所以()22.所以.(10分)22. 解：(1) 记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件Ai(i0，1，2)，B店有i人休假记为事件Bi(i0，1，2)，发生调剂现象的概率为P，则P(A0)P(B0)C()2，P(A1)P(B1)C()2，P(A2)P(B2)C()2.所以PP
21、(A0B2)P(A2B0).答：发生调剂现象的概率为.(4分)(2) 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X0)P(A2B2)，P(X1)P(A1B2)P(A2B1).P(X2)1P(X0)P(X1)1.(8分)所以X的分布列为X012P所以E(X)210.(10分)23. 解：(1) 范数为奇数的二元有序实数对有(1，0)，(0，1)，(0，1)，(1，0)，它们的范数依次为1，1，1，1，故A24，B24.(3分)(2) 当n为偶数时，在向量a(x1，x2，x3，xn)的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为1，3，n1进行讨论：a的n个坐标中含1
22、个0，其余坐标为1或1，共有C2n1个，每个a的范数为n1；a的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或1，共有C2n3个，每个a的范数为n3；a的n个坐标中含n1个0，其余坐标为1或1，共有C2个，每个a的范数为1；所以AnC2n1C2n3C2，Bn(n1)C2n1(n3)C2n3C2.(6分)因为(21)nC2nC2n1C2n2C，(21)nC2nC2n1C2n2(1)nC，得C2n1C2n3，所以An.(8分)(解法1)因为(nk)C(nk)nnC，所以Bn(n1)C2n1(n3)C2n3C2n(C2n1C2n3C2)2n(C2n2C2n4C)2n()n(3n11)(10分)(解法2)得C2nC2n2.因为kCknnC，所以Bn(n1)C2n1(n3)C2n3C2n(C2n1C2n3C2)C2n13C2n3(n1)C2nAnn(C2n1C2n3C2)n()n(3n11)(10分)
