1、第四课 三角恒等变换【网络体系】【核心速填】1.两角和与差的正余弦、正切公式sin()=_.cos()=_.tan()=_.sincoscossincoscossinsin2.倍角的正弦、余弦、正切公式sin2=_.cos2=_=_=_.tan2=_.2sincoscos2-sin22cos2-11-2sin23.半角公式4.辅助角公式(1)(2)与特殊角有关的几个结论：【易错提醒】1.熟练把握三角中的相关公式本章中的公式较多，又比较相似，在应用过程中，可能因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误，熟练把握公式是关键.2.关注角的取值范围由于三角函数具有有界性，解题时往往会由于忽视
2、角的范围而导致解题过程欠严密，结果不准，这种情况在解给值求角的问题中易出现.类型一三角函数式的求值问题【典例1】(1)的值为()(2)(2015葫芦岛高一检测)若(3)(2015孝感高一检测)设为锐角，若则的值为_.【解析】(1)选B.(2)选C.因为0，所以 +，所以由得因为所以所以由得答案：【方法技巧】三角函数的求值类型及解题策略(1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题.(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函 数 值，解 题 的 关 键 在 于“变 角”，如=(+)-，2=(+
3、)+(-)等.把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论.(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性求得角.【变式训练】1.(2015浏阳高一检测)设且则-等于()【解析】选B.因为所以因为所以2.(2015淮北高一检测)已知都是第一象限的角，求sin.【解析】由 是第一象限的角，得因为，是第一象限角；所以+(0，)，由得sin(+)=.=sin(+)cos-cos(+)sin【补偿训练】在ABC中，如果4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3 ，则角C的大小为_.【解析】由4sinA+2
4、cosB=1，2sinB+4cosA=3 ，两边平方相加得sin(A+B)=.如果A+B=，则B 与条件4sinA+2cosB=1矛盾.所以A+B=，C=.答案：类型二三角函数式的化简【典例2】(1)化简：=()A.sin2B.tan2C.sin2 D.tan2(2)=_.(3)化简：【解析】(1)选D.原式(2)原式因为所以cos40，sin4cos40.所以sin4-cos40.从而原式=-2cos4-2sin4+2cos4=-2sin4.答案：-2sin4(3)原式【方法技巧】1.三角函数式化简的基本原则(1)切化弦.(2)异名化同名.(3)异角化同角.(4)高次降幂.(5)分式通分.(
5、6)无理化有理.(7)常数的处理(特别注意“1”的代换).2.三角函数式化简的基本技巧(1)sin，cos凑倍角公式.(2)1cos升幂公式.(3)1sin化为1cos ，再升幂或化为(4)asin+bcos辅助角公式asin+bcos其中tan=或其中tan=.【变式训练】已知1802270，化简=()A.-3cos B.cosC.-cos D.sin-cos【解析】选C.因为1802270，所以90135，所以cos0)，函数f(x)=mn的最大值为6.求A；将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)
6、在上的值域.【解析】(1)选A.所以最小正周期T=.(2)f(x)=mn=Asinxcosx+cos2x因为A0，由题意知A=6.由将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到的图象；再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象.因此因为故g(x)在上的值域为-3，6.【方法技巧】与三角恒等变换有关的综合问题的两种类型(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三角函数表达式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数 的 表 达 式 变 形 化 简，将 函 数 表 达 式 变 为 y=Asin(x+)+k或y=Acos(x+)+k等形式，然后再根据化
7、简后的三角函数，讨论其图象和性质.(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变换.这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.【变式训练】(2015沧州高一检测)已知：f(x)=2cos2x+sin2x+a(aR，a为常数).(1)f(x)的最小正周期为_.(2)若f(x)在上最大值与最小值之和为3，则a的值为_.【解析】(1)最小正周期(2)因为所以所以f(x)max=2+a+1，f(x)min=-1+a+1，所以2a+3=3，所以a=0.答案：(1)(2)0【补偿训练】(2015福州高一检测)已知函数(1)求的值.(2)当时，求的最大值和最小值.【解析】(2)因为所以当当x=0时，g(x)min=1.
