1、第二章 圆锥曲线与方程2.2.2 椭圆的简单几何性质第 1 课时 椭圆的简单几何性质第二章 圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养椭圆的几何性质掌握椭圆的范围、对称性、中心、顶点、轴、离心率等几何性质，能够应用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质数学抽象由椭圆的几何性质求方程会根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程数学运算求椭圆的离心率掌握求椭圆离心率的方法逻辑推理、数学运算问题导学预习教材 P43P48，并思考下列问题：1椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准
2、方程_范围_x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)axa 且byb bxb 且aya焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上顶点_轴长短轴长_，长轴长_焦点_焦距|F1F2|_对称性对称轴：_，对称中心：_离心率e_(0e1)A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)2bF1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)x 轴和 y 轴原点ca2a2c名师点拨(1)椭圆的焦点 F1，F2 必在它的长轴上(2)a 是椭圆的长半轴长，b 是椭圆的短半轴长，c 是椭圆的半焦距，它们满足关系
3、式：a2b2c2(ab0，ac0)如图所示，a，b，c 恰好构成一个直角三角形明确了 a，b 的几何意义，可得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法只要以短轴的端点 B1(或 B2)为圆心，以 a 为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点(3)椭圆离心率的意义当 e 越接近于 1 时，c 越接近于 a，从而 b a2c2越小，因此椭圆越扁；当 e 越接近于 0 时，c 越接近于 0，从而 b a2c2越接近于 a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当 ab 时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为 x2y2a2.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点()(
4、2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 ac.()(3)椭圆的离心率 e 越接近于 1，椭圆越圆()(4)椭圆x2a2y2b21(ab0)的长轴长等于 a.()椭圆 6x2y26 的长轴端点坐标为()A(1，0)，(1，0)B(6，0)，(6，0)C(6，0)，(6，0)D(0，6)，(0，6)答案：D与椭圆 9x24y236 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是()Ax22 y241 Bx2y261Cx26 y21 Dx28 y251答案：B已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于12，则 C 的方程是()Ax23 y241 Bx24 y231Cx24 y221
5、 Dx24 y231答案：D 求椭圆 4x29y236 的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率椭圆的简单几何性质【解】将椭圆方程变形为x29 y241，所以 a3，b2，所以 ca2b2 94 5.所以椭圆的长轴长和焦距分别为 2a6，2c2 5，焦点坐标为F1(5，0)，F2(5，0)，顶点坐标为 A1(3，0)，A2(3，0)，B1(0，2)，B2(0，2)，离心率 eca 53.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(3)求出 a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质注意 长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 a，b，c的两倍 1已知椭圆 C1
6、：x212y241，C2：x216y281，则()AC1 与 C2 顶点相同BC1 与 C2 长轴长相同CC1 与 C2 短轴长相同DC1 与 C2 焦距相同解析：选 D由两个椭圆的标准方程可知：C1 的顶点坐标为(2 3，0)，(0，2)，长轴长为 4 3，短轴长为 4，焦距为 4 2；C2 的顶点坐标为(4，0)，(0，2 2)，长轴长为 8，短轴长为 4 2，焦距为 4 2.故选 D2已知椭圆 C1：x2100y2641，设椭圆 C2 与椭圆 C1 的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆 C2 的焦点在 y 轴上(1)求椭圆 C1 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆 C2
7、的方程，并研究其性质解：(1)由椭圆 C1：x2100y2641 可得其长半轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标(6，0)，(6，0)，离心率 e35.(2)椭圆 C2：y2100 x2641，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称；顶点：长轴端点(0，10)，(0，10)，短轴端点(8，0)，(8，0)；焦点：(0，6)，(0，6)；离心率：e35.求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)短轴长 2 5，离心率 e23；(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.利用几何性质求椭圆的标准方程【解】(1)由 2b2 5，eca23，得
8、b25，a2b2a249，a29.当焦点在 x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x29 y251；当焦点在 y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y29x25 1.综上，所求椭圆的标准方程为x29 y251 或y29x25 1.(2)依题意可设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)如图所示，A1FA2 为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，所以 cb3，所以 a2b2c218，故所求椭圆的方程为x218y291.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置(2)设出相应椭圆的标准
9、方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数列方程(组)时常用的关系式有 b2a2c2，eca等 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心的距离为 3；(2)离心率为 32，经过点(2，0)解：(1)由题意知 a5，c3，b225916，焦点所在坐标轴可为 x 轴，也可为 y 轴，故椭圆的标准方程为x225y2161 或x216y2251.(2)由 eca 32，设 a2k，c 3k，k0，则 bk.又经过的点(2，0)为其顶点，故若点(2，0)为长轴顶点，则 a2，b1，椭
10、圆的标准方程为x24 y21；若点(2，0)为短轴顶点，则 b2，a4，椭圆的标准方程为x24 y2161.设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A 36 B13C12D 33求椭圆的离心率【解析】法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|3m，故离心率 eca2c2a|F1F2|PF1|PF2|3m2mm 33.法二：由 PF2F1F2 可知 P 点的横坐标为 c，将 xc 代入椭圆方程可解得 yb2a，所以|PF2|b2a.又由PF1F230可得|F1F2
11、|3|PF2|，故 2c 3b2a，变形可得 3(a2c2)2ac，等式两边同除以 a2，得 3(1e2)2e，解得 e 33 或 e 3(舍去)【答案】D1(变条件)若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“PF2F175，PF1F245”，求 C 的离心率解：在PF1F2 中，因为PF1F245，PF2F175，所以F1PF260，设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，椭圆的长轴长为 2a，则在PF1F2 中，有msin 75nsin 452csin 60，所以mnsin 75sin 452csin 60，所以 eca2c2asin 60sin 75sin 45 6 22
12、.2(变条件、变设问)若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“C 上存在点 P，使F1PF2 为钝角”，求 C 的离心率的取值范围解：由题意，知 cb，所以 c2b2，又 b2a2c2，所以 c2a2c2，即 2c2a2.所以 e2c2a212，所以 e 22.故 C 的离心率的取值范围为22，1.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 eca求解若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a2b2c2 求出 c 或 a，再代入公式 eca求解(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a2b2c2，转化为关于 a，c
13、 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围(2019绵阳高二检测)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点 P 使得 PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围为_解析：由 PF1PF2，知F1PF2 是直角三角形，所以|OP|cb，即 c2a2c2，所以 a 2c，因为 eca，0e1，所以 22 eb0)与椭圆x2a2y2b2(0 且 1)有()A相同的焦点B相同的顶点C相同的离心率D相同的长、短轴解析：选 C将椭圆方程x2a2y2b2(0 且 1)化为标准方程，得 x
14、2a2 y2b21(0 且 1)，其离心率 e a2b2a2 a2b2a.故选 C3已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个焦点是圆 x2y26x80的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为()A(3，0)B(4，0)C(10，0)D(5，0)解析：选 D因为圆的标准方程为(x3)2y21，所以圆心坐标为(3，0)，所以 c3.又 b4，所以 a b2c25.因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的左顶点为(5，0)4已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心率等于_解析：根据题意得 2b6，ac9 或 ac9(舍去)又因为 a2b2c2，所以 a5，c4，故 eca45.答案：45按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
