1、第3讲函数的应用考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题1函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标(3)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存
2、在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解2函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一函数的零点例1(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在的区间是()A(，
3、1) B(1，e1)C(e1,2) D(2，e)(2)(2014辽宁)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)则不等式f(x1)的解集为()A，B，C，D，思维升华(1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决答案(1)C(2)A解析(1)因为f()ln40，f(1)ln 220，f(e1)10，故零点在区间(e1,2)内(2)先画出y轴右边的图象，如图所示f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，可画出y轴左边的图象，再画直线y.设与曲线交于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标令cos x，x0，x，x.令2x1，x，xA，xB.根据对称性可知直线y与曲线另外两
4、个交点的横坐标为xC，xD.f(x1)，则在直线y上及其下方的图象满足，x1或x1，x或x.思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解(1)已知函数f(x)()xcos x，则f(x)在0,2上的零点个数是()A1 B2C3 D4(2)已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0x00Cf(x0)0 Df(x0)的符号不确定答案(1)C(2)C解析(1)f(x)在0,2上的零点个数就
5、是函数y()x和ycos x的图象在0,2上的交点个数，而函数y()x和ycos x的图象在0,2上的交点有3个，故选C.(2)f(x)2xlogx在(0，)上是增函数，又a是函数f(x)2xlogx的零点，即f(a)0，当0x0a时，f(x0)0.热点二函数的零点与参数的范围例2对任意实数a，b定义运算“”：ab设f(x)(x21)(4x)，若函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是()A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)思维启迪先确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求k的范围答案D解析解不等式：x21(4x)1，得：x2或x3，所以，f(x)函数yf(
6、x)k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数yf(x)的图象和直线yk恰有三个不同交点如图，所以1k2，故2k1.思维升华已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解已知函数f(x)(kR)，若函数y|f(x)|k有三个零点，则实数k的取值范围是()Ak2 B1k0C2k1 Dk2答案D解析由y|f(x)|k0，得|f(x)|k0，所以k0，作出函数y|f(x)|的图象，要使yk与函数y|f(x)|有三个交点，则有k2，即k2，选D.热点三函数的实际应用问题例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行
7、调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)|a|2a，x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a0，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)(1)令t，x0,24，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪(1)分x0和x0两种情况，当x0时变形使用基本不等式求解(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)|ta|2a，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)解(1)当x0时，t0；当0x24时，x2(当x1时取等号)，t(0，即t的取值范围是0，(
8、2)当a0，时，记g(t)|ta|2a，则g(t)g(t)在0，a上单调递减，在(a，上单调递增，且g(0)3a，g()a，g(0)g()2(a)故M(a)即M(a)当0a时，M(a)a2显然成立；由得a，当且仅当0a时，M(a)2.故当0a时不超标，当a时超标思维升华(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元
9、)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元，依题意得：当0x80时，L(x)(0.051 000x)x210x250x240x250.当x80时，L(x)(0.051 000x)51x1 4502501 200(x)所以L(x)(2)当0x80时，L(x)(x60)2950.此时，当x60时，L(x)取得
10、最大值L(60)950万元当x80时，L(x)1 200(x)1 20021 2002001 000，此时，当x即x100时，L(x)取得最大值1 000万元因为9501 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元1函数与方程(1)函数f(x)有零点方程f(x)0有根函数f(x)的图象与x轴有交点(2)函数f(x)的零点存在性定理如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使f(c)0.如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，
11、并且函数f(x)在区间a，b上是一个单调函数，那么当f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点2函数综合题的求解往往应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决3应用函数模型解决实际问题的一般程序与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1(
12、2014重庆)已知函数f(x)且g(x)f(x)mxm在(1,1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，2)因为直线ymxmm(x1)恒过定点C(1,0)，故当直线ym(x1)在AC位置时，m，可知当直线ym(x1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线ym(x1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0m，g(x)有两个不同的零点当直线ym(x1)过点B时，m2；当直线ym(x1)与曲线f(x)相切时，联立得mx2(2m3)xm20，由(2m3)24m(m2)0，解得m，可知当ym(x1)
13、在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线ym(x1)可与BC重合但不能与切线重合)，此时m2，g(x)有两个不同的零点综上，m的取值范围为(，2(0，故选A.2(2014北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟答案B解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立
14、方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t2.0(t2t)2(t)2，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟押题精练1已知函数f(x)则函数yff(x)1的零点有_个答案4解析当f(x)0时，x1或x1，故ff(x)10时，f(x)11或1.当f(x)11，即f(x)2时，解得x3或x；当f(x)11，即f(x)0时，解得x1或x1.故函数yff(x)1有四个不同的零点2已知函数f(x)，若方程f(x)kxk0有两个实数根，则k的取值范围是()A(0，) B，0)C，0 D(，答案B解析要使方程f(x)kxk0有两个实数根，则函数yf(x)和yk(x1)的图象有两
15、个交点，而f(x)，画出图象，由于yk(x1)过定点(1,0)，要使函数yf(x)和yk(x1)的图象有两个交点，由下图可知kABk0，故1828，当且仅当x5时，年平均利润最大，最大值为8万元(推荐时间：60分钟)一、选择题1函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A(0，) B(，1)C(1,2) D(2,3)答案C解析函数f(x)的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上为增函数f()log21230，f(1)log21010，f(3)log2310，即f(1)f(2)0，函数f(x)log2x的零点在区间(1,2)内2函数f(x)ln，下列区间中，可能存在零点的是()A(1,2
16、) B(2,3)C(3,4) D(1,2)与(2,3)答案B解析f(x)lnln(x1)，函数f(x)的定义域为(1，)，且为递减函数，当1x2时，ln(x1)0，所以f(x)0，故函数在(1,2)上没有零点；f(2)ln 110，f(3)ln 2，因为22.828，所以e，故ln eln ，即1ln 8，所以2ln 8，即f(3)0，f(4)ln 3ln 30时，f(x)x2x(x)2，所以要使函数f(x)m有三个不同的零点，则m0，即m的取值范围为(，0)5(2013江西)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两
17、边相交于E、D两点设弧的长为x(0x)，yEBBCCD，若l从l1平行移动到l2，则函数yf(x)的图象大致是()答案D解析如图所示，连接OF，OG，过点O作OMFG，过点A作AHBC，交DE于点N.因为弧的长度为x，所以FOGx，则ANOMcos ，所以cos ，则AEcos ，EBcos .yEBBCCDcos cos 2(0x)6已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，则方程f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为()A5 B6C7 D8答案C解析由题意知g(x)2，函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间5,1上的图象如图所示：由图
18、形可知函数f(x)，g(x)在区间5,1上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为3，若设C的横坐标为t(0t0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是0a1.8(2014课标全国)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_答案(，8解析当x1时，x10，ex1e012，当x1解析函数f(x)有三个零点等价于方程m|x|有且仅有三个实根m|x|x|(x2)，作函数y|x|(x2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足：01.10我们把形如y(a0
19、，b0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a1，b1时的“囧函数”与函数ylg|x|的交点个数为n，则n_.答案4解析由题意知，当a1，b1时，y在同一坐标系中画出“囧函数”与函数ylg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点三、解答题11设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围解(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.函数f(x)的零点为3和1.(2)依题意，f(x)ax2bxb10有两个不同实根b24a(b1)0恒成立，即
20、对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，所以0a1.因此实数a的取值范围是(0,1)12随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(1402a420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y(2ax)(b0.01bx)0.4bxx22(a70)x2ab.依题意得2ax2a，所以
21、0x.又1402a420，即70a210.(1)当0a70，即70，即140a210时，x，y取到最大值故当70a140时，公司应裁员(a70)人，经济效益取到最大，当140a210时，公司应裁员人，经济效益取到最大13对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(x)f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”(1)已知二次函数f(x)ax22x4a(aR)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若f(x)2xm是定义在区间1,1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围解f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)f(x)0有解(1)当f(x)ax22x4a(aR)时，方程f(x)f(x)0即2a(x24)0有解x2，所以f(x)为“局部奇函数”(2)当f(x)2xm时，f(x)f(x)0可化为2x2x2m0，因为f(x)的定义域为1,1，所以方程2x2x2m0在1,1上有解令t2x，2，则2mt.设g(t)t，t，2根据：“对勾函数”的单调性知g(t)t在，1上为减函数，在1,2上为增函数，所以函数g(t)t，t，2的值域为2，由22m，得m1，故实数m的取值范围是，1
