1、第六章 不等式第一节 不等关系与不等式考情展望 1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较.2.考查与不等式相关的充分必要条件的判断.3.考查和函数、数列等知识的综合应用一、实数的大小顺序与运算性质的关系abab0，abab0，abab0.二、不等式的性质1对称性：abbb，bcac；(单向性)3可加性：abacbc；(双向性)ab，cdacbd；(单向性)4可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(单向性)5乘方法则：ab0anbn(nN，n2)；(单向性)6开方法则：ab0n an b(nN，n2)；(单向性)7倒数性质：设 ab0，则 ab1a1b.(双向性)真
2、、假分数的性质若 ab0，m0，则(1)真分数的性质：babmam，babmam(bm0)(2)假分数的性质：abambm，abambm(bm0)1对于实数 a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B2在城区限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h，写成不等式就是()Av40 km/hBv40 km/hCv40 km/hDv40 km/h【答案】D3已知 a，b 为非零实数，且 ab，则下列不等式一定成立的是()Aa4b4B.1a1bC|a|b|D2a2b【答
3、案】D4.121与 31 的大小关系为【答案】121 315设 ab1，ccb；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是()ABCD【答案】D6(2013天津高考)设 a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A考向一 099 应用不等式表示不等关系(1)某地规定本地最低生活保障金不低于 300 元，上述不等关系写成不等式为【答案】x300(2)某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过 1 000 万元的资金购买单价分别为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车根据需要，A型汽车至少
4、买 5 辆，B 型汽车至少买 6 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式【尝试解答】设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆，则 x、y 满足40 x90y1 000，x5，y6，x，yN*.规律方法 1 1.本例(2)在求解时，常因忽略变量 x，yN*致误2求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别是注意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义(1)(2014四川高考)若 ab0，cd0，则一定有()A.adbc B.adbcC.acbdD.acbd【答案】13(2)已知函数 f(x)ax2bx，且 1f(1)2,
5、2f(1)4.求 f(2)的取值范围【尝试解答】法一 设 f(2)mf(1)nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab)，即 4a2b(mn)a(nm)b.于是得mn4，nm2，解得m3，n1，f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故 5f(2)10.法二 因为f1ab，f1ab，af1f12，bf1f12.f(2)4a2b3f(1)f(1)又 1f(1)2,2f(1)4.故 5f(2)10.规律方法 2 1.解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误2由 af(x，y)b，cg(x，y)d，求
6、F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设 F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得 m，n，再利用不等式的性质求得 F(x，y)的取值范围对点训练(1)(2015西宁模拟)已知 a，b，cR，那么下列命题中正确的是()A若 ab，则 ac2bc2B若acbc，则 abC若 a3b3 且 ab1bD若 a2b2 且 ab0，则1a1b(2)(2015宁波模拟)若角，满足20，b0，()A若 2a2a2b3b，则 abB若 2a2a2b3b，则 abD若 2a2a2b3b，则 a2(xy1)9.已知 a，b，cR，有以下命题：若 ab，有 ac2bc2；若 ac2bc2，
7、则 ab；若 ab，则 a2cb2c.以上命题中正确的是(请把正确命题的序号都填上)【答案】三、解答题(本大题共 3 小题，共 35 分)10(10 分)已知 12a60,15b36，求 ab，ab的取值范围【解】15b36，36b15.又 12a60，1236ab6015，24ab45.又 1361b 115，1236ab6015，13ab4.11(12 分)下面为某省农运会官方票务网站分布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备 1 200 元，预订 15 张下表中球类比赛的门票.比赛项目票价(元/场)足球100篮球80乒乓球60若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上
8、表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数【解】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是 n 张，则足球比赛门票预订(152n)张，由题意得80n60n100152n1 200，80n100152n，nN*，解得 5n5 514，由 nN*知，n5，152n5，故可预订足球比赛门票 5 张12(13 分)若实数 a、b、c 满足 bc5a28a11，bca26a9，试比较 a、b、c 的大小【解】bca26a9(a3)20，bc.又bc5a28a11，bca26a9，c2a2a1.则 ca2a22a
9、12a122120，ca.由得 bca.第二节 一元二次不等式及其解法考情展望 1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题.2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型.3.以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根 x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xx2不等式恒成立问题的解法不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0；不等式 ax
10、2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0.1不等式 2x2x10 的解集是()A.12，1 B(1，)C(，1)(2，)D.，12(1，)【答案】D2不等式 x12x10 的解集为()A.x12x1B.xx1或x12C.x12x1D.xx1或x12【答案】A3函数 y16xx2的定义域是【答案】x|3x24一元二次不等式 ax2bx20 的解集是12，13，则 ab 的值是【答案】145(2013重庆高考)关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x115，则 a()A.52 B.72C.154 D.152【答
11、案】A6已知关于 x 的不等式 x2ax2a0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是【答案】(0,8)考向一 102 一元二次不等式的解法 已知不等式 ax23x64 的解集为x|x1 或 xb(1)求 a，b 的值；(2)解不等式 ax2(acb)xbc0.【尝试解答】(1)因为不等式 ax23x64 的解集为x|x1 或 xb，所以 x11 与 x2b 是方程 ax23x20 的两个实数根，b1 且 a0.由根与系数的关系，得1b3a，1b2a.解得a1，b2.(2)不等式 ax2(acb)xbc0，即 x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)0.当 c2 时，不等式(x2)(xc)
12、0 的解集为x|2xc；当 c2 时，不等式(x2)(xc)0 的解集为x|cx2；当 c2 时，不等式(x2)(xc)0 的解集为.所以，当 c2 时，不等式 ax2(acb)xbc0 的解集为x|2xc；当 c2 时，不等式 ax2(acb)xbc0 的解集为x|cx2；当 c2 时，不等式 ax2(acb)xbc0 的解集为.规律方法 1 1.解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次一般按下面次序进行讨论；首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根
13、是否存在，即 的符号进行分类，最后当根存在时，根据根的大小进行分类对点训练(1)不等式 ax2bxc0 的解集为x|2x3，则不等式 ax2bxc0 的解集为【答案】x|3x2(2)aR，解关于 x 的不等式 x1xa(x1)【解】原不等式可转化为x11ax1x0(*)(1)当 a1 时，(*)式为x1x 0，解得 x0 或 x1.(2)当 a1 时，(*)式为1ax1x 11ax0若 a1，则 a10，1a10，解得 1a1x0，或 x1；若 1a2，则 1a0，1a11，解得 x0，或 1x 1a1；若 a2，则 a11,0 1a11,1a0，解得 x0，或 1a1x1；综上，当 a1 时
14、，不等式解集为x|x0 或 x1当 a1 时，不等式解集为x 1a1x0，或x1.当 1a2 时，不等式解集为xx0，或1x 1a1.当 a2 时，不等式解集为xx0，或 1a1x1.考向二 103 不等式恒成立问题 设函数 f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围；(2)若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求 m 的取值范围【尝试解答】(1)要使 mx2mx10 恒成立，若 m0，显然10；若 m0，则m0m24m0 4m0.所以 m 的取值范围为m|4m0(2)要使 f(x)m5 在1,3上恒成立，只需 mx2mxm6 恒成立(x1,3)，
15、又因 x2x1x122340，所以 m6x2x1.因为 y6x2x16x12234，由 tx12234在1,3上是增函数，y6x2x1在1,3上是减函数，因此函数的最小值 ymin67.所以，m 的取值范围是m|m0，那么 a 的取值范围是()A(0，)B0，)C(，4)D(，4(0，)(2)(2015郑州模拟)若不等式 x2ax10 对一切 x0，12 都成立，则 a 的最小值是【答案】(1)B(2)52(3)若 x1，)时，x22ax2a 恒成立，试求 a 的取值范围【解】法一 令 f(x)x22ax2，x1，)，f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为 xa.(1)当 a(，1
16、)时，结合图象知，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使 f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina，即 2a3a，解得3a0，a1，应有(10 x)1023x 100，即 x(x5)0，所以 0 x5，所以，要使每月售货总金额有所增加，则 x 的取值范围是(0,5).思想方法之十四 数形结合巧解不等式不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效(2)借助函数图象，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数
17、式的几何意义实现“数”向“形”的转化 1 个示范例 (2013四川高考)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x)x24x，那么，不等式 f(x2)5 的解集是【解析】设 x0.当 x0 时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)f(x)，f(x)x24x(x0)，f(x)x24x，x0，x24x，x0.由 f(x)5 得x24x5，x0或x24x5，x0，x5 或 x5.观察图象可知 f(x)5，得5x5.由 f(x2)5，得5x25，7x3.不等式 f(x2)5 的解集是x|7x3 1 个对点练(2015镇江模拟)已知函数
18、f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为【解析】法一：f(x)x2axbxa22ba24.由题意4ba240，即 a24b0，所以不等式 f(x)c 可转化为 x2axa24 c0，由 已 知 可 得 m，m 6 为 方 程 x2 ax a24 c 0 的 两 根，则mm6a，mm6a24 c，所以 ca24 m(m6)2m624m(m6)m26m9m26m9.法二：f(x)x2axbxa22ba24.由题意4ba240，即 a24b0，所以不等式 f(x)c，即 x2axa24 c，即xa220，且 ca2x12
19、”是“2x2x10”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A2已知不等式 ax2bx10 的解集是12，13，则不等式 x2bxa0的解集是()A(2,3)B(，2)(3，)C.13，12D.，13 12，【答案】A3(2013湖北高考)已知全集为 R，集合 Ax12x1，Bx|x26x80，则 ARB()Ax|x0Bx|2x4Cx|0 x4Dx|0 x2 或 x4【答案】C4若不等式 x2ax20 在区间1,5上有解，则 a 的取值范围是()A.235，B.235，1C(1，)D.，235【答案】B5不等式 x22x5a23a 对任意实数 x
20、恒成立，则实数 a 的取值范围为()A1,4B(，2，5)C(，1)4，)D2,5【答案】A6设函数 f(x)x24x6，x0，x6，x0，则不等式 f(x)3 的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，)D(，3)(1,3)【答案】A二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)7(2013广东高考)不等式 x2x20 的点；(3)满足 AxByC0 的点2二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线 l：AxByC0 把坐标平面内不在直线 l 上的点分为两部分，当点在直线 l 的同一侧时，点的坐标使式子 AxByC 的值具有相同的符号，当点在直线 l 的两侧时，点的坐标
21、使 AxByC 的值具有相反的符号二、线性规划中的基本概念名称意义线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题二元一次函数 zaxby(ab0)的最值同直线 zaxby0 在 y 轴上截距的关系求二元一次函数 zaxby(ab0)的最值，利用其几何意义，通过求 yabxzb的截距zb的最值间接求出 z 的最值(1)当 b0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取
22、最小值时，z 也取最小值(2)当 b0 时，结论与 b0 的情形恰好相反1不等式组x3y60 xy20 时，区域为直线 AxByC0 的上方，当 B(AxByC)0，b0)在该约束条件下取到最小值 2 5时，a2b2 的最小值为()A5B4C.5D2(3)(2014北京高考)若x，y满足xy20，kxy20，y0，且zyx的最小值为4，则 k 的值为()A2B2C.12D12【答案】(1)B(2)B(3)D考向三 107 线性规划的实际应用 某企业生产 A，B 两种产品，生产每吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A 产品394B 产品1045已知生产每吨
23、A 产品的利润是 7 万元，生产每吨 B 产品的利润是 12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个，煤 360 吨，并且供电局只能供电 200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？【尝试解答】设生产 A，B 两种产品分别为 x 吨，y 吨，利润为 z 万元，依题意，得3x10y300，9x4y360，4x5y200，x0，y0.目标函数为 z7x12y.作出可行域，如图阴影所示当直线 7x12y0 向右上方平行移动时，经过 M 时 z 取最大值解方程组3x10y300，4x5y200，得x20，y24.因此，点 M 的坐标为(20,24)该企业生产 A，B 两种产品分别为
24、 20 吨和 24 吨时，才能获得最大利润规律方法 3 1.求解本例的关键是找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题为寻找各量之间的关系，最好是列出表格2解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答对点训练 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本
25、)最大，求黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别是多少亩？【解】设种植黄瓜 x 亩，韭菜 y 亩，由题意得xy50，1.2x0.9y54，x，yN*.即xy50，4x3y180，x，yN*.设总利润为 z，则 zx0.9y.作可行域如图所示，由xy50，4x3y180.得 A(30,20)当目标函数线 l 向右平移，移至点 A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植 30 亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大黄瓜和韭菜分别种植 30 亩、20 亩时，一年种植的总利润最大.思想方法之十五 数形结合破解线性规划中参变量问题线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值问题，从图形上找思路
26、恰好体现了数形结合思想的应用含参变量的线性规划问题，其参变量的设置形式通常有以下两种：(1)条件中的参变量：条件不等式组中含有参变量，由于不能明确可行域的形状，因此增加了解题时画图分析的难度求解这类问题时要有全局观念，结合目标函数逆向分析题意，整体把握解题的方向(2)目标函数中的参变量：目标函数中设置参变量，旨在增加探索问题的动态性和开放性从目标函数的结论入手，对图形的动态进行分析，对变化过程中的相关量准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法 1 个示范例 (2013 课 标 全 国 卷 )已 知 a 0，x，y 满 足 约 束 条 件x1，xy3，yax3.若 z2xy 的最小值为 1，则
27、a()A.14 B.12 C1 D2【解析】作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线 z2xy 过交点 A 时，z 取最小值，由x1，yax3，得x1，y2a，zmin22a1，解得 a12，故选 B.1 个对点练(2014课标全国卷)设 x，y 满足约束条件xya，xy1，且 zxay 的最小值为 7，则 a()A5 B3C5 或 3D5 或3【解析】当 a5 时，作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)由xy1，xy5得交点 A(3，2)，则目标函数 zx5y 过 A 点时取得最大值zmax35(2)7，不满足题意，排除 A，C 选项当 a3 时，作出不等式组表示的可行域，如图
28、(阴影部分)由xy1，xy3得交点 B(1,2)，则目标函数 zx3y 过 B 点时取得最小值zmin1327，满足题意【答案】B课时限时检测(三十六)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(时间：60 分钟 满分：80 分)一、选择题(每小题 5 分，共 30 分)1不等式组xy50，ya，0 x3，表示的平面区域是一个三角形，则 a 的范围是()Aa5Ba8C5a8Da5 或 a8【答案】C2如果点(1，b)在两条平行直线 6x8y10 和 3x4y50 之间，则 b应取的整数值为()A2B1 C3D0【答案】B3已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一
29、象限，若点(x，y)在ABC 内部，则 zxy 的取值范围是()A(1 3，2)B(0,2)C(31,2)D(0,1 3)【答案】A4(2013课标全国卷)设 x，y 满足约束条件xy10，xy10，x3，则 z2x3y 的最小值是()A7B6 C5D3【答案】B5(2013湖北高考)某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为 36人和 60 人，租金分别为1 600 元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为()A31 200 元B36 000 元C36 800 元D38 4
30、00 元【答案】C6已知 O 是坐标原点，点 A(1,1)，若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，则OAOM的取值范围是()A1,0B0,1C0,2D1,2【答案】C二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)7已知点 P(x，y)满足x4y30，3x5y25，x10，定点为 A(2,0)，则|OP|sinAOP(O为坐标原点)的最大值为【答案】2258已知变量 x，y 满足约束条件x2y30，x3y30，y10，若目标函数 zaxy(其中 a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则 a 的取值范围为【答案】12，9(2013北京高考)已知点 A(1，1)，B(3,0)，C(2
31、,1)若平面区域 D 由所有满足APABAC(12,01)的点 P 组成，则 D 的面积为【答案】3三、解答题(本大题共 3 小题，共 35 分)10(10 分)铁矿石 A 和 B 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b及每万吨铁矿石的价格 c 如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁，若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨)，求购买铁矿石的最少费用为多少百万元？【解】设购买铁矿石 A 为 x 万吨，购买铁矿石 B 为 y 万吨，总费用为 z百万元根据题意得0.5x0.7y1.9，x0.5y2，x0，y0.整理为5x7y
32、19，2xy4，x0，y0.线性目标函数为 z3x6y画可行域如图所示：当 x1，y2 时，z 取得最小值，zmin316215(百万元)故购买铁矿石的最少费用为 15 百万元11(12 分)(2013 浙江高考改编)设 zkxy，其中实数 x，y 满足x2，x2y40，2xy40.若 z 的最大值为 12，求实数 k 的值【解】作出可行域如下图中阴影所示，由图可知，当 0k12时，直线 ykxz 经过点 M(4,4)时 z 最大，所以 4k412，解得 k2(舍去)；当k12时，直线 ykxz 经过点 N(2,3)时 z 最大，所以 2k312，解得 k92(舍去)；当klg x(x0)Bs
33、in x 1sin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1x211(xR)【答案】C6(2013四川高考)已知函数 f(x)4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a.【答案】36考向一 108 利用基本不等式求最值(1)下列命题中正确的是()Ayx1x的最小值是 2By23x4x(x0)的最大值是 24 3Cysin2x 4sin2x的最小值是 4Dy23x4x(x0)的最小值是 24 3(2)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()A.245 B.285 C5 D6【答案】(1)B(2)C规律方法 1 1.第(1)题的解题关键是“逐一验证均值不等
34、式的适用条件”第(2)小题求解的关键是条件的恰当变形与“1”的代换，常见错误是条件与结论分别利用基本不等式，导致错选 A，根本原因忽视等号成立条件2利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”常用的方法为拆、凑、代换、平方对点训练(1)已知 x0，y0，且 xy1，且3x4y的最小值是(2)设 x，y 为实数，若 x2y2xy1，则 xy 的最大值是(3)(2014四川高考)设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是A.5，2 5 B.10，2 5C.10，4 5D.2 5，
35、4 5【答案】(1)74 3(2)23 3(3)B考向二 109 简单的不等式证明(2013课标全国卷)设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：(1)abbcca13；(2)a2b b2c c2a1.【尝试解答】(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得 a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21.即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.(2)因为a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，故a2b b2c c2a(abc)2(abc)，即a2b b2c c2aabc.所以a2b b2c c2a1.规律方法 2 1
36、.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形2利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到考向三 110 基本不等式的实际应用(2014湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)，平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F76 000vv218v2
37、0l.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/时【尝 试 解 答】(1)当 l 6.05 时，F 76 000vv218v121 76 000v121v 1876 0002v121v 1876 00022181 900.当且仅当 v11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为 1 900 辆/时(2)当 l5 时，F76 000vv218v10076 000v100v 1876 0002v100v 1876 00020182 000.当且仅当 v10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为 2 000 辆/时比(1)中
38、的最大车流量增加 100 辆/时【答案】(1)1 900(2)100规律方法 3 解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解对点训练 某厂家拟在 2013 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m0)满足 x3km1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 1 万件已知 2012 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1
39、 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；(2)该厂家 2013 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解】(1)由题意知，当 m0 时，x1(万件)，13k，即 k2.x32m1.又每件产品的销售价格为 1.5816xx(万元)2012 年的利润yx1.5816xx(816xm)48xm4832m1 m29m1 16m1(m0)(2)m0 时，(m1)16m12 168.y29821，当且仅当 1
40、6m1m1，即当 m3(万元)时，ymax21(万元)所以该厂家 2013 年的促销费用投入为 3 万元时，厂家的利润最大，最大为21 万元思想方法之十六 消元思想在基本不等式求最值中的巧用所谓消元思想就是将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想方法由于应用基本不等式“abab2”求最值时需满足三个条件(一正、二定、三相等)，且只限于“二元”范畴之内，故对于多元求最值问题可采用消元思想，转化为“二元”问题 1 个示范例 (理)(2013山东高考)设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xyz 取得最大值时，2x1y2z的最大值为()A0 B1 C.94 D3【解析】含三个参数 x，
41、y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值zx23xy4y2(x0，y0，z0)，xyz xyx23xy4y21xy4yx 3 1431.当且仅当xy4yx，即 x2y 时等号成立，此时 zx23xy4y24y26y24y22y2，2x1y2z 22y1y 22y21y22y1y1 21，当 y1 时，2x1y2z的最大值为 1.1 个对点练 设 x，y，z 为正实数，满足 x2y3z0，则y2xz的最小值是【解析】由 x2y3z0 可得 yx3z2，所以y2xzx29z26xz4xz x4z9z4x322x4z9z4x3232323，当且仅当 x3z 时取“”【答案】3课时限时检测(三十七)
42、基本不等式(时间：60 分钟 满分：80 分)一、选择题(每小题 5 分，共 30 分)1若函数 f(x)x 1x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a()A1 2B1 3C3D4【答案】C2下列不等式：a212a；abab 2；x21x211，其中正确的个数是()A0B1 C2D3【答案】B3(2013福建高考)若 2x2y1，则 xy 的取值范围是()A0,2B2,0C2，)D(，2【答案】D4已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是()A.72B4 C.92D5【答案】C5设 a，b，c 均大于 0，则“abc1”是“1a 1b 1cabc”的()A充分条件但不是必要条件B必要
43、条件但不是充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要的条件【答案】A6小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav abBv abC.abvab2Dvab2【答案】A二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)7若 a0，b0，且 ln(ab)0，则1a1b的最小值是【答案】48某公司一年需购买某种货物 200 吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为 2 万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是【答案】209(2013天津高考)设 ab2，b0，则 12|a|
44、a|b 的最小值为【答案】34三、解答题(本大题共 3 小题，共 35 分)10(10 分)已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求：(1)xy 的最小值；(2)xy 的最小值【解】x0，y0,2x8yxy0，(1)xy2x8y2 16xy，xy8，xy64.当且仅当 2x8y 且 2x8yxy0，即 y4，x16 时“”成立故 xy 的最小值为 64.(2)由 2x8yxy，得：2y8x1，xy(xy)1(xy)2y8x102xy 8yx 10818.当且仅当2xy 8yx 且 2x8yxy0，即 y4，x16 时“”成立故 xy 的最小值为 18.11(12 分)已知 a0，b0，ab1，
45、求证：(1)1a1b 1ab8；(2)11a 11b 9.【证明】(1)1a1b 1ab21a1b，ab1，a0，b0，1a1baba abb 2abba224，1a1b 1ab8(当且仅当 ab12时等号成立)(2)法一 a0，b0，ab1，11a1aba 2ba，同理 11b2ab，11a 11b 2ba 2ab52baab 549.11a 11b 9(当且仅当 ab12时等号成立)法二 11a 11b 11a1b 1ab，由(1)知，1a1b 1ab8，故11a 11b 11a1b 1ab9.12(13 分)有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定，大桥上
46、的车距 d(m)与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足：dkv2l12l(k 为正的常数)，假定车身长为 4 m，当车速为 60(km/h)时，车距为2.66 个车身长(1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆是最多？【解】(1)因为当 v60 时，d2.66l，所以 k2.66l12l602l2.16602 0.000 6，d0.002 4v22.(2)设每小时通过的车辆为 Q，则 Q1 000vd4，即 Q1 000v0.002 4v261 0000.002 4v6v，0.002 4v6v20.002 4v6v0.24，Q1 0000.24 12 5003，当且仅当 0.002 4v6v，即 v50 时，Q 取最大值12 5003.即当 v50(km/h)时，大桥每小时通过的车辆最多
