1、第二章知能基础测试时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱的对角面个数f(k1)为导学号05300577()Af(k)k1Bf(k)k1Cf(k)kDf(k)k2答案A解析增加的一条侧棱与其不相邻的k2条侧棱形成k2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k1个对角面，f(k1)f(k)k1.故选A.2已知a0，b0，a、b的等差中项为，且a，b，则的最小值为导学号05300578()A3B4C5D6答案C解析由已知得ab1
2、，ab13325.故选C.3已知f(x)x3x(xR)，a、b、cR，且ab0，bc0，ca0，则f(a)f(b)f(c)的符号为导学号05300579()A正B负C等于0D无法确定答案A解析f(x)3x210，f(x)在R上是增函数又ab0，ab.f(a)f(b)又f(x)x3x是奇函数，f(a)f(b)，即f(a)f(b)0.同理：f(b)f(c)0，f(c)f(a)0，f(a)f(b)f(c)0，故选A.4下列代数式(其中kN*)能被9整除的是导学号05300580()A667kB27k1C2(27k1)D3(27k)答案D解析特值法：当k1时，显然只有3(27k)能被9整除，故选D.证
3、明如下：当k1时，已验证结论成立，假设当kn(nN*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.3(27n)能被9整除，36能被9整除，21(27n)36能被9整除，这就是说，kn1时命题也成立故命题对任何kN*都成立5已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，那么a，b，c的值为导学号05300581()Aa，bcBabcCa0，bcD不存在这样的a、b、c答案A解析令n1，得13(ab)c，令n2，得1239(2ab)c，令n3，得12333227(3ab)c.即，a，bc.故选A.6观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，
4、a4b47，a5b511，则a10b10导学号05300582()A28B76C123D199答案C解析法一：由ab1，a2b23得ab1，代入后三个等式中符合，则a10b10(a5b5)22a5b5123，故选C.法二：令ananbn，则a11，a23，a34，a47，得an2anan1，从而a618，a729，a847，a976，a10123，故选C.7观察下列各式：553125,5615625,5778125，则52015的末四位数字为导学号05300583()A3125B5625C0625D8125答案D解析553125,5615625,5778125，58末四位数字为0625,59末
5、四位数字为3125，510末四位数字为5625,511末四位数字为8125，512末四位数字为0625，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，52015545027末四位数字为8125.8.已知函数f(x)满足f(0)0，导函数f (x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为导学号05300584()A.BC2D答案B解析由f (x)的图象知，f (x)2x2，设f(x)x22xc，由f(0)0知，c0，f(x)x22x，由x22x0得x0或2.故所求面积S(x22x)dx.9平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f(n)块区域，
6、有f(1)2，f(2)4，f(3)8，则f(n)的表达式为导学号05300585()A2nBn2n2C2n(n1)(n2)(n3)Dn35n210n4答案B解析四个选项的前三项是相同的，但第四项f(4)14(如图)就只有B符合，从而否定A，C，D，选B，一般地，可用数学归纳法证明f(n)n2n2.故选B.10已知等比数列an，其前n项和为Snk，则Sk1与Sk的递推关系不满足导学号05300586()ASk1SkBSk11SkCSk1Skak1DSk13Sk3akak1答案A解析Sk1a1a2akak1Skak1.C真Sk1111Sk.B真3Sk3313akak13Sk1akak1.D真事实上
7、，Sk1Skak1Sk.A不真故选A.11下列结论正确的是导学号05300587()A当x0且x1时，lgx2B当x0时，2C当x2时，x的最小值为2D当00)中，AB为直径，C为圆上异于A、B的任意一点，则有kACkBC1.你能用类比的方法得出椭圆1(ab0)中有什么样的结论？并加以证明导学号05300594解析类比得到的结论是：在椭圆1(ab0)中，A、B分别是椭圆长轴的左右端点，点C(x，y)是椭圆上不同于A、B的任意一点，则kACkBC证明如下：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B(x0，y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAP
8、kBP.由于A、B、P三点在椭圆上，两式相减得，0，即kAPkBP.故在椭圆1(ab0)中，长轴两个端点为A、B、P为异于A、B的椭圆上的任意一点，则有kABkBP.19(本题满分12分)已知a、bR，求证：.导学号05300595证明设f(x)，x0，)设x1、x2是0，)上的任意两个实数，且0x1x10，所以f(x2)f(x1)所以f(x)在0，)上是增函数(大前提)由|a|b|ab|0(小前提)知f(|a|b|)f(|ab|)即成立20(本题满分12分)设a，bR，且ab，求证：a3b3a2bab2.导学号05300596证明证法1：用分析法要证a3b3a2bab2成立，只需证(ab)(
9、a2abb2)ab(ab)成立又因ab0，只需证a2abb2ab成立只需证a22abb20成立即需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此命题得证证法2：用综合法abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.注意到a，bR，ab0，由上式即得(ab)(a2abb2)ab(ab)a3b3a2bab2.21(本题满分12分)(2015甘肃省会宁一中高二期中)用数学归纳法证明等式：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)导学号05300597证明(1)当n1时，左边12223，右边1(21)3，故左边右边，当n1时，等式成立；(2)假设nk时，等式成立
10、，即122232(2k1)2(2k)2k(2k1)成立，那么nk1时，左边122232(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)24(k1)2(2k1)(2k1)k4(k1)2(k1)(2k3)(k1)2(k1)1，综合(1)、(2)可知等式12223242(2k1)2(2n)2n(2n1)对于任意正整数都成立22(本题满分14分)(2015湖北理，22)已知数列an的各项均为正数，bnnnan(nN)，e为自然对数的底数导学号05300598(1)求函数f(x)1xex的单调区间，并比较n与e的大小；(2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令cn(a1a2an)，数列an，cn
11、的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：TneSn.解析(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1ex.当f(x)0，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0，即x0时，f(x)单调递减故f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)当x0时，f(x)f(0)0，即1xex.令x，得1e，即(1)ne.(2)1(1)1112；22(1)2(21)232；323(1)3(31)343.由此推测：(n1)n.下面用数学归纳法证明.(1)当n1时，左边右边2，成立(2)假设当nk时，成立，即(k1)k.当nk1时，bk1(k1)(1)k1ak1，由归纳假设可得(k1)k(k1)(1)k1(k2)k1.所以当nk1时，也成立根据(1)(2)，可知对一切正整数n都成立(3)由cn的定义，算术几何平均不等式， bn的定义及得Tnc1c2c3cn(a1)(a1a2)(a1a2a3)(a1a2an)b1b2bnb1(1)b2()bn()(1)1a1(1)2a2(1)nanea1ea2eaneSn.即TneSn.
