1、第一章三 角 函 数 1周 期 现 象2角的概念的推广1问题导航(1)连续抛一枚硬币，面值朝上我们记为0，面值朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性地重复出现？(2)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？(3)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转第一次到x轴的正半轴所形成的角为90，这种说法是否正确？2例题导读P4例1，例2，例3.通过此三例学习，学会利用周期现象的定义判断一种现象是否为周期现象试一试：教材P5习题11 T1，T2，T3你会吗？P7例1.通过本例学习，学会判断一个角是第几象限角试一试：教材P8习题12 T1，T2你会吗？P7例2.通过本例学习，
2、学会写出终边落在坐标轴上的角的集合P8例3.通过本例学习，学会写出终边与已知角终边相同的角的集合，并能写出该集合中指定范围的元素试一试：教材P8习题12 T3，T4你会吗？1周期现象我们把以相同间隔重复出现的现象叫做周期现象2任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形(2)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线从起始位置没有作任何旋转形成的角3.(1)象限角在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几
3、象限，我们就说这个角是第几象限角若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角(2)象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角|k360k36090，kZ第二象限角|k36090k360180，kZ第三象限角|k360180k360270，kZ第四象限角|k360270k360360，kZ(3)轴线角的集合表示轴线角角的集合表示终边落在x轴的非负半轴上的角|k360，kZ终边落在x轴的非正半轴上的角|k360180，kZ终边落在x轴上的角|k180，kZ终边落在y轴的非负半轴上的角|k36090，kZ终边落在y轴的非正半轴上的角|k36090，kZ终边落在y轴上的角|k18090，kZ
4、终边落在坐标轴上的角|k90，kZ(4)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与周角的整数倍的和1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)钟表的秒针的运动是周期现象()(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象()(3)钝角是第二象限的角()(4)第二象限的角一定比第一象限的角大()(5)终边相同的角不一定相等()解析：(1)正确秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象(2)错误虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象(3)正确大于90而小于180的角称为钝角
5、，它是第二象限角(4)错误.100是第二象限角，361是第一象限角，但100361.(5)正确终边相同的角可以相差360的整数倍答案：(1)(2)(3)(4)(5)2小明今年17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是()A26 B32C36 D41解析：选D.由十二生肖知，属相是12年循环一次，故选D.3已知下列各角：120；240；180；495，其中是第二象限角的是()A BC D解析：选D.120是第三象限角；240是第二象限角；180角不在任何一个象限内；495360135，所以495是第二象限角4在0到360之间与120终边相同的角是_解析：与120终边相同的角120k360(kZ)
6、由0120k360360，kZ，得k.又kZ，所以k1，此时120360240.答案：2401对周期现象的理解现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，例如：月亮圆缺变化的周期性，即朔上弦望下弦朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性等2对角的概念的两点说明(1)角是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆(2)在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点：要明确旋转方向；要明确旋转的大小；要明确射线未作任何旋转时的位
7、置3角的分类(1)按旋转方向划分时，先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量如射线OA绕端点O逆时针旋转290到OB的位置，则AOB290.(2)今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论当角的终边落在坐标轴上时，这个角可以称为象限界角或轴线角4任意角概念的四个关注点周期现象的判断判断下列现象是否是周期现象(1)地球自转；(2)某地每年一月份的降雨量；(3)世界杯足球赛的举办时间(链接教材P4例1，例2，例3)解(1)是周期现象因为地球每24小时自转一周，所以地球自转是周期现象(2)不是周期现象某地每年一月份的降雨量是随机的，不是周期性重复出现的(3)是周期现象世界杯足球赛每隔四年举办
8、一届，是周期性重复出现的方法归纳判断某现象是否为周期现象的依据是周期现象的特征，即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现，且现象是无差别的重复出现1(1)试判断下列现象中是否是周期现象一年二十四节气的变化；候鸟迁徙；“随机数表”中数的排列(2)我们的心跳都是有节奏的、有规律的，心脏跳动时，血压在增大或减小下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系，通过表中数据来研究血压变化的规律.t/s51015202530p/mmHg93.35136.6511593.35136.65115t/s354045505560p/mmHg93.35136.6511593.35136.65115根据上表数据
9、在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图；说明血压变化的规律解：(1)一年二十四节气是重复出现的，是周期现象候鸟迁徙是周期现象随机数表中的数0，1，2，9是随机出现的，不是周期现象(2)散点图如图从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T(15 s)，血压就重复出现相同的数值，因此，血压是呈周期性变化的象限角的判断(1)给出下列四个结论：15是第四象限角；185是第三象限角；475是第二象限角；350是第一象限角其中正确的个数为()A1 B2C3 D4(2)若是第一象限角，则是第_象限角(3)已知1 910，把写成k360(kZ，0360)的形式，并指出它是第几象限的角(链接教材P7例1)解(
10、1)选D.15是第四象限角；180185270是第三象限角；475360115，而90115180，所以475是第二象限角；35036010是第一象限角，所以四个结论都是正确的(2)因为与的终边关于x轴对称如图所示所以的终边在第四象限故填四(3)法一：作除法运算，注意余数必须非负，得：1 9103606250，所以2506360，它是第三象限的角法二：设k360(kZ)，则1 910k360(kZ)，令01 910k360360，解得6k5，kZ.所以k的最大整数解为k6，求出相应的250，于是2506360，它是第三象限的角在本例(3)中，写出与的终边互为反向延长线的角，并指出它是第几象限的
11、角解：当250时，250180k36070(k1)36070k360(其中kk1，kZ)即70n360，nZ，是第一象限的角方法归纳判断是第几象限角的三个步骤第一步，将写成k360(kZ，0360)的形式第二步，判断的终边所在的象限第三步，根据的终边所在的象限，即可确定的终边所在的象限2若角满足45k180，kZ，则角的终边落在()A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限解析：选A.当k0时，45，此时为第一象限角；当k1时，225，此时是第三象限角，故选A.终边落在过原点的直线上的角写出终边在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来(链接
12、教材P7例2，P8例3)解如图，直线yx过原点，它向上的方向与x轴正方向的夹角为45，在0360范围内，终边在直线yx上的角有两个：45，225.因此，终边在直线yx上的角的集合S|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZ由于360720，即36045n180720，nZ，解得n，nZ.所以n2，1，0，1，2，3.所以S中适合不等式360720的元素是452180315，451180135，45018045，451180225，452180405，453180585.方法归纳(1)写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合，
13、方法步骤是：在直角坐标系中画出该直线；在0360范围内找出满足条件的角；写出满足条件的角的集合，并注意化简(2)要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式，确定出n的取值，再逐一代入计算3已知角的终边在直线yx上(1)写出角的集合S；(2)写出S中适合不等式360720的元素解：(1)如图，直线yx过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0360范围内终边在直线yx上的角有两个：135，315.因此，终边在直线yx上的角的集合S|135k360，kZ|315k360，kZ|1352k180，kZ|135(2k1)180，kZ|135n180，nZ(2)由于360720，即360
14、135n180720，nZ.解得n，nZ.所以n2，1，0，1，2，3.所以集合S中适合不等式360720的元素为：1352180225；135118045；1350180135；1351180315；1352180495；1353180675.区域角的表示如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合解(1)由题图(1)可知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60角，与l2终边相同的角有310角所以题图(1)阴影部分中角的集合为S|60k360310k360，kZ(2)由题图(2)知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1|45k36
15、090k360，kZ第三象限内阴影部分中角的集合为S2|225k360270k360，kZ所以所求阴影部分中角的集合为SS1S2|452k180902k180，kZ|45(2k1)18090(2k1)180，kZ|45n18090n180，nZ(3)由题图(3)知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边相同的角有30角，与l1终边相同的角有30角所以题图(3)阴影部分中角的集合为S|30k36030k360，kZ方法归纳区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角其写法可分为三步(1)先按逆时针的方向找到这个区域的起始和终止边界(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对
16、应的360到360范围内的角和，写出最简区间x|x(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角，加上k360(kZ)4(1)如图所示，写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合(2)已知集合A|30k18090k180，kZ，B|45k36045k360，kZ试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域；求AB.解：(1)终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为|k360135k360180，kZ，终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为|k36015k360，kZ，所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为|k360135k360180或15k360
17、k360，kZ(2)如图所示：集合A中的角的终边在阴影()内，集合B中的角的终边在阴影()内集合AB中的角的终边在阴影()和()的公共部分内，所以AB|30k36045k360，kZ易错警示因未能正确理解象限角而出错已知是第三象限角，则是第几象限角？解因为是第三象限角，所以180k360270k360(kZ)，所以60k12090k120(kZ)当k3n(nZ)时，60n36090n360(nZ)，所以是第一象限的角；当k3n1(nZ)时，180n360210n360(nZ)，所以是第三象限的角；当k3n2(nZ)时，300n360330n360(nZ)，所以是第四象限的角所以是第一、三、四象
18、限的角错因与防范(1)仅以180270表示第三象限角是出错的主要原因(2)分类讨论：已知角所在的象限，要求(nN)所在的象限，应把角写成k360k360(kZ)的形式，再求出kk(kZ，nN)，分别取k0，1，2，n1，即可确定所在的象限(3)几何法(八卦图法)几何法判定，角的终边所在象限的具体步骤如下：先将直角坐标系各象限平均分成n份，再从x轴上方起逆时针依次将各区域标1，2，3，4，1，2，3，4，直至填充所有区域，最后由原来是第几象限角对应的标号所在象限，即为终边所在象限5(1)已知为第三象限角，则所在的象限是()A第一或第二象限B第二或第三象限C第一或第三象限D第二或第四象限(2)已知
19、角的终边与168角的终边相同，则在0360范围内终边与角的终边相同的角是_解析：(1)法一：因为为第三象限角，所以k360180k360270，kZ，所以k18090k180135，kZ.当k2n(nZ)时，有n36090n360135，nZ，此时是第二象限角；当k2n1(nZ)时，有n360270n360315，nZ，此时是第四象限角所以是第二或第四象限角法二：(八卦图法)如图阴影部分(不包含边界)所示，所在的象限是第二或第四象限(2)由已知，得k360168，kZ，所以k12056，kZ.又因为0k12056360，满足上式的k值为k0，1，2，所以在0360范围内，终边与角的终边相同的角
20、是56，176，296答案：(1)D(2)56，176，2961下列现象不是周期现象的是()A挂在弹簧下方做上下振动的小球B游乐场中摩天轮的运行C抛一枚骰子，向上的数字是奇数D太阳的东升西落解析：选C.A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象2下列各角中与330角终边相同的角是()A510 B150C150 D390解析：选D.所有与330角终边相同的角可表示为330k360，当k2时，得390，故选D.3从13：00到14：00，时针转过的角度为_，分针转过的角度为_解析：经过1小时，时针顺时针转过了30，分针顺时针转过了360.答案：303604若510，则是第_
21、象限角解析：由于5102360210，所以是第三象限角答案：三A.基础达标1下列说法正确的是()A终边相同的角都相等B钝角比第三象限角小C第一象限角都是锐角D锐角都是第一象限角解析：选D.终边相同的角相差360的整数倍，并不一定相等，故A错误；钝角并不一定比第三象限角小，如135是第三象限角，显然135比钝角小，故B错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故D正确，C错误2某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白的顺序摆放，那么第2 015盆花的颜色为()A红 B黄C紫 D白解析：选C.因为
22、按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2 01545033，所以第2 015盆花为紫色3495角的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C.4952360225，因为225是第三象限角，所以495是第三象限角4终边与坐标轴重合的角的集合是()A|k360，kZB|k18090，kZC|k180，kZD|k90，kZ解析：选D.终边落在x轴上的角的集合为S1|k180，kZ，终边落在y轴上的角的集合为S2|90k180，kZ，因此，终边落在坐标轴上的角的集合为SS1S2|k90，kZ5在直角坐标系中，若角的顶点与坐标原点重合，始边与x
23、轴的非负半轴重合，和的终边关于y轴对称，则与关系为()A360B(2k1)180(kZ)Ck180(kZ)Dk360(kZ)解析：选B.如图所示，因为与的终边关于y轴对称，所以角的终边逆时针旋转(1802)就与角终边重合所以k360(1802)，所以k360180(2k1)180(kZ)因为当k为整数时，2k1与2k1都表示奇数，所以(2k1)180(kZ)6今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期_，第50天是星期_解析：每周有7天，27376，故27天后的那一天是星期一；50771，故第50天是星期二答案：一二7与2 015角的终边相同的最小正角是_解析：因为2 015536021
24、5，所以215为最小正角答案：2158设集合M|36k90，kZ，N|180180，则MN_解析：对于M，当k1时，126；当k0时，36；当k1时，54；当k2时，144，故MN126，36，54，144答案：126，36，54，1449如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出95012是否是该集合中的角解：阴影部分(包括边界)的角的范围是k360k360125，kZ，所求集合为|k360k360125，kZ，因为95012336012948，所以95012不是该集合中的角10已知角的终边在直线xy0上，写出角的集合S.解：如图，直线xy0过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边
25、落在射线OA上的角为60，终边落在射线OB上的角是240，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为：S1|60k360，kZ，S2|240k360，kZ所以角的集合SS1S2|60k360，kZ|60180k360，kZ|602k180，kZ|60 (2k1)180，kZ|60n180，nZB.能力提升1若集合Mx|x45k90，kZ，Nx|x90k45，kZ，则()AMN BNMCMN DMN解析：选C.Mx|x45k90，kZx|x(2k1)45，kZ，Nx|x90k45，kZx|x(k2)45，kZ因为kZ，所以k2Z，且2k1为奇数，所以MN，故选C.2如图所示，变量y随x的变化呈周
26、期性变化在区间1，11上，直线y与函数yf(x)的图像交点的个数为()A10 B12C13 D15解析：选B.由图可知周期为2，区间1，11的长度为6个周期，在每个周期内y和yf(x)的交点有2个，故所求交点个数为2612.3若角满足180360，角5与有相同的始边，且又有相同的终边，那么角_解析：由于5与的始边和终边相同，所以这两角的差应是360的整数倍，即54k360.又180360，令k3，得270.答案：2704有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列则第100个图片的颜色是_解析：由图可知，第5个，第10个，第15个，第5n个均为黑色圆片.100520，因此第100个圆片为黑色答案：黑色
27、5(1)已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角，以及0360范围内与其终边相同的角a485；b.35；c.770；d.500.(2)若是第四象限角，试确定180是第几象限角解析：(1)a.485125360，所以在0360范围内，与485终边相同的角是125，所以485是第二象限角b35325360，所以在0360范围内，与35终边相同的角是325，所以35是第四象限角c770502360，所以在0360范围内，与770终边相同的角是50，所以770是第一象限角d5002202360，所以在0360范围内，与500终边相同的角是220，所以500是第
28、三象限角(2)因为是第四象限角，所以90k360k360(kZ)，所以k36090k360(kZ)，所以180k360180270k360(kZ)，所以180是第三象限角6.(选做题)如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，AOx45.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转已知点P在1 s内转过的角度为(0180)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角并判定其终边所在的象限解：由题意，得144545k360，kZ，则，kZ.又180245270，即67.5112.5，则67.5112.5，kZ，所以k3或k4.故或.易知090，90180，故角的终边在第一或第二象限
