1、2.8函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x) (xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系3.二分法(1)定义：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度，用二分法求函数
2、f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()
3、(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(5)函数y2sin x1的零点有无数多个()(6)函数f(x)kx1在1,2上有零点，则1k.()2(2013天津)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析当0x1时，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1，令f(x)0得log2xx，由ylog2x，yx的图象知在(1，)上有一个交点，即f(x)在(1，)上有一个零点，故选B.3(2013重庆)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和
4、(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内答案A解析由于ab0，f(b)(bc)(ba)0.因此有f(a)f(b)0，f(b)f(c)0.f(x)在其定义域上是严格单调递增函数f()e40，f(0)e040320，f()e20，f()f()1时，f(x)单调递减，因为f(3)ln 310，f(4)ln 421时，方程f(x)f(a)的实根个数为_思维启迪(1)函数零点的确定问题；(2)f(x)f(a)的实根个数转化为函数g(x)f(x)f(a)的零点个数答案(1)C(2)3解析(1)当x0时，f(x)0.又因为x0,4，所以0x216.因为516，所以函数ycos x2在x2
5、取，时为0，此时f(x)0，所以f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为6.(2)令g(x)f(x)f(a)，即g(x)x2a2，整理得：g(x)(xa)(ax2a2x2)显然g(a)0，令h(x)ax2a2x2.h(0)20，h(x)在区间(，0)和(0，a)各有一个零点因此，g(x)有三个零点，即方程f(x)f(a)有三个实数解思维升华函数零点的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定，零点个数的确定，两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法(1)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1
6、,0)C(0,1) D(1,2)(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于4个 B4个C3个 D2个答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2xln 230，f(x)2x3x在R上是增函数而f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0，即f(x)0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1，所以f(x)x2x.令f
7、(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a.综上所述，a1.思维升华解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由
8、根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.思维升华对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决已知定义在R上的函数yf(x)满足f(x2)f(x)，当1x1时，f(x
9、)x3，若函数g(x)f(x)loga|x|至少有5个零点，则a的取值范围是()A(1,5) B(0，)5，)C(0，5，) D，1(1,5答案B解析依题意知函数f(x)的周期为2，在坐标平面内画出函数yf(x)与函数yloga|x|的图象，如图所示，结合图象，可知要使函数g(x)f(x)loga|x|至少有5个零点，则有0a0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根思维启迪(1)yg(x)m有零点即yg(x)与ym的图象有交点，所以可以结合图象求解；(2)g(x)f(x)0有两个相异实根yf(x)与yg(x)的图象有两个不同交
10、点，所以可利用它们的图象求解规范解答解(1)方法一g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，3分因而只需m2e，则yg(x)m就有零点6分方法二作出g(x)x (x0)的大致图象如图3分可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.6分(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x (x0)的大致图象如图8分f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.10分故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(
11、e22e1，)12分温馨提醒(1)求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解(2)本题的易错点是确定g(x)的最小值和f(x)的最大值时易错要注意函数最值的求法.方法与技巧1函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题失误与防范1函数f(x)
12、的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.A组专项基础训练一、选择题1方程log3xx30的解所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案C解析设f(x)log3xx3，则f(2)log3210，f(x)0在(2,3)有零点，又f(x)为增函数，f(x)0的零点在(2,3)内2方程|x22x|a21(a0)的解的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图
13、，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点3若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)答案C解析方程x2mx10有两个不相等的实数根，m240，m2或m2.4已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则()Aabc BacbCbac Dcab答案B解析由于f(1)10，且f(x)为单调递增函数故f(x)2xx的零点a(1,0)g(2)0，g(x)的零点b2；h10，且h(x)为单调递增函数，h(x)的零点c，因此ac0时，f(x)2 015xlog2
14、 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_答案3解析函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 015xlog2 015x在区间(0，)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.7已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值 范围是_答案(0,1)解析画出f(x)的图象，如图由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m0的解集是_答案x|x0，即(4x22x6)02x2x30，解集为x|x1三、解答题9已知函数f(x)x3x2
15、.证明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.证明令g(x)f(x)x.g(0)，g()f()，g(0)g()0)，则t2mt10.当0，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意当0，即m2或m2时，t2mt10有两正根或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符合题意综上可知，m2时，f(x)有唯一零点，该零点为x0.B组专项能力提升1已知x1，x2是函数f(x)ex|ln x|的两个零点，则()A.x1x21 B1x1x2eC1x1x210 Dex1x210答案A解析在同一坐标系中画出函数yex与y|ln x|的图象，结合图象不难看出，它们的两个
16、交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，)，即在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，)不妨设x1(0,1)，x2(1，)，则有ex1|ln x1|ln x1(e1,1)，ex2|ln x2|ln x2(0，e1)，ex2ex1ln x2ln x1ln x1x2(1,0)，于是有e1x1x2e0，即x1x21.2若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：P，Q都在函数yf(x)的图象上；P，Q关于原点对称则称点对P，Q是函数yf(x)的一对“友好点对”(点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”)已知函数f(x)则此函数的“友好点对”有
17、()A0对 B1对 C2对 D3对答案C解析函数f(x)的图象及函数f(x)x24x(x0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)x24x(x0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”有2对，选C.3若方程k(x2)3有两个不等的实根，则k的取值范围是_答案(，解析作出函数y1和y2k(x2)3的图象如图所示，函数y1的图象是圆心在原点，半径为2的圆在x轴上方的半圆(包括端点)，函数y2的图象是过定点P(2,3)的直线，点A(2,0)，kPA.直线PB是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，2，得kPB.由图可知当kPBkkPA时，两函数图象有两个交
18、点，即原方程有两个不等实根所以k.4已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围解(1)由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内， 如右图所示，得即m，故m的取值范围是(，)(2)抛物线与x轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等 式组即m1.故m的取值范围是(，15已知a是正实数，函数f(x)2ax22x3a.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围解f(x)2ax22x3a的对称轴为x .当1，即0a时，须使即a的解集为.当1时，须使即解得a1，a的取值范围是1，)
