1、江苏省盱眙中学2021届高三年级期中学情检测数学试卷一、单选题：本大题共8小题。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合A=1，2，m2，B=1，m. 若BA，则m=（ ）A. 0B. 2C. 0或2D. 1或22. 设xR，则“log2（x-2）1”是“x2”的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要3. 已知cos（75+）=14，则cos（30-2）=（ ）.A. 34B. 54C. 58D. 784. 把与直线垂直的向量称为直线的法向量。设e=（A，B）是直线的一个方向向量，那么n=（-B，A）就是直线的一个法向量。借助直线
2、的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离。已知P是直线外一点，n是直线的一个法向量，在直线上任取一点Q，那么PQ在法向量n上的投影向量为（|PQ|cos）nn（为向量n与PQ的夹角），其模就是点P到直线的距离d，即d=|PQn|n|。据此，请解决下面的问题：已知点A（-4，0），B（2，-1），C（-1，3），则点A到直线BC的距离是（ ）A. 215B. 7C. 275D. 85. 梯形ABCD中，AB/CD，CD=2，BAD=3，若ABAC=2ABAD，则ACAD=（ ）A. 12B. 16C. 20D. 246. 已知函数f（x）=mx2-（3-m）x+1，g（x）=mx，若对于任意实
3、数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）A. （1，9）B. （3，+）C. （-，9）D. （0，9）7. 设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得OMN=45，则x0的取值范围是（ ）A. 0，1B. -1，1C. -22，22D. 0，228. f（x）是定义域为（0，+）的单调函数，对任意的x（0，+），都有f（f（x）+log13x）=4，且方程|f（x）-3|=a在区间（0，3上有两解，则实数a的取值范围是（ ）A. 0a1B. a1C. 0a1D. a1二、多项选择题：本题共4小题。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
4、9. 关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A. 若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列an为等差数列B. 若数列an的前n项和Sn=2n+1-2，则数列an为等差数列C. 数列an是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，仍为等差数列D. 数列an是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，仍为等差数列.10. 函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象关于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）A. 函数f（x）在（-32，-）上单调递增
5、B. 函数f（x）的图象关于点（-23，0）成中心对称C. 函数f（x）的图象向右平移512个单位后关于直线x=56成轴对称D. 若圆半径为512，则函数f（x）的解析式为f（x）=36sin（2x+3）11. 如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD底面ABCD，PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，且BAD=60，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论正确的有（ ）A. 直线PB与平面AMC平行B. 直线PB与直线AD垂直C. 线段AM与线段CM长度相等D. PB与AM所成角的余弦值为2412. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x-1ex. 则下列结论
6、正确的是（ ）.A. 当x0时，f（x）=-ex（x+1）B. 函数f（x）在R上有且仅有三个零点C. 若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是f（-2）mf（2）D. x1，x2R，|f（x2）-f（x1）|2三、填空题：本大题共4小题. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13. 曲线y=（x+sinx）ex在点（0，0）处的切线方程为_.14. 定义在（0，+）上的函数f（x）满足f（x）0，f（x）为（x）的导函数，且2f（x）xf（x）3f（x）对x（0，+）恒成立，则f(2)f(3)的取值范围是_.15. 若直线y=kx与双曲线C：x2a2-y2b2=
7、1（a0，b0）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|，|OA|=b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_.16. 如图，边长为2的菱形ABCD中，BCD=60，现将ABD沿对角线BD折起，得到三棱锥P-BCD. 则当二面角P-BD-C的大小为23时，三棱锥P-BCD的外接球的表面积为_.四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在a=2，B=4，c=3b这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足（b-a）（sinB+si
8、nA）=c（3sinB-sinC）.（1）求A的大小；（2）已知_，_，若ABC存在，求ABC的面积；若ABC不存在，说明理由.18. 等比数列an的前n项和为Sn（nN*），-2S2，S3，4S4成等差数列，且a2+2a3+a4=116.（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=-（n+2）log2|an|，求数列1bn的前n项和Tn.19. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PD=PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD/平面AMHN.（1）证明：MNPC；（2）当H为PC的中点，PA=PC=3AB，PA与平面ABCD所成的角为60，求二面角P-AM-
9、N的余弦值.20. “伦敦眼”坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为60m，游客乘坐舱P升到半空可鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑之间的距离AB为120m，游客在乘坐舱P看建筑BC时的视角为. （1）当乘客在伦敦眼的最高点D时视角=30，求建筑BC的高度；（2）当游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为45时，拍摄效果最好. 若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC的最低高度.（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m）21. 已知抛物线x2=4y，F为其焦点，椭圆x2a2+y2b2=1（ab0），F1，F2为其左右焦点，离心
10、率e=12，过F作x轴的平行线交椭圆于P，Q两点，|PQ|=463.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A作切线交椭圆于B，C两点，设与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴于点K，KED，FOD的面积分别记为S1，S2，若S1S2=1849，且点A在第一象限. 求点A的坐标.22. 已知函数f（x）=x2-2xlnx，g（x）=x+ax-(lnx)2，其中aR，x0是g（x）的一个极值点，且g（x0）=2.（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求实数x0和a的值；（3）证明k=1n14k2-112ln（2n+1）（nN*）.江苏省盱眙中学2021届高三年级期中学情检测参考
11、答案一、选择题：18CADACDBA 9. ABD 10. BD 11. ABD 12. BD三、填空题：13. y=2x 14. （827，49） 15. 3 16. 283四、解答题：17. （1）因为（b-a）（sinB+sinA）=c（3sinB-sinC），又由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得（b-a）（b+a）=c（3b-c），即b2+c2-a2=3bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，因为0A，所以A=6.（2）方案一：选条件和.由正弦定理asinA=bsinB，得b=asinAsinB=2sin6sin4=22C=-A-B=-6-4=71
12、2.sin712=sin4+3=2212+2232=2+64=3+1.方案二：选条件和.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得4=b2+3b2-3b2，则b2=4，所以b=2.所以c=3b=23，所以ABC的面积S=12bcsinA=1222312=3.方案三：选条件和，这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，因为c=3b由正弦定理得sinC=3sinB=3sin4=322=621，不成立，所以这样的三角形不存在.18. （1）设等比数列an的公比为q，由-2S2，S3，4S4成等差数列知，2S3=-2S2+4S4，所以2a4=-a3，即q=-12.又a2+2a3+a4=116，所以
13、a1q+2a1q2+a1q3=116，所以a1=-12，所以等差数列an的通项公式an=(-12)n.（2）由（1）知bn=-（n+2）log2|(-12)n|=n（n+2）所以1bn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)所以数列1bn的前n项和：Tn=121-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+(1n-1n+2)=121+12-1n+1-1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2)所以数列1bn的前n项和Tn=34-2n+32(n+1)(n+2)19. （1）证明：连结AC交BD于点O，连结PO. 因为ABCD为菱形，所以BDAC，且O为AC、BD的中点，因为PD=PB，所
14、以POBD，因为ACPO=O且AC、PO平面PAC.所以BD平面PAC，因为PC平面PAC，所以BDPC.因为BD/平面AMHN，BD平面PBD，且平面AMHNPBD=MN，所以BD/MN，所以MNPC.（2）由（1）知BDAC且POBD，因为PA=PC，且O为AC的中点，所以POAC，所以PO平面ABCD，所以PA与平面ABCD所成的角为PAO，所以AO=12PA，PO=32PA，因为PA=3AB，所以BO=36PA.分别以OA，OB，OP为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA=2，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，33，0），C（-1，0，0），D（0，-33，0）
15、，P（0，0，3），H（-12，0，32）所以DB=（0，233，0），AH=（-32，0，32），AB=（-1，33，0），AP=（-1，0，3）. 记平面AMHN的法向量为n1=（x1，y1，z1），则n1DB=233y1=0n1AH=-32x1+32z1=0，令x1=0，则y1=0，z1=3，所以n1=（1，0，3），记平面PAB的法向量为n2=（x2，y2，z2），则n2AB=-x2+33y2=0n2AP=-x2+3z2=0，令x2=1，则y2=3，z2=33，所以n2=（1，3，33），记二面角P-AM-N的大小为，则cos=|cosn1，n2|=n1n2|n1|n2|=3913.所
16、以二面角P-AM-N的余弦值为3913.20. （1）当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，BDC=30，此时AD=AB=120，即ABD=45，所以BCD=105.在等腰三角形ABD中，BD=1202. 由正弦定理得BDsin105=BCsin30，所以BC=120226+24=1203-120.所以建筑BC的高度为1203-120米.（2）设建筑BC的高度为h，建立如图所示的直角坐标系，圆M：x2+（y-60）2=3600，在PBC中，由正弦定理可知hsin45=2R，所以R=22h，其中R是PBC外接圆的半径即PBC的外接圆的半径为R=22h.由图可知PBC的外接圆的圆心坐标为（120-h2，
17、h2），所以点P在圆N：(x-120+h2)2+(y-h2)2=h22，x120上，而点P又在圆M：x2+（y-60）2=3600上，所以60-22h120-h22+h2-60260+22h，解得240(3-2)7h240(3+2)7.答：建筑BC的最低高度为240(3-2)7时，可以拍摄到效果最好的照片.21. 解：（1）不妨设P在第一象限，由题可知P（263，1），83a2+1b2=1，又e=12，将a=2c代入上式得：812c2+13c2=1，可得c=1，从而得a=2，b2=a2-c2=3 椭圆的方程为x24+y23=1.（2）设A（x0，x024）则切线的方程为y=x02x-x024代
18、入椭圆方程得：3+x02x2-x03x+x044-12=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），E（x3，y3），则x3=x1+x22=x032(x02+3)，y3=x02x3-x024=-3x024(x02+3)，KE的方程为y+3x024(x02+3)=-2x0x-x032(x02+3)，即y=-2x0x+x024(x02+3)，令y=0得xK=x038(x02+3)，在直线方程中令y=0得xD=x02，FD2=1+(x02)2=4+x024 DK=x02-x038x02+3=3x0(x02+4)8(x02+3)，kFD=-2x0，kBC=x02，kFDkBC=-1，FDBC，DEKFO
19、D，S1S2=DK2FD2=9X02(X02+4)16(X02+3)2=1849. 化简得(17x02+72)(x02-4)=0，x0=2（x0=-2舍去）A的坐标为（2，1）.3+x02x2-x03x+x044-12=0，=x06-43+x02x044-12=-(3x04-48x02-144)0，因为0x028+47，故此解符合题意.22. （1）函数f（x）的定义域为（0，+），且f（x）=2x-2lnx-2，令h（x）=f（x），则有h（x）=2(x-1)x，由h（x）=0可得x=1，如下表：所以h（x）h（1）=0，即f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增：x（0，1）1（1，+）
20、h（x）-0+h（x）减极小值增（2）函数g（x）的定义域为（0，+），且g（x）=1-ax2-2lnxx由已知，得g（x0）=0，即x02-2x0lnx0-a=0由g（x0）=2可得x02-x0（lnx0）2-2x0+a=0联立消去a可得2x0-（lnx0）2-2lnx0-2=0令t（x）=2x-（lnx）2-2lnx-2，则t（x）=2-2lnxx-2x=2(x-lnx-1)x由知x-lnx-10，故t（x）0，所以t（x）在（0，+）上单调递增t（1）=0，所以方程有唯一解x0=1，代入，可得a=1.（3）由（1）知f（x）=x2-2xlnx在（0，+）上单调递增，故当x（1，+），f（x）f（1）=1，所以g（x）=1-1x2-2lnxx=fx-1x20，可得g（x）在（1，+）上单调递增。当x1时，g（x）g（1）=2，即x+1x-（lnx）22 亦即(x-1x)2（lnx）2，这时x-1x0，lnx0，故得x-1xlnx 取x=2k+12k-1，kN*，可得2k+12k-1-2k-12k+1ln（2k+1）-ln（2k-1）而2k+12k-1-2k-12k+1=24k2-1故k=1n24k2-1k=1nln2k+1-ln2k-1=ln(2n+1)所以k=1n14k2-112ln（2n+1）.
