1、2021年高考数学真题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，然后再利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合，所以.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（ ）A. B. 3C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简复数的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，复数，因为复数为纯虚数，可得，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除
2、法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.3.己知，则下列各式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性和特殊值法，逐一对选项进行判断即可.【详解】解：对于选项：因为函数在上单调递增，所以时，故选项错误；对于选项：因为在单调递增函数，所以，故选项正确；对于选项：因为，可取，此时，所以，故选项错误；对于选项：因为，可取，此时，所以，故选项错误.故选：C.【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题.4.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象
3、之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，利用古典概型概率求法求解.【详解】阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有个，满足差的绝对值为5的有，共5个，则其差的绝对值为5的概率为.故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求
4、解问题的能力，属于基础题.5.函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】，函数是奇函数，排除，时，时，排除，当时， 时，排除，符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.6.已知函数是定义在上的奇函数，当0时，则（ ）A. 3B. -3C. -2D. -1【答案】B【解析】【分析】由，可求，代入可求，然后结合奇函数的定义得，进而求得的值.【详解】是定义在上的奇函数，且时，则.故选：B.
5、【点睛】本题考查奇函数性质，即若函数为奇函数且在有定义，则，理解这一知识点是求解本题的关键7.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设双曲线的左、右焦点分别为，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得的坐标，设，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得，的方程，结合离心率公式可得所求值【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，与双曲线联立，可得，设，由三角形面
6、积的等积法可得，化简可得由双曲线的定义可得在三角形中，为直线的倾斜角），由，可得，可得，由化简可得，即为，可得，则故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题8.如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设大球半径为，小球半径为，根据题中条件，分别表示出
7、，进而可作差比较大小【详解】设大球半径为，小球半径为，根据题意，所以故选：D【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（ ）A. P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商B. 三家设备商的产
8、品组合指标得分相同C. 在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商D. 除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商【答案】ABD【解析】【分析】根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD均正确.【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，P设备商的研发投入在最外边，即P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商，故A正确；三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B正确；R设备商的研发投入优于Q设备商，故C错误；除产品组合外，P设备商其他4项指标均在最外边，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.10.已知
9、是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）A. 该椭圆的焦距为6B. 的最小值为2C. 的值可以为D. 的值可以为【答案】ABC【解析】【分析】先由椭圆，得到焦距，判断A是否正确，椭圆上的动点，分析的取值范围，判断BCD是否正确，得到答案.【详解】由椭圆，得，故A正确；椭圆上的动点，即有，故的最小值为2，B正确；设，组成的等差数列为，公差，则，又，所以，所以，所以的最大值是，故C正确，D错误.故选：ABC.【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题.11.对于四面体，下列命题正确的是（ ）A. 由顶点作四面体的高，其垂足是
10、的垂心B. 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点C. 若分别作和的边上的高，则这两条高所在直线异面D. 最长棱必有某个端点，由它引出另两条棱的长度之和大于最长棱【答案】BD【解析】【分析】依题意画出图形，数形结合一一分析可得；【详解】解：如图取、的中点对于A.三角形的垂心是三条高线的交点，而点的位置可以任意变化，故A错误；对于B.，为平行四边形，同理也是平行四边形，的交点为平行四边形对角线的中点，的交点为平行四边形对角线的中点，故三条线段交于一点，故B正确；若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于的中点，故C为错误；对于D.假设D错误，设最长，则，相加得，在，中，所以矛盾，故D
11、正确.故选：BD.【点睛】本题考查异面直线，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，属于中档题12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.己知函数，则（ ）A. ，B. 是偶函数C. ，D. 若的值域为集合，使得，同时成立，则正整数的最大值是5【答案】ACD【解析】【分析】由取整函数的定义判断.【详解】由定义得，故 A正确；因为.易知在上是增函数；，的值域为，故B错误.，故C正确；若，使得，同时成立，则，因为，若，则不存在同时满足，.只
12、有时，存在故D正确；故答案为：ACD.【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则_.【答案】【解析】【分析】利用商数关系，由得到代入求解.【详解】方法一：，则.方法二：分子分母同除，得.故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知单位向量，满足，则向量与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】首先根据平面向量的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量，满足，得，所以，所以，又,所以.故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积
13、的运算律以及夹角的计算，属于基础题.15.设函数的最小值为，且，则_，_.【答案】 (1). 2 (2). 9【解析】【分析】化简函数，换元后利用的单调性求出最小值即可得出，将转化为，再利用展开式的通项即可得到答案.【详解】由，令，因为函数，为减函数，所以当时，即，所以，因为的展开式通项为：，所以当，即时，展开式的项为，又，所以.故答案为：2；9【点睛】本题主要考查了函数的单调性，二项展开式，项的系数，换元法，转化思想，属于中档题.16.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，己知常数，且函数在内恰有2021
14、个零点，则_.【答案】【解析】【分析】先求出，令，得，则关于的二次方程必有两不等实根，又，则、异号，再对、分四种情况讨论得解.【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到函数，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为，令，令，可得，令，得，则关于的二次方程必有两不等实根，又，则、异号，（）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在有偶数个根，不合题意；（）当且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方程在有偶数个根，不合题意；（）当，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有2020个根，在区间上有2022个根，不合题意；（）当时，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此关于的方程在区间上有2021个根，在区间上有2022个根，此时，得.所以.故答案为：1347.【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
