1、第十章第五节一、选择题1(文)(2014中原名校联考)设f(x)x22x3(xR)，在区间，内随机取一个数x，则f(x)0的概率为()A. B. C. D.答案A解析由f(x)0得，x22x30，解得1x3.又x，所求概率为P.(理)(2014河北名校名师俱乐部模拟)在区间1,5上任取一个数m，则函数yx24x2(0xm)的值域为6，2的概率是()A. B C. D答案C解析当x2时，y6；当x0或4时，y2.即m2,4时，函数yx24x2(0xm)的值域为6，2，则所求概率为P.2(文)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A. B C. D答案
2、D解析3个红球记为a、b、c,2个白球记为1、2.则从袋中取3个球的所有方法是：abc，ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12.共10个基本事件，则至少有一个白球的基本事件是ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12共9个至少有一个白球的概率为.故选D.(理)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是()A.BC.D答案C解析从10个点中任取三个有C种方法，能构成直角三角形时，必须有两点连线为直径，这样的直径有5条，能构成直角三角形5840个，概率P.3(文)(2
3、014豫东、豫北十所名校联考)已知a，b1,1，则函数f(x)axb在区间(1,2)上存在一个零点的概率为()A.BC.D答案C解析由于f(x)axb在(1,2)上存在零点，所以f(1)f(2)0，即(ab)(2ab)0，作出线性约束条件的可行域如图所示，阴影部分面积为21，所以概率为P.(理)(2014河北衡水中学第五次调研)已知菱形ABCD的边长为4，ABC150，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为()A.B1C.D1答案D解析如图，当点P落在图中阴影部分时，P到菱形的四个顶点A、B、C、D的距离都大于1，P1.4(文)m2，1,0,1,2,3，n3，2，1,0
4、,1,2，且方程1有意义，则方程1可表示不同的双曲线的概率为()A.B1C.D答案D解析由题设知或1时有不同取法339种2时有不同取法224种所求概率P.(理)(2014河北邯郸二模)甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是()A.BC.D答案A解析第一种情况：甲安排在第一天，则有A12种；第二种情况：甲安排在第二天，则有A6种；第三种情况：甲安排在第三天，则有A2种，所以所求概率为.5(2014石家庄市质检)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2xa0无实根的概率为()A.BC.
5、D答案C解析方程x2xa0无实根，则14a，故所求概率P.6已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是()A.BC.D答案A解析当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P1，故选A.二、填空题7(2014银川模拟)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线axby0与圆(x2)2y22相交的概率为_答案解析圆心(2,0)到直线axby0的距离da，满足ba的共有15种情况，因此直线axby0与圆(x2)2y22相交的概率为P.8一排有5个凳子，两人各随机就座，则每人两侧都有空凳的概率为_答案解析把两个坐了
6、人的凳子记作1，三个未坐人的凳子记作0，则问题转化为将三个0和两个1排一列，1不相邻且不在两头的概率问题所有排法种数共有10种，符合条件的只有1种，故所求概率为P.9从集合(x，y)|x2y24，xR，yR内任选一个元素(x，y)，则x、y满足xy2的概率为_答案解析即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型，概率为.三、解答题10(文)(2014山西四校联考)某班优秀生16人，中等生24人，学困生8人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取6名学生做学习习惯调查，(1)求应从优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数；(2)若从抽取的6名学生中随机抽取2名学生做进一步数据分析， 列出所有可
7、能的抽取结果；求抽取的2名学生均为中等生的概率解析(1)优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数为2、3、1.(2)在抽取到的6名学生中，3名中等生分别记为A1，A2，A3,2名优秀生分别记为A4，A5,1名学困生记为A6，则抽取2名学生的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种从这6名学生中抽取的2名学生均为中等生(记为事件B)的所有可能结果为A1A2，A1，A3，A2，A3，共3种，所以P(B).(理)已知函数f(x)x2axb
8、.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间0,4上任取的一个数，求f(1)0成立的概率解析(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为N5525个函数有零点的条件为a24b0，即a24b.因为事件“a24b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a24b”的概率为P，即函数f(x)有零点的概率为.(2)a，b都是从区间0,4上任取的一个数，f(1)1ab0，即ab1，此为几何概型
9、如图可知，事件“f(1)0”的概率为P.一、选择题11从1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)ax2bxc的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为()A.BC.D答案A解析首先取a，a0，a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，共组成不同的二次函数33218个f(x)若有变号零点，不论a0还是a0，即b24ac0，b24ac.首先b取0时，a、c须异号，a1，则c有2种，a取1或2，则c只能取1，共有4种b1时，若c0，则a有2种，若c1，a只能取2.若c2，则a1，共有4种若b1，则c只能取0，有2种若b2，取a有2种，取c有
10、2种，共有224种综上所述，满足b24ac的取法有442414种，所求概率P.12(文)(2014烟台模拟)在一个盒子中有编号为1,2的红色球2个，编号为1,2的白色球2个，现从盒子中摸出两个球，每个球摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是()A.BC.D答案C解析设红色球为A1，A2，白色球为B1，B2，从中任取2个球，则所有不同的取法有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6种不同取法，其中颜色不同且编号不同的情形有(A1，B2)，(A2，B1)2种，所求概率P，故选C.(理)(2014东营
11、模拟)在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()A.BC.D答案B解析从6个顶点中任取4个顶点有C15种不同取法，其中能构成梯形的情形有6个，所求概率P.13若区域M (x，y)|x|y|2，双曲线y21的两条渐近线将平面分成四部分，其中焦点所在的两部分区域记作N，在区域M内任取一点P(x，y)，则点P落在区域N内的概率为()A.BC.D答案B解析双曲线的焦点在x轴上，两渐近线方程为yx与yx，区域M为正方形ABCD，其面积S8，在M中任取一点P，落在区域N内的点P构成的区域为图中阴影部分，由解得阴影部分的面积S14(2)，所求概率为P.14(2014辽宁抚顺二中
12、期中)在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率是()A.BC.D答案B解析画出可行域如图所示，正方形内部面积为2，圆内部面积为，由几何概型的概率公式得P.二、填空题15(文)在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥SAPC的体积大于的概率是_答案解析由题意可知，三棱锥SABC的高与三棱锥SAPC的高相同作PMAC于M，BNAC于N，则PM、BN分别为APC与ABC的高，所以，又，所以，故所求的概率为(即为长度之比)(理)先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a、b.将a、b、5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是_答案分析
13、本题有两个要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等解析基本事件的总数为6636.三角形的一边长为5，当a1时，b5符合题意，有1种情况；当a2时，b5符合题意，有1种情况；当a3时，b3或5符合题意，即有2种情况；当a4时，b4或5符合题意，有2种情况；当a5时，b1,2,3,4,5,6符合题意，即有6种情况；当a6时，b5或6符合题意，即有2种情况故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为P.16(2014河南南阳三联)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)0，f (x)g(x)f(x)g(x)，f(x)axg(x)，则关于x
14、的方程abx2x0(b(0,1)有两个不同实根的概率为_答案解析f(x)axg(x)，ax，f (x)g(x)f(x)g(x)，g(x)0，()(ax)axlna0，即lna0，0a0，即0b0且1，即2ba.若a1，则b1；若a2，则b1,1；若a3，则b1,1.事件包含基本事件的个数是1225，所求事件的概率为P.(2)由(1)知当且仅当2ba且a0时，函数f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为(，)，所求事件的概率为P.18(文)(2015安徽省示范高中一联)某学校共有30至50岁之间的(包括30与
15、不包括50)数学教师15人，其年龄分布茎叶图如图所示，从中选取3人参加支教.茎叶3022445667740124x(1)若教师年龄分布的极差为15，求教师的平均年龄；(2)若选出的3人中有2名男教师1名女教师，将他们分配到两所学校，每校至少有一人，则2名男教师分在同一所学校的概率为多少？解析(1)极差为15，所以40x3015x5.37.(2)记两名男教师为A、B，一名女教师为a，分配到两校的教师情况如表：基本事件总数为6,2名男教师分在同一学校的基本事件有2个，P.两所学校为甲、乙甲校乙校A、BaA、aBB、aAAB、aBA、aaA、B(理)(2015广州执信中学期中)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的分布列和数学期望解析(1)一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A，则P(A).答：一次取出的3个小球上的数字互不相同的概率为.(2)由题意2,3,4,5，P(2)，P(3)，P(4)，P(5).随机变量的概率分布列为2345P E()2345.
