1、高考资源网（） 您身边的高考专家第4讲概率考情解读(1)选择、填空题中常考古典概型和几何概型的基本应用，难度较小(2)解答题中常将古典概型与概率的基本性质相结合，侧重考查逻辑思维能力，知识的综合应用能力1概率的五个基本性质(1)随机事件的概率：0P(A)1.(2)必然事件的概率是1.(3)不可能事件的概率是0.(4)若事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)若事件A，B对立，则P(AB)P(A)P(B)1，P(A)1P(B)2两种常见的概率模型(1)古典概型特点：有限性，等可能性概率公式：P(A).(2)几何概型特点：无限性，等可能性P(A).热点一古典概型例1(2013山东)某小组
2、共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率思维启迪列举选法的所有情况，统计符合条件的方法数，然后使用古典概型的概率公式解(1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(
3、B，D)，(C，D)共6个设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M，其包括的事件有3个，故P(M).(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10个设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)”为事件N，且事件N包括事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)共3个则P(N).思维升华求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法求
4、出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；(4)计算事件A的概率P(A).(1)一个口袋中有红球3个，白球4个从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，则摸2次恰好第2次中奖的概率为_答案解析设“摸2次恰好第2次中奖”为事件A，则P(A)，所以，摸2次恰好第2次中奖的概率为.(2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A. B.C. D.答案D解析根据题目条件知所有的数组(a
5、，b)共有6236组，而满足条件|ab|1的数组(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P.故选D.热点二几何概型例2(1)(2014湖南)在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为()A. B.C. D.(2)(2013四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩
6、灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.思维启迪(1)几何概型，试验结果构成的区域长度；(2)几何概型，试验结果构成的区域为面积答案(1)B(2)C解析(1)在区间2,3上随机选取一个数X，则X1，即2X1的概率为p.(2) 如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|xy|2).思维升华当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找
7、，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域(1)在区间3,3上随机取一个数x，使得函数f(x)1有意义的概率为_(2)已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()A. B.C. D.答案(1)(2)D解析(1)由得f(x)的定义域为3,1，由几何概型的概率公式，得所求概率为P.(2)取边BC上的中点D，由20，得2，而由向量的中点公式知2，则有，即P为AD的中点，则SABC2SPBC，根据几何概率的概率公式知，所求的概率为.热点三互斥事件与对立事件例3某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人
8、通晓两种外语)已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为，通晓中文和日语的概率为.若通晓中文和韩语的人数不超过3人(1)求这组志愿者的人数；(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率思维启迪无人通晓两种外语说明抽1人，其通晓英语、通晓日语、通晓韩语是互斥的解(1)设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，zN*，则解得所以这组志愿者的人数为53210.(2)设通晓中文和英语的人为A1，A2，A3，A4，A5，甲为A1，通晓中文和韩语的人为B1，B2，乙为B1，则从这组
9、志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A5，B1)，(A5，B2)，共10种，同时选中甲、乙的只有(A1，B1)1种所以甲和乙不全被选中的概率为1.思维升华求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率 (2013江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2
10、、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就去打球，若X0就去唱歌，若X0，即ab.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x2有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)由几何概型公式可得P(A).5有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为()A. B. C. D.答案D解析有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现
11、的可能性是相等的；设事件A为“取出球的编号互不相同，”则事件A包含了CCCCC80个基本事件，所以P(A).6在区间0,2上任取两个实数a，b，则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率是()A. B.C. D.答案D解析因为f(x)3x2a，由于a0，故f(x)0恒成立，故函数f(x)在1,1上单调递增，故函数f(x)在区间1,1上有且只有一个零点的充要条件是即设点(a，b)，则基本事件所在的区域是画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是.故选D.二、填空题7点A为周长等于3的圆周上的一个定点若
12、在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_答案解析如图，设A，M，N为圆周的三等分点，当B点取在优弧上时，对劣弧来说，其长度小于1，故其概率为.8(2013江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案解析P.9抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是_答案解析将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x，y记作有序实数对(x，y)，共包含16个基本事件，其中为整数的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，
13、(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为.10已知区域(x，y)|xy10，x0，y0，A(x，y)|xy0，x5，y0，若向区域上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率P(A)_.答案解析作出如图所示的可行域，易得区域的面积为101050，区域A(阴影部分)的面积为55.故该点落在区域A的概率P(A).三、解答题11一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率解设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(
14、A).所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.12设O为坐标原点，点P的坐标为(x2，xy)(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；(2)若利用计算机随机在0,3上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率解(1)记抽到的卡片标号为(x，y)，所有的情况分别如表所示：(x，y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x2，xy)(1，0)(1，1)(1，2)(0,1)(0,0)(0，1)(1,2)
15、(1,1)(1,0)|OP|11011其中基本事件的总数为9，随机事件A为“|OP|取到最大值”包含2个基本事件，故所求的概率为P(A).(2)设事件B为“P点在第一象限”若则其所表示的区域面积为339.由题意可得事件B满足即如图所示的阴影部分，其区域面积为1311.故P(B).13现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率解(1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成
16、的基本事件空间为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)由18个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等因此这些基本事件的发生是等可能的用M表示“C1恰被选中”这一事件，则M(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)事件M由9个基本事件组成，因而P(M).(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A1，B1全被选中”这一事件，由于(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，事件由2个基本事件组成，所以P().由对立事件的概率公式得P(N)1P()1.- 13 - 版权所有高考资源网
