1、24 向量的数量积(二)第2章平面向量学习导航第2章平面向量学习目标 1.了解平面向量数量积的坐标表示 2理解平面向量数量积的坐标运算(重点)3掌握利用平面向量的数量积求向量的夹角、平行、垂直等问题(重点、难点)学法指导 平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时,平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量1.向量数量积的坐标表示 设a(x1，y
2、1)，b(x2，y2)，则ab_，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的_ 2.求向量模的公式 设a(x，y)，则|a|2a2aax2y2或|a|_x1x2y1y2乘积的和x2y2栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量3两点间距离公式设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|_（x2x1）2（y2y1）24向量的夹角公式设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 a0，b0，a 与 b 夹角为，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高
3、课时 作业 第2章平面向量5向量垂直设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_x1x2y1y20栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量1已知向量a(1，2)，b(3，2)，则a(ab)_.解析：法一：ab(1，2)(3，2)(4，0)，所以a(ab)(1，2)(4，0)(1)(4)204.法二：a(ab)a2ab(1)222(1，2)(3，2)5(1)322514.4栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量解析：由于单位向量 a0 a|a|，且|a|x2y2，所以 a0 a
4、|a|1x2y2(x，y)(xx2y2，yx2y2)2与非零向量a(x，y)同向的单位向量的坐标为_(xx2y2，yx2y2)栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量解析：cos ab|a|b|155 23 22.又0，34.3已知a(5，5)，b(0，3)，则a与b的夹角为_34栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量4已知向量a(2，4)，b(1，1)，若向量b(ab)，则实数的值是_ 解析：b(ab)babb2141203.3栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教
5、材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量平面向量数量积的坐标运算已知向量a(1，3)，b(2，5)，c(2，1)求：(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c，a(bc)(链接教材P87例2)栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量解(1)ab(1，3)(2，5)123517.(2)ab(1，3)(2，5)(3，8)，2ab2(1，3)(2，5)(2，6)(2，5)(0，1)，(ab)(2ab)(3，8)(0，1)30818.(3)(ab)c17c17(2，1)(34，17)，a(bc)a(2，5)(2，1)(1，3)(2
6、251)9(1，3)(9，27)方法归纳 以坐标形式计算数量积，要找准数量积中各向量的 坐标，可一步一步计算每个过程以保证结果正确栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量1.例1的条件不变，求(1)2a(ba)；(2)(a2b)c.解：(1)2a2(1，3)(2，6),ba(2，5)(1，3)(1，2),2a(ba)(2，6)(1，2)216214.(2)a2b(1，3)2(2，5)(1，3)(4，10)(5，13)，(a2b)c(5，13)(2，1)5213123.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课
7、时 作业 第2章平面向量向量的模与夹角问题 已知向量a(1，0)，b(1，1)，则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为_;(2)向量b3a与向量a夹角的余弦值为_(链接教材P87例3，P88T9)(3 1010，1010)2 55栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量解析(1)因为 2ab(3，1)，所以与它同向的单位向量的坐标是(3 1010，1010)(2)b3a(2，1)，所以(b3a)a2，|b3a|5，所以 b3a 与 a 夹角的余弦值为（b3a）a|b3a|a|25 2 55.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作
8、学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量方法归纳 熟练掌握平面向量的夹角公式，两向量的数量积定义及其 运算性质是解此类题目的关键，在求解过程中只要明确所求 解的量，并逐步求解所求的量即可顺利解题栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量2.已知向量 a(3，1)和 b(1，3)，若 acbc，试求模为 2的向量 c 的坐标解：法一：设 c(x，y)，则 ac(3，1)(x，y)3xy，bc(1,3)(x，y)x 3y，由 acbc 及|c|2，得 3xyx 3yx2y22，解得x 312y 312或x 312y 312，栏目导引
9、 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量所以 c(312，312)或 c(312，312)法二：由于 ab 31(1)30，且|a|b|2，从而以 a，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于 acbc，所以 c 与 a，b 的夹角相等，从而 c 与正方形的对角线共线此外，由于|c|2，即其长度为正方形对角线长度(2|b|2 2)的一半，故 c12(ab)(312，312)栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量或 c12(ab)(312，312)即向量 c 的坐标为(312，312)或(31
10、2，312)栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量向量垂直的坐标表示已知向量 a(4，3)，b(1，2)若向量 ab与 2ab 垂直，求 的值(链接教材 P87 例 4)解 法一：a(4，3)，b(1，2)，ab(4，3)(1，2)(4，32).2ab2(4，3)(1，2)(7，8)又 ab 与 2ab 垂直，(ab)(2ab)0，即 7(4)8(32)0.529.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量法二：ab 与 2ab 垂直，(ab)(2ab)0.2a22ababb20.a
11、(4，3)，b(1，2)，a225，b25，ab462.504250.529.方法归纳 充分利用向量垂直的条件，将问题转化为实数方程组的求解问题栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量3.在ABC 中，AB(2，3)，AC(1，k)，且ABC 的一个内角为直角，求 k 的值解：当 A90时，AB AC 0，213k0，k23；当 B90时，AB BC 0，BC AC AB(12，k3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量k113；当 C90时，
12、AC BC 0，1k(k3)0，k3 132.综上所述：k23或113 或3 132.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量解 由 cos 0 得 x85，又因为 ab 时有4x100，即 x52，当 x52时，a2，52 12b，所以 a 与 b 反向，故 x85且 x52.易错警示 忽略共线情况而致误 设a(2，x)，b(4，5)，若a与b夹角为钝角，求x的取值范围栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量错因与防范(1)错因：误认为两向量的夹角 为钝角与cos 0 是等价转化，
13、而当 时，cos 10.(2)防范：向量 a 与 b 的夹角为钝角(锐角)并不等价于ab0)，还应保证两向量不反向(同向)共线，这里易忽略共线的特殊情况，事实上，cos ab|a|b|0)包含了cos 1(cos 1)的情况，此时两向量是共线的位置关系，不属于夹角为钝角(锐角)的范围，理应去掉栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量解：a(1，1)，b(，1)，|a|2，|b|12，ab1.a，b 的夹角 为钝角12 121，即12210.1 且 1.的取值范围是(，1)(1，1)4已知a(1，1)，b(，1)若a与b的夹角为钝角,求的取
14、值范围栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量(本题满分 14 分)如图，函数 y2sin(x)(xR，02)的图象与 y 轴交于点(0，1)设 P 是图象上的最高点，M，N 是图象与 x 轴的交点，求PM PN 的值规范解答 向量与三角函数的综合应用 栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量解 函数 y2sin(x)(xR，02)的图象与 y轴交于点(0，1)，2sin(0)1，sin 12.2 分又02，6.4 分故函数的解析式为 y2sin(x6)，6 分则 P(13，2)，M
15、(16，0)，N(56，0)，8 分栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量PM 1613，02 12，2，PN 5613，02 12，2，10 分PM PN 1212(2)(2)154.14 分栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量规范与警示 根据题意，正确求得函数的解析式是求解本题的重要基础由图可知 M、P、N 为函数图象上的三个特殊点，正确用坐标表示这三点是解决本题的关键求得PM，PN 的坐标后，再用向量的数量积的坐标公式求得PM PN 的值栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
