1、2022年高考数学复习新题速递之立体几何（2021年9月）一选择题（共12小题）1（2021东湖区校级开学）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：AFCN；BM与AN是异面直线；AF与BM所成角为60；BNDE以上四个结论中，正确结论的序号是（）ABCD2（2021工农区校级开学）若a，b，c，m，n为空间直线，为平面，则下列说法错误的是（）Aab，bc，则acBm，n，mn，则Cm，n，则mnDa，b是异面直线，则a，b在内的射影为两条相交直线3（2021春宣城期中）下列说法正确的是（）棱柱的侧棱都相等；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；通
2、过圆台侧面上一点有无数条母线ABCD4（2021春乐山期中）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且C1E2EC，则异面直线AE与D1C所成角的余弦值为（）ABCD5（2021春焦作期中）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则其表面积为（）A2+6B4+4C4+4D6+46（2021浙江开学）如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是（）A三棱锥AA1PD的体积大小与点P的位置有关BA1P与平面ACD1相交C平面PDB1平面A1BC1DAPD1C7（2021龙凤区校级开学）如图，在棱
3、长为2的正方体ABCDABCD中，E、F分别为棱CC、AB的中点，则EF与平面ABCD所成角的正弦值是（）ABCD8（2021让胡路区校级开学）下列结论错误的是（）A三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C若是两个不共线的向量，且（、R且、0），则构成空间的一个基底D若、不能构成空间的一个基底，则O、A、B、C四点共面9（2021春鞍山期中）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知，则用向量，可表示向量为（）ABCD10（2021仓山区校级模拟）过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则
4、平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为（）ABCD11（2021秋下陆区校级月考）在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AD，AA1，A1B1的中点，则点B到平面EFG的距离为（）ABCaD12（2021东湖区校级开学）如图，已知用斜二测画法画出的ABC的直观图是边长为a的正三角形，原ABC的面积为（）Aa2Ba2Ca2Da2二填空题（共5小题）13（2021春河南期中）圆心角为的扇形面积为6，则它围成的圆锥的体积为 14（2021秋江西月考）已知圆锥的轴截面是顶角为120，腰为1的等腰三角形，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为 15（2
5、021武汉开学）空间四面体ABCD中，ABCD2，ADBC2，AC4，直线BD与AC所成的角为45，则该四面体的体积为 16（2021秋河北月考）在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，AA1上一点，BE2CF，且EF平面B1D1G当三棱锥CDEF的体积取得最大值时，三棱锥CDEF的侧面积为 ，B1G与平面BDD1B1所成角的正切值为 17（2021秋包头月考）设有下列四个命题：P1：空间共点的三条线不一定在同一平面内P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面P3：若三个平面两两相交，则交线互相平行P4：若直线a平面，直线a直线b，则直线b平面则下述命题中所有
6、真命题的序号是 P1P4；P1P2；P2P3；P3P4三解答题（共7小题）18（2021春大渡口区校级期中）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的三等分点（M靠近B，N靠近C）；（1）求证：MN平面PAD（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ平面PAD19（2021春泰宁县校级期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为4（1）若圆锥的侧面积为48，求圆锥的体积（2）若PO4，OA，OB是底面半径，且AOB90，M为线段AB的中点，求异面直线PM与OB所成的角的余弦值20（2021安徽开学）已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为菱形，AF
7、平面CDE，且A，D，E，F四点共面（）求证：平面ABF平面CDE；（）若ABC90，且AD5，DE6，AF2，EF，求证：ADCE21（2021湖北开学）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别为A1C1，AB1，BB1的中点（1）证明：DE平面B1BCC1；（2）若ABACAA12，AFDE，求直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积22（2021春海丰县期中）“车珠子”是指将一块木料通过加工打磨变成珠子形状的过程某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为12cm，高为8cm该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的表面积和体积？
8、23（2021辽宁开学）如图，四棱锥PABCD中，平面PBC平面ABCD，PBC90，ADBC，ABC90，（1）求证：CD平面PBD；（2）若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为，求二面角BPCD的余弦值24（2021香坊区校级四模）在三棱锥PABC中，ABC为等腰直角三角形，ABAC1，E为PA的中点，D为AC的中点，F为棱PB上靠近B的三等分点（1）证明：BD平面CEF（2）若PAAC，求二面角ECFB的正弦值2022年高考数学复习新题速递之立体几何（2021年9月）参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2021东湖区校级开学）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：AFCN；
9、BM与AN是异面直线；AF与BM所成角为60；BNDE以上四个结论中，正确结论的序号是（）ABCD【考点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；演绎法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象【分析】将展开图还原为直观图，因为AFDM，DMCN，所以AFCN，错误；证明四边形ABMN为平行四边形，则A，B，N，M共面，错误；因为AFDM，所以AF与BM所成角即为DM与BM所成角；BN在平面ADNE上的投影为AN，利用三垂线定理证明【解答】解：如图，因为AFDM，DMCN，所以AFCN，故错误；因为ABNM，ABNM，所以四边形
10、ABMN为平行四边形，所以BMAN，故错误因为AFDM，所以AF与BM所成角即为DM与BM所成角，在等边三角形BDM中，DMB60所以AF与BM所成角为60，故正确BN在平面ADNE上的投影为AN，又ANDE，所以BNDE，故正确故选：B【点评】本题以正方体的展开图为背景考查空间中直线与直线的位置关系，属于基础题2（2021工农区校级开学）若a，b，c，m，n为空间直线，为平面，则下列说法错误的是（）Aab，bc，则acBm，n，mn，则Cm，n，则mnDa，b是异面直线，则a，b在内的射影为两条相交直线【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题
11、】整体思想；分析法；空间位置关系与距离；直观想象【分析】由异面直线所成角的定义判断A；由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断B与C；分析两异面直线在同一平面内的射影关系判断D【解答】解：若ab，bc，则ac，故A正确；若m，mn，则n或n，又n，所以，故B正确；若m，则m，又n，所以mn，故C正确；若a，b是异面直线，则a，b在内的射影为两条相交直线或两条平行直线或一条直线与直线外一点，故D错误故选：D【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题3（2021春宣城期中）下列说法正确的是（）棱柱的侧棱都相等；以直角梯形的一腰为
12、轴旋转一周所得到旋转体是圆台；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；通过圆台侧面上一点有无数条母线ABCD【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【专题】转化思想；定义法；立体几何；逻辑推理【分析】利用棱柱的定义判断，由圆台的定义判断，利用圆锥与圆台的关系判断，由圆台的结构特征判断，即可得到答案【解答】解：由棱柱的定义可知，棱柱的侧面是平行四边形，所有侧棱都相等，故正确；以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台，故错误；用平行于底面的截面截圆锥，上部分为小圆锥，下部分为圆台，故正确；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，故错误故选：B【点评】本题考查了旋转体的理解与应用，主要考查了棱
13、柱的定义，圆台的定义以及结构特征的应用，圆锥与圆台关系的应用，考查了空间想象能力，属于基础题4（2021春乐山期中）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且C1E2EC，则异面直线AE与D1C所成角的余弦值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】数形结合；向量法；空间向量及应用；直观想象【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可【解答】解：如图，不妨令AD2，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，x轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），E（0，2，），所以，故选：B【点评】本题考查了空间向量
14、与空间中异面直线所成角的综合应用属于基础题5（2021春焦作期中）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则其表面积为（）A2+6B4+4C4+4D6+4【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式求出结果【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：下底面为腰为的等腰直角三角形，高为2的三棱柱S22+2+2+2216+4故选：D【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体
15、积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型6（2021浙江开学）如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是（）A三棱锥AA1PD的体积大小与点P的位置有关BA1P与平面ACD1相交C平面PDB1平面A1BC1DAPD1C【考点】平面与平面垂直菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理【分析】对于选项，BC1平面AA1D，P到平面AA1D的距离不变，三棱锥PAA1D的高不变，AA1D的面积不变，从而得到三棱锥AA1PD的体积与点P的位置无关；对于选项B：由BC1AD1，得BC1平面ACD1，同理可证BA1平
16、面ACD1，从而得到平面BA1C1平面ACD1，进而得到A1P平面ACD1；对于选项C：推导出A1C1平面BB1D，得到A1C1B1D；同理A1BB1D，从而得到B1D平面A1BC1，进而得到平面PDB1平面A1BC1；对于选项D：当B与P重合时，AP与D1C的夹角为【解答】解：对于选项在正方体中，BC1平面AA1D，所以P到平面AA1D的距离不变，即三棱锥PAA1D的高不变，又AA1D的面积不变，因此三棱锥PAA1D的体积不变，即三棱锥AA1PD的体积与点P的位置无关，故A不成立对于选项B：由于BC1AD1，AD1平面ACD1，BC1平面ACD1，所以BC1平面ACD1，同理可证BA1平面A
17、CD1，又BA1BC1B，所以平面BA1C1平面ACD1，因为A1P平面BA1C1，所以A1P平面ACD1，故B不成立对于选项C：因为A1C1BD，A1C1BB1，BDBB1B，所以A1C1平面BB1D，则A1C1B1D；同理A1BB1D，又A1C1A1BA1，所以B1D平面A1BC1，又B1D平面PDB1，所以平面PDB1平面A1BC1，故C成立对于选项D：当B与P重合时，AP与D1C的夹角为，故D不成立故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题7（2021龙凤区校级开学）如图，在棱长为2的正方体ABCDA
18、BCD中，E、F分别为棱CC、AB的中点，则EF与平面ABCD所成角的正弦值是（）ABCD【考点】直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；逻辑推理；直观想象；数学运算【分析】利用EC面ABCD，可得EFC就是EF与平面ABCD所成的角，解三角形EFC即可【解答】解：连接FC，EC面ABCD，EFC就是EF与平面ABCD所成的角sinEFC，故选：B【点评】本题考查了直线与平面所成角的求解，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题8（2021让胡路区校级开学）下列结论错误的是（）A三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B两个非零向量与任何一个向量都不
19、能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C若是两个不共线的向量，且（、R且、0），则构成空间的一个基底D若、不能构成空间的一个基底，则O、A、B、C四点共面【考点】平面向量的基本定理；空间向量基本定理、正交分解及坐标表示菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理【分析】根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误【解答】解：对于选项A：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A正确，对于选项B：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，所以选项
20、B正确，对于选项C：（、i且、0），共面，不能构成基底，所以选项C错误，对于选项D：、共起点，若O、A、B、C四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D正确，故选：C【点评】本题主要考查了空间向量基本定理，同时考查了学生的逻辑推理能力，是基础题9（2021春鞍山期中）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知，则用向量，可表示向量为（）ABCD【考点】空间向量及其线性运算菁优网版权所有【专题】数形结合；转化法；空间向量及应用；数学运算【分析】从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，写出结果，这样三个向量都是指定的基底中的向量，得到结果【解答】解：+，故选：
21、D【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，在几何体中一般用由一个公共点的三个向量作为基底来使用，这种题目和平面向量中的题目做法相同10（2021仓山区校级模拟）过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为（）ABCD【考点】二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】转化思想；向量法；空间角；逻辑推理；数学运算【分析】设APAB1，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCD的法向量，由向量的夹角公式求解即可【解答】解：设APAB1，以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴
22、建立空间直角坐标系如图所示，则P（0，0，1），D（0，1，0），C（1，1，0），所以，设平面PCD的法向量为，则，令y1，则z1，故，又平面ABP的一个法向量为，所以，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为故选：B【点评】本题考查了二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题11（2021秋下陆区校级月考）在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AD，AA1，A1B1的中点，则点B到平面EFG的距离为（）ABCaD【考点】点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】数形结合；转化
23、法；空间向量及应用；数学运算【分析】建立坐标系，求出以及平面EFG的法向量，根据d，代入计算即可【解答】解：分别以DA，DC，DD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图示：，显然B（a，a，0），E（，0，0），F（a，0，），G（a，0），故（，0，），（，a），（，a，0），设平面EFG的法向量为（x，y，z），则0，0，故，令x1，则（1，1，1），故点B到平面EFG的距离为：da，故选：B【点评】本题考查了空间向量的应用，考查转化思想以及数形结合思想，是中档题12（2021东湖区校级开学）如图，已知用斜二测画法画出的ABC的直观图是边长为a的正三角形，原ABC的面积为（）Aa2
24、Ba2Ca2Da2【考点】斜二测法画直观图菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；数学运算【分析】根据题意，求出ABC的直观图的面积，由直观图与原图的面积关系分析可得答案【解答】解：根据题意，设原ABC的面积为S，其直观图的面积为S，ABC的直观图是边长为a的正三角形，则其直观图的面积Saasin60，又由，则Sa2，故选：C【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及直观图与原图的面积关系，属于基础题二填空题（共5小题）13（2021春河南期中）圆心角为的扇形面积为6，则它围成的圆锥的体积为 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【专题】转化思想；定义法；立体几何；逻辑
25、推理；数学运算【分析】设扇形的半径为r，利用扇形的面积求出r，从而得到圆锥的底面面积，利用圆锥的体积公式求解即可【解答】解：设扇形的半径为r，则由，于是扇形的弧长为，其即为圆锥的底面周长，于是圆锥的底面半径为，所以底面面积为，所以圆锥的体积为故答案为：【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题14（2021秋江西月考）已知圆锥的轴截面是顶角为120，腰为1的等腰三角形，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为 4【考点】球的体积和表面积菁优网版权所有
26、【专题】计算题；数形结合；分析法；球；数学运算【分析】利用直角三角形建立关于R的方程，不难求解【解答】解：因为该圆锥圆锥的轴截面是顶角为120，腰为1的等腰三角形，所以圆锥的底面半径为，高为，母线长为1，设球O的半径为R，则R（R）+（），解得R1，S球4R414故答案为：4【点评】此题考查了线面所成角，球的表面积等，属于基础题15（2021武汉开学）空间四面体ABCD中，ABCD2，ADBC2，AC4，直线BD与AC所成的角为45，则该四面体的体积为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】由题意画出图形
27、，由已知求D到平面ABC的距离，再由棱锥体积公式求解【解答】解：如图，在ABC中，由AB2，BC，AC4，可得AB2+BC2AC2，则ABC是以AC为斜边的直角三角形，同理ADC是以AC为斜边的直角三角形由B左BEAC，垂足为E，求得BE，AE1，过D作DFAC，垂足为F，可得DF，CF1，在平面ABC中，过B作BGEF且BGEF，连接DG、FG，则四边形BEFG为平行四边形，得FGAC，即BGFG，又DFAC，ACBG，BGDF，而DFFGF，BG平面DFGBGDG，在RtDGB中，BGEF2，DBG为直线BD与AC所成的角为45，可得DG2，BG平面DFG，BG平面ABC，平面ABC平面D
28、FG，在平面DFG中，过D作DHFG，垂足为H，则DH平面ABCDFFG，DG2，cos，则sin，DHDFsinDFG四面体ABCD的体积为V故答案为：【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证及运算求解能力，属难题16（2021秋河北月考）在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，AA1上一点，BE2CF，且EF平面B1D1G当三棱锥CDEF的体积取得最大值时，三棱锥CDEF的侧面积为 ，B1G与平面BDD1B1所成角的正切值为 【考点】直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；立体几何；逻辑推理；数学运算
29、【分析】设CFx，则BE2x，求出x的范围，利用棱锥的体积公式结合基本不等式确定取最值时的x的值，求解侧面积即可；先证明点G为棱AA1的中点，取BD1的中点H，连接GH，HB1，可得B1G与平面BDD1B1所成的角为GB1H，然后由边角关系求解即可【解答】解：设CFx，则BE2x，因为0CF3，0BE3，所以0x，三棱锥CDEF的体积，当且仅当x时，等号成立，此时三棱锥CDEF的体积取得最大值，其侧面积为，因为EF平面B1D1G，又EF平面EFD1G，平面EFD1G平面B1D1GD1G，所以EFD1G，则CEF与A1D1G相似，因为，所以G为棱AA1的中点，取BD1的中点H，连接GH，HB1，
30、所以GH平面BDD1B1，则B1G与平面BDD1B1所成的角为GB1H，所以tanGB1H故答案为：，【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题17（2021秋包头月考）设有下列四个命题：P1：空间共点的三条线不一定在同一平面内P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面P3：若三个平面两两相交，则交线互相平行P4：若直线a平面，直线a直线b，则直线b平面则下述命题中所有真命题的序号是 P1P4；P1P2；P2P3；P3P4【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有
31、【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；简易逻辑；逻辑推理【分析】由空间共点的三条线不一定在同一平面内，可判断P1；由平面的基本性质可判断P2；若三个平面两两相交，则交线互相平行或相交，可判断P3；由线面垂直的性质可判断P4，再由复合命题的真假可得结论【解答】解：空间共点的三条线不一定在同一平面内，故P1真；过空间中任意不共线的三点有且仅有一个平面，故P2假；若三个平面两两相交，则交线互相平行或相交，故P3假；若直线a平面，直线a直线b，则直线b平面，故P4真所以P1P4真；P1P2假；P2P3真；P3P4真故答案为：【点评】本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，以及命题的真假判断，
32、考查推理能力，属于中档题三解答题（共7小题）18（2021春大渡口区校级期中）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的三等分点（M靠近B，N靠近C）；（1）求证：MN平面PAD（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ平面PAD【考点】直线与平面平行；平面与平面平行菁优网版权所有【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象【分析】（1）可取PD的三等分点E，连接AE，NE，易得四边形AMNE为平行四边形，即可证明；（2）可在PB上取靠近B点的三等分点F，通过证明面MNF/面PAD，即可确定Q与F重合【解答】解：（1）证明：取PD三等分点E（E靠近D），
33、连接NE，AE，因为M、N分别是AB、PC的三等分点（M靠近B，N靠近C），所以AMAB，NE，又因为平行四边形ABCD，所以AMNE，所以四边形AMNE为平行四边形，MN/AE，又因为AE面ADP，故MN/面PAD（2）解：取PB三等分点F（点F靠近点B），连接FN，FM，由题可知M，N，F分别为AB，PC，PB的三等分点，所以MF/PA，NF/BC，又因为BC/AD，所以FN/AD，NFMF，AD面PAD，PA面PAD，面MNF/面PAD，所以Q与F重合，即Q为PB的三等分点（靠近B点）【点评】本题考查了空间中线面平行的判定，考查了空间中面面平行的判定，属于中档题19（2021春泰宁县校级
34、期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为4（1）若圆锥的侧面积为48，求圆锥的体积（2）若PO4，OA，OB是底面半径，且AOB90，M为线段AB的中点，求异面直线PM与OB所成的角的余弦值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】（1）根据圆锥的侧面积为48，求解高，即可求解体积；（2）由（1）可知PO4，OA，OB是底面半径，且AOB90，M为线段AB的中点，那么以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，从而求解异面直线PM与OB所成的角的余弦值【解答】解：（
35、1）圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为4，圆锥的母线长为l，圆锥的侧面积，l12，则圆锥的体积（2）PO4，OA，OB是底面半径，且AOB90，M为线段AB的中点，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（4，0，0），B（0，4，0），M（2，2，0），O（0，0，0），设异面直线PM与OB所成的角为，则cos异面直线PM与OB所成的角的余弦值为【点评】本题考查圆锥的表面积和体积的计算，考查线线角的求法，考查直观想象的核心素养，属于中档题20（2021安徽开学）已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为菱形，AF平面CDE，且A，D
36、，E，F四点共面（）求证：平面ABF平面CDE；（）若ABC90，且AD5，DE6，AF2，EF，求证：ADCE【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；数学抽象【分析】（1）根据题意，分析可得AB面CDE且AF面CDE，又由AFABA，即可得结论；（2）根据题意，在DE上取一点G，使DGAF2，分析可得四边形AFGD为平行四边形，结合勾股定理可得FGDE，从而可得ADDE，由菱形的性质可得ADDC，则有AD面DEC，进而可得结论【解答】证明：（1）因为ABCD是菱形，所以ABCD，又AB面CDE，CD面CDE，所
37、以AB面CDE，因为AF面CDE，AFABA，所以面ABF面CDE；（2）在DE上取一点G，使DGAF2，则有AFDG且AFDG，四边形AFGD为平行四边形，故FGAD，又由EGDEDG624，又由AD5，EF，则有EF2EG2+AD225+1641，则有FGDE，又由FGAD，则ADDE，四边形ABCD为菱形且ABC90，故有ADDC，必有AD面DEC，则有ADCE【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及线面平行、垂直的判定定理，属于基础题21（2021湖北开学）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别为A1C1，AB1，BB1的中点（1）证明：DE平面B1BCC1；（2）若ABAC
38、AA12，AFDE，求直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积【考点】球的体积和表面积；直线与平面平行菁优网版权所有【专题】数形结合；向量法；综合法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】（1）取B1C1的中点G，连接DG，EF，FG，证明DEFG为平行四边形，得DEGF，可得DE平面B1BCC1；（2）设，由AFDE，利用数量积为0求得，即BAC60，得到ABC为等边三角形，ABC与A1B1C1中心连线O1O2的中点O即为直三棱柱ABCA1B1C1外接球的球心，求解三角形求得直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径，代入表面积公式得答案【解答】（1）证明：取B1C1的中点G，连接DG，EF，FG
39、，如图1，则DGA1B1，且，EFAB，且，又ABA1B1，ABA1B1，所以EFDG，且EFDG，DEFG为平行四边形，得DEGF又DE平面B1BCC1，GF平面B1BCC1，DE平面B1BCC1；（注：本题也可以取A1B1的中点H，连接DH，HE，利用平面DEH平面B1BCC1来证DE平面B1BCC1，如图2）（2）解：设，由已知，得|2，且，则，AFDE，2cosBAC10，解得，即BAC60又ABAC，则ABC为等边三角形，直三棱柱ABCA1B1C1外接球的球心为ABC与A1B1C1中心连线O1O2的中点O，如图3，连接A1O1，A1O，A1O为直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径，
40、O1O1，直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体外接球表面积的求法，是中档题22（2021春海丰县期中）“车珠子”是指将一块木料通过加工打磨变成珠子形状的过程某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为12cm，高为8cm该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的表面积和体积？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】由已知求得圆锥的母线长，利用等面积法求出圆锥内切球的半径，再由球
41、的表面积公式与体积公式求解【解答】解：由已知可得，ABAC10设内切球的半径为R，根据等面积法得，内切球的半径R3cm，故该球的表面积S4R24936cm2，体积Vcm3【点评】本题考查多面体内切球表面积与体积的求法，训练了利用等面积法求三角形内切圆的半径，是基础题23（2021辽宁开学）如图，四棱锥PABCD中，平面PBC平面ABCD，PBC90，ADBC，ABC90，（1）求证：CD平面PBD；（2）若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为，求二面角BPCD的余弦值【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算【分析】（1
42、）由面面垂直的性质定理可得BP平面ABCD，从而得到PBCD，再利用勾股定理证明CDBD，由线面垂直的判定定理证明即可；（2）由线面角的定义为PDB，由此求出BP2，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCD的法向量，由向量的夹角公式求解即可【解答】（1）证明：因为平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，又PBC90，则PBBC，BP平面PBC，所以BP平面ABCD，又CD平面ABCD，则PBCD，又ABC90，ADBC，所以ADAB，因为2AB2ADCDBC2，所以BD，因为，故BDC90，即CDBD，又BDBPB，BD，BP平面BP
43、D，所以CD平面BPD；（2）解：由（1）可知，BP平面ABCD，则直线PD与底面ABCD所成的角为PDB，因为直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为，所以cosBDP，则tanBDP，又tanBDP，所以BP2，因为ABC90，平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，所以AB平面PBC，PBC90，故以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，所以B（0，0，0），P（0，2，0），D（1，0，1），A（0，0，1），故，由题意可知，为平面PBC的一个法向量，设平面PCD的法向量为，则，即，令x1，则y1，z1，故，所以，所以二面角BPCD的余弦值为【点评】本题考查了立体几何
44、的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题24（2021香坊区校级四模）在三棱锥PABC中，ABC为等腰直角三角形，ABAC1，E为PA的中点，D为AC的中点，F为棱PB上靠近B的三等分点（1）证明：BD平面CEF（2）若PAAC，求二面角ECFB的正弦值【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；空间角；数学运算【分析】（1）连接PD且交CE于点T，连接FT由题意可知FTBD，即可证明BD平面CEF（2）易得AB，AC，A
45、P两两垂直故以A为原点，为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量即可【解答】解：（1）证明：连接PD且交CE于点T，连接FT由题意可知，PD，CE为中线，所以T为重心，所以FTBD，FT平面CEF，BD平面CEF，所以BD平面CEF（2）因为PAAC，AC1，所以PA2又因为ABAC，PBPC，所以PA2+AB2PB2即PAAB所以AB，AC，AP两两垂直故以A为原点，为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，由图可知，E（0，0，1），C（0，1，0），B（1，0，0），所以，设平面CEF的法向量为则有即可令x1，yz2所以，设平面CFB的法向量为则有即可令xy
46、2，z1所以，因为所以，即二面角ECFB的正弦值为【点评】本题考查了空间线面平行的判定，考查了二面角的求解，考查了运算能力，属于中档题考点卡片1命题的真假判断与应用【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x22x+10的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分【解题方法点拨】1判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假2判断一个“若p则q”形式的复合
47、命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可3判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断【命题方向】该部分内容是课程标准新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现2平面向量的基本定理【知识点的知识】1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数1、2，使2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并
48、不唯一，只要不共线就行（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一3由三视图求面积、体积【知识点的认识】1三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度2三视图的画图规则：（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等3常见空间几何体表面积、体积公式（1）表面积公式：（2）体积公式：【解题
49、思路点拨】1解题步骤：（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）（2）选对应公式（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）（4）代公式计算2求面积、体积常用思想方法：（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：
50、正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.82B.8C.8 D.8分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，几何体的体积V2321228故选：B点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形
51、状及数据所对应的几何量是解题的关键4棱柱的结构特征【知识点的认识】1棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCDABCD）2认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点高：棱中两个底面之间的距离3棱柱的结构特征根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边
52、形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和4棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱5棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱Sh5旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体1圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫
53、做圆柱 圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO认识圆柱圆柱的特征及性质圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：2圆锥定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO认识圆锥圆锥的特征及性质与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线母线长l与底面半径r和高h的关系：l2h2+r2圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：3圆台定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周
54、而成的曲面所围成的几何体叫做圆台圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO认识圆台圆台的特征及性质平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：6斜二测法画直观图斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x轴、y轴，使xOy45（或135），它确定的平面表示水平平面（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x或y轴的线段（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半7棱柱、棱锥、棱台的体积【
55、知识点的知识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱sh，V锥Sh8球的体积和表面积【知识点的认识】1球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球其中到定点距离等于定长的点的集合为球面2球体的体积公式设球体的半径为R，V球体3球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体4R2【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键9异面直线及其所成的角【知识点的知识】1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a，b，并使aa，bb我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直
56、线a和b所成的角异面直线所成的角的范围：（0，当90时，称两条异面直线互相垂直2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：10空间中直线与直线之间的位置关系【知识点的认识】空间两条直线的位置关系：位置关系共面情况公共点个数图示相交直线在同一平面内有且只有一个 平行直线在同一平面内无 异面直线不同时在任何一个平面内无 11空间中直线与平面之间的位置关系【知识点的认识】空间中直线与平面之间的位置关系：位置关系公共点个数符号表示图示直线在平面内有无数个公共点 a 直线和平面相交有且只
57、有一个公共点aA 直线和平面平行无 a 12直线与平面平行【知识点的知识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 用符号表示为：若a，b，ab，则a 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行即由线线平行得到线面平行1、直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 用符号表示为：若a，a，b，则ab 2、直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已
58、知平面相交，其交线必和已知直线平行即由线面平行线线平行 由线面平行线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行正确的结论是：a，若b，则b与a的关系是：异面或平行即平面内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条13平面与平面平行【知识点的认识】两个平面平行的判定：（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（2）垂直于同一直线的两个平面平行即a，且a，则（3）平行于同一个平面的两个平面平行即，则平面与平面平行的性质：性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面性质定理2：如果两个
59、平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面14直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面互相垂直，记作l，其中l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面，ll垂直于内的任一条直线（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面直线与平面垂直的性质：定理：如果两条直线同垂直于
60、一个平面，那么这两条直线平行符号表示为：a，bab由定义可知：a，bab15平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直16空间向量及其线性运算【知识点的认识】1空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量
61、叫做向量，用有向线段表示2向量的模：向量的大小叫向量的长度或模记为|，| 特别地：规定长度为0的向量为零向量，记作；模为1的向量叫做单位向量；3相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量4负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量如的相反向量记为5平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量6注意：零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；一般来说，向量不能比较大小1加减法的定义： 空间任
62、意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则2加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律（1）交换律：（2）结合律：3推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量1空间向量的数乘运算 实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反；当0时，| 的长度是的长度的|倍2运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律 （1）
63、分配律：（+）+ （2）结合律：注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算17空间向量基本定理、正交分解及坐标表示【知识点的认识】1空间向量基本定理 如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使x+y+z 任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，都叫做基向量2单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用，表示3空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Ox
64、yz 其中，点O叫做原点，向量，都叫做坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面4空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得把x，y，z称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作（x，y，z）【解题方法点拨】1基底的判断 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数、使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立2空间向量的坐标表示 用坐标表示空间向量的解题方法与
65、步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来3用基底表示向量 用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行（2）若没给定基底时，首先选择基底选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求18直线与平面所成的角【知识点的知识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
66、 （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为0，2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作作出斜线与射影所成的角；（2）证论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角（4）答回答求解问题 在求直线和平面所成的角时，垂线段
67、是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想3、斜线和平面所成角的最小性： 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和
68、这个平面内的直线所成的一切角中最小的角用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则有sin|cos |19二面角的平面角及求法【知识点的知识】1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角AB有时为了方便，也可在、内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作PABQ如果棱记作l，那么这个二
69、面角记作二面角l或PlQ2、二面角的平面角- 在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的平面角AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）
70、与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面和的法向量分别为和，若两个平面的夹角为，则（1）当0，此时coscos，（2）当，时，cos（，）cos，20点、线、面间的距离计算【知识点的知识】声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/18 14:51:29；用户：招远8；邮箱：zybzy8；学号：40292118
