1、第九章第七节一、选择题1设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4B3C2D1答案C解析本小题考查内容为双曲线的渐近线双曲线的渐近线方程为yx，比较yx，a2.2(2014新课标)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2BCD1答案D解析本题考查双曲线的标准方程及离心率由条件知a23c2，e2，a1，选D3双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()ABCD答案C解析本题考查双曲线的渐近线及点到直线的距离公式不妨设顶点(2,0)，渐近线y，即x2y0，d.4如果双曲线1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是()A4B12C4或12D不确定答案C解析
2、由双曲线方程，得a2，c4.根据双曲线的定义|PF1|PF2|2a，则|PF1|PF2|2a84，|PF1|4或12，经检验二者都符合题意5(2014天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A1B1C1D1答案A解析由于一个焦点在直线y2x10上，则一个焦点为(5,0)，又由渐近线平行于直线y2x10.则2，结合a2b2c2，c5得，a25，b220，双曲线标准方程为1，选A6设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且0，则|等于()AB2CD2答案B解析由题意知：F1(，0)，F2(，0)
3、，2c2，2a2.0，PF1PF2，|2PO|F1F2|，|2.二、填空题7设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_.答案16解析本题考查双曲线的标准方程以及a、b、c基本量的关系和运算根据标准方程可知，a2m，b29，而c5，c2a2b2，52m9.m16.8在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_答案2解析本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识由双曲线标准方程1知a2m0，b2m24，c2a2b2mm24，由e得5，m0且5，m2.9如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为
4、_答案x21解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得B(2,0)，C(2,3)，解得，双曲线的标准方程为x21.三、解答题10根据下列条件求双曲线的标准方程(1)已知双曲线的渐近线方程为yx，且过点M(，1)；(2)与椭圆1有公共焦点，且离心率e.解析(1)双曲线的渐近线方程为2x3y0，可设双曲线的方程为4x29y2(0)又 双曲线过点M，4972.双曲线方程为4x29y272，即1.(2)解法1(设标准方程)由椭圆方程可得焦点坐标为(5,0)，(5,0)，即c5且焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，且c5.又e，a4，b2c2a29.双曲线的标准方程为1.解法2(
5、设共焦点双曲线系方程)椭圆的焦点在x轴上，可设双曲线方程为1(240，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A1B1C1D1答案A解析双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3,0)又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.2(文)(2014重庆高考)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离
6、心率为()ABC4D答案D解析此题考查双曲线的定义和几何性质及方程的思想|PF1|PF2|2a，(2a)2b23ab，即4a2b23ab，即4a23bab20，(4ab)(ab)0，b4A又c2b2a2，c217a2，e217即e.(理)(2014重庆高考)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()ABCD3答案B解析不妨设点P是右支上的一点，由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|，|PF1|PF2|，解得3b4a，所以离心率为e.双曲线的离心率e.二、填空题3等
7、轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为_答案4解析设C：1.抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4.得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C的实轴长为4.4双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点(，0)分成32两段，则此双曲线的离心率为_答案解析(c)(c)32.cb，ab，e.三、解答题5已知点A(，0)和点B(，0)，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线yx2交于D、E两点，求线段DE的长分析求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长解析设点C(x
8、，y)，则|CA|CB|2，根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线1.(a0，b0)由2a2,2c|AB|2，得a21，b22，故点C的轨迹方程是x21，由，消去y并整理得x24x60.因为0，所以直线与双曲线有两个交点设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1x24，x1x26，故|DE|4.点评(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况6(文)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线ykxm(k0，m
9、0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解析(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，又a2b2c2，得b21，故双曲线C的方程为y21.(2)联立，整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1x2，x0，y0kx0m，由题意，ABMN，kAB(k0，m0)，整理得3k24m1，将代入，得m24m0，m4，又3k24m10(k0)，即m.m的取值范围是(，0)(4，)(理)(2014福建高考)已知双曲线E
10、：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1、l2于A，B两点(A、B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由解析(1)双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，2，2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C，当lx轴时，若直线l与双曲线E只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a，又OAB的面积为8，|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1，若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能是1.以下证明：当直线l与x轴不垂直时，双曲线E：1也满足条件，设直线l的方程为ykxm，依题意得k2或k2，则C(，0)，记A(x1，y1)、B(x2，y2)由得y1，同理得y2.由SOAB|OC|y1y2|得|8，即m24|4k2|4(k24)，由得，(4k2)x22kmxm2160，4k204k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)，又m24(k24)，0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.
