1、2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（下）期末数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=xZ|0x4，N=x|1log2x2，则MN=（）A0，1B2，3C3D2，3，42已知命题p：xR，x23x+30，则（）Ap：xR，x23x+30，且p为真命题Bp：xR，x23x+30，且p为假命题Cp：xR，x23x+30，且p为真命题Dp：xR，x23x+30，且p为假命题3函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）A10B5C1D4“a=1”是“x（0，+），ax+1”的（）A充分
2、不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5设，则的定义域为（）A（4，0）（0，4）B（4，1）（1，4）C（2，1）（1，2）D（4，2）（2，4）6设函数f（x）=，则满足f（x）2的x的取值范围是（）A1，2B0，2C1，+）D0，+）7x表示不超过x的最大整数，若f（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）f（x），则函数f=g（x）+g（x）的值域是（）A1，0B0，1C0D偶数8函数y=的图象大致为（）ABCD9已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（）Af（2
3、a）f（3）f（log2a）Bf（3）f（log2a）f（2a）Cf（log2a）f（3）f（2a）Df（log2a）f（2a）f（3）10若函数f（x）=x2+x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（）A（2，）B2，）C（2，）D2，）11若实数a，b，c，d满足（b+a23lna）2+（cd+2）2=0，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）AB2C2D812设偶函数y=f（x）和奇函数y=g（x）的图象如图所示：集合A=x|f（g（x）t）=0与集合B=x|g（f（x）t）=0的元素个数分别为a，b，若t1，则a+b的值不可能是（）A12B13C14D15二、填空题：本大
4、题共4小题，每小题5分13已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是14若函数f（x）在R上可导，f（x）=x3+x2f（1），则f（x）dx=15已知命题p：函数f（x）=2ax2x1（a0）在（0，1）内恰有一个零点； 命题q：函数y=x2a在（0，+）上是减函数，若p且q为真命题，则实数a的取值范围是16设x为实数，定义x为不小于x的最小整数，例如5.3=6，5.3=5，则关于x的方程3x+4=2x+的全部实根之和为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA=c
5、（）求的值；（）求tan（AB）的最大值18甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望19如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，AB=BD，BC=CD（1）求证：平面ACC1A1平面A1BD；（2）当BCCD时，直
6、线BC与平面A1BD所成的角能否为45？并说明理由20已知点C是圆F：（x1）2+y2=16上任意一点，点F与点F关于原点对称线段CF的中垂线与CF交于P点（） 求动点P的轨迹方程E；（） 设点A（4，0），若过点F的直线交曲线E于M、N两点，求AMN面积的最大值21已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=f（x）+sinx在区间1，1上是减函数（1）求实数a的值；（2）若g（x）t2+t+1在x1，1上恒成立，求实数t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数选修4-1：几何证明选讲22如图，点A，B，D，E在O上，ED、AB的
7、延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC（1）证明： =；（2）若DE=2，AD=4，求DF的长选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程为4sin（），以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是（cos，sin），其中（R），求|PQ|的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x3|+|2x+t|，tR（1）当t=1时，解不等式f（x）5；（2）若存在实数a满足f（a）+|a3|2，求t的取值范围2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考
8、答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=xZ|0x4，N=x|1log2x2，则MN=（）A0，1B2，3C3D2，3，4【考点】交集及其运算【分析】列举出M中的元素确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的交集即可【解答】解：由M中xZ，0x4，得到M=0，1，2，3，4，由N中不等式变形得：log22=1log2x2=log24，解得：2x4，即N=（2，4），则MN=3，故选：C2已知命题p：xR，x23x+30，则（）Ap：xR，x23x+30，且p为真命题Bp：xR，x23x+30，且p为假命题Cp
9、：xR，x23x+30，且p为真命题Dp：xR，x23x+30，且p为假命题【考点】命题的否定【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题p是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题得：p：xR，x23x+30，判别式=943=912=30，x23x+30恒成立，故p为真命题，故选：C3函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）A10B5C1D【考点】导数的几何意义【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求出切线在x轴上的截距即得【解答】解：
10、f（x）=x3+4x+5，f（x）=3x2+4，f（1）=7，即切线的斜率为7，又f（1）=10，故切点坐标（1，10），切线的方程为：y10=7（x1），当y=0时，x=，切线在x轴上的截距为，故选D4“a=1”是“x（0，+），ax+1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可，【解答】解：当a=1时，x（0，+），不等式为x+成立当a=2时，2x+，满足“x（0，+），ax+1”，但此时a=1不成立“a=1”是“x（0，+），ax+1”的充分不必要条件
11、故选：A5设，则的定义域为（）A（4，0）（0，4）B（4，1）（1，4）C（2，1）（1，2）D（4，2）（2，4）【考点】对数的运算性质【分析】根据对数函数的真数大于0且分式中的分母不为0可得f（x）的定义域，再由f（x）中的x、f（）中的、f（）的满足的条件相同求出x的取值答案【解答】解：由题意知，0，f（x）的定义域是（2，2），故：22且22解得4x1或1x4故选B6设函数f（x）=，则满足f（x）2的x的取值范围是（）A1，2B0，2C1，+）D0，+）【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】分类讨论：当x1时；当x1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可【解
12、答】解：当x1时，21x2的可变形为1x1，x0，0x1当x1时，1log2x2的可变形为x，x1，故答案为0，+）故选D7x表示不超过x的最大整数，若f（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）f（x），则函数f=g（x）+g（x）的值域是（）A1，0B0，1C0D偶数【考点】导数的运算【分析】先对函数g（x）进行化简，根据x表示不超过x的最大整数，针对x进行分类讨论，发现规律，问题得以解决【解答】解：由题意可知g（x）=f（x）f（x）=，不妨设x0，则y=g（x）+g（x）=+当（0，1），则（1，0），=0，=1，y=g（x）+g（x）=1当=0，则=0，=0，=0，
13、y=g（x）+g（x）=0依此类推可得y=g（x）+g（x）的值域是1，0，故选A8函数y=的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域x|x0方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x0时函数为减函数）方面进行考虑即可【解答】解析：函数有意义，需使exex0，其定义域为x|x0，排除C，D，又因为，所以当x0时函数为减函数，故选A答案：A9已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（）Af（2a）f（3）f（log2a）Bf（3）f（log2a）f（2a）Cf（
14、log2a）f（3）f（2a）Df（log2a）f（2a）f（3）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算【分析】由f（x）=f（4x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf（x）2f（x），可知f（x）在（，2）与（2，+）上的单调性，从而可得答案【解答】解：函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），f（x）关于直线x=2对称；又当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x）f（x）（x2）0，当x2时，f（x）0，f（x）在（2，+）上的单调递增；同理可得，当x2时，f（x）在（，2）单调递减；2a4，1log2a2，24log2a3，又42a16，f（log2a）=f
15、（4log2a），f（x）在（2，+）上的单调递增；f（log2a）f（3）f（2a）故选C10若函数f（x）=x2+x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（）A（2，）B2，）C（2，）D2，）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由函数f（x）=x2+x+1在区间（，3）上有极值点，我们易得函数的导函数在区间（，3）内有零点，分离参数，确定范围即可得到答案【解答】解：函数f（x）=x2+x+1，f（x）=x2ax+1，若函数f（x）=x2+x+1在区间（，3）上有极值点，则f（x）=x2ax+1在区间（，3）内有零点由x2ax+1=0可得a=x+x（，3），2a，当a=2时，
16、函数f（x）的导函数等于零时值只有1，可是两边的单调性相同，所以a不能等于2故选C11若实数a，b，c，d满足（b+a23lna）2+（cd+2）2=0，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）AB2C2D8【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用【分析】由题设b+a23lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnxx2；cd+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（ac）2+（bd）2就是曲线y=3lnxx2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（ac）2+（bd）2的最小值【解答】解解：实数a、b、c、d满足：（b+a23lna）2+（cd+2）2=
17、0，b+a23lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnxx2，且cd+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，（ac）2+（bd）2就是曲线y=3lnxx2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnxx2求导：y（x）=2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=2x，解得：x=1或x=（舍），把x=1代入y=3lnxx2，得：y=1，即切点为（1，1），切点到直线y=x+2的距离： =2，（ac）2+（bd）2的最小值就是8故选：D12设偶函数y=f（x）和奇函数y=g（x）的图象如图所示：集合A=x|f（g（x）t）=0与集合B=x|g（f（x）t）=0的元素个数分别为
18、a，b，若t1，则a+b的值不可能是（）A12B13C14D15【考点】奇偶函数图象的对称性【分析】利用图象，分别判断g（x）=t和f（x）=t，在t1时的取值情况，然后进行讨论即可【解答】解：由条件知，第一个图象为f（x）的图象，第二个为g（x）的图象由图象可知若f（x）=0，则x有3个解，为x=，x=0，x=，若g（x）=0，则x有3个解，不妨设为x=n，x=0，x=n，（0n1）由f（g（x）t）=0得g（x）t=，或g（x）t=0，或g（x）t=，即g（x）=t+，或g（x）=t，或g（x）=t当t1时，由g（x）=t，得x有3个解g（x）=t，此时x有3个解g（x）=t+，此时方程无
19、解所以a=3+3=6由g（f（x）t）=0得f（x）t=n，或f（x）t=0或f（x）t=n即f（x）=t+n，或f（x）=t，或f（x）=tn若f（x）=t，因为t1，所以此时x有4个解若f（x）=t+n，因为t1，0n1，所以若0n，则t+n，此时x有4个解或2解或0个解对应f（x）=tn（0，1）有4个解，此时b=4+4+4=12或b=4+2+4=10或b=4+0+4=8若，则1t+n2，此时x无解对应f（x）=tn（），对应的有2个解或3解或4个解所以此时b=4+2=6或b=4+3=7或b=4+4=8综上b=12或10或8或6或7所以a+b=18或16或14或13或12故D不可能故选D
20、二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是（1，3）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x1|）f（2），即可得到结论【解答】解：偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，不等式f（x1）0等价为f（x1）f（2），即f（|x1|）f（2），|x1|2，解得1x3，故答案为：（1，3）14若函数f（x）在R上可导，f（x）=x3+x2f（1），则f（x）dx=2【考点】定积分【分析】先根据导数的运算法则求导，再求出f（1）=3，再根据定
21、积分的计算法计算即可【解答】2解：f（x）=x3+x2f（1），f（x）=3x2+2xf（1），f（1）=3+2f（1），f（1）=3，f（x）=x33x2，（）|=1（+1）=2，故答案为：215已知命题p：函数f（x）=2ax2x1（a0）在（0，1）内恰有一个零点； 命题q：函数y=x2a在（0，+）上是减函数，若p且q为真命题，则实数a的取值范围是（1，2【考点】复合命题的真假【分析】命题p：函数f（x）=2ax2x1（a0）在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）0，解得a范围；命题q：函数y=x2a在（0，+）上是减函数，2a0，解得a范围由p且q为真命题，可得p与q都为真命
22、题，即可得出【解答】解：命题p：函数f（x）=2ax2x1（a0）在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）=（2a2）0，解得a1；命题q：函数y=x2a在（0，+）上是减函数，2a0，解得a2q：a（，2p且q为真命题，p与q都为真命题，解得1a2则实数a的取值范围是（1，2故答案为：（1，216设x为实数，定义x为不小于x的最小整数，例如5.3=6，5.3=5，则关于x的方程3x+4=2x+的全部实根之和为6【考点】函数的零点【分析】设2x+=kZ，则x=，3x+4=k+1+，于是原方程等价于=1，从而可得k=5或4，求出相应的x，就可得所有实根之和【解答】解：设2x+=kZ，则x=
23、，3x+4=k+1+，于是原方程等价于=1，即21，从而k，即k=5或4相应的x的值为，于是所有实根之和为6故答案为：6三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA=c（）求的值；（）求tan（AB）的最大值【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值（）由（）的结论，结合角A，B，C为ABC的内角，我们易得tanA=4tanB0，则tan（
24、AB）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（AB）的最大值【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（）由得tanA=4tanB0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（AB）的最大值为18甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的
25、次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，由此能求出P（A）（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，求出左手和右手所取的两球颜色相同的概率，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，则，（2）依题意，X的可能取值为0，1，2左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，所以X的分布列为：X012PE（X）=0=19如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，AB=BD，BC
26、=CD（1）求证：平面ACC1A1平面A1BD；（2）当BCCD时，直线BC与平面A1BD所成的角能否为45？并说明理由【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【分析】（1）ABD是等边三角形，由ABCADC可得AC平分BAD，故ACBD，由AA1平面ABCD得AA1BD，于是BD平面A1AC，所以平面ACC1A1平面A1BD；（2）设AC，BD交于点O，过C作平面A1BD的垂线CH，则H必在直线A1O上，设AA1=h，分别利用勾股定理和三角形相似解出CH，列出方程看h是否有解【解答】（1）证明：AB=BD，BC=CD，AC=AC，ABCADC，BAC=DAC，即AC平方BADAB=B
27、D，BAD=60，ABD是等边三角形，ACBDAA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD，又AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，AA1AC=A，BD平面ACC1A1，又BD平面A1BD，平面ACC1A1平面A1BD（2）设ACBD=O，过C作CHA1O交A1O的延长线于H，连结BH平面ACC1A1平面A1BD，平面ACC1A1平面A1BD=A1O，CHA1O，CH平面ACC1A1，CH平面A1BD，即CBH是直线BC与平面A1BD所成的角设AA1=h，AB=2，则AO=，OC=OB=1，BC=，A1O=A1AO=CHO=90，AOA1=COH，A1AOCHO，=解得CH=CBH
28、=45，CHB=90，BC=，CH=1=1，方程无解直线BC与平面A1BD所成的角不能为4520已知点C是圆F：（x1）2+y2=16上任意一点，点F与点F关于原点对称线段CF的中垂线与CF交于P点（） 求动点P的轨迹方程E；（） 设点A（4，0），若过点F的直线交曲线E于M、N两点，求AMN面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）由题意可得：|PF|=|PC|，又|PC|+|PF|=4，可得|PF|+|PF|=4|FF|=2，由椭圆的定义即可得出（II）设直线MF：x=ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程化为：（3t2+4）y2+6ty9=0，利用根与系数的关系可
29、得：|y1y2|=，可得：SAMN=|FA|y1y2|，代入化简整理利用函数的单调性即可得出【解答】解：（I）由题意可得：|PF|=|PC|，又|PC|+|PF|=4，|PF|+|PF|=4|FF|=2，由椭圆的定义可得：2a=4，c=1，故动点P的轨迹方程E： =1（II）设直线MF：x=ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为：（3t2+4）y2+6ty9=0，y1+y2=，y1y2=|y1y2|=，SAMN=|FA|y1y2|=，令m=1，则函数g（m）=3m+在1，+）上单调递增，故g（t）min=g（1）=4，SAMN=，即当t=0时，PAB的面积取得最大值，且最大值
30、为21已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=f（x）+sinx在区间1，1上是减函数（1）求实数a的值；（2）若g（x）t2+t+1在x1，1上恒成立，求实数t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断【分析】（1）利用定义法进行判断得a（ex+ex+a）=0恒成立，求出a的值；（2）利用导数，结合单调性可知g（x）0恒成立，1；要使g（x）t2+t+1在x1，1上恒成立，只需sin1t2+t+1在1时恒成立即可可构造函数，看成关于的一次函数进行求解，进而得出的范围；（3）利用构造
31、函数法，令，通过导函数判断函数的单调性，通过极值，单调性，模拟函数图象，利用数学结合得出m的不同分类【解答】解：（1）f（x）=ln（ex+a）是奇函数，f（x）=f（x），即ln（ex+a）=ln（ex+a）恒成立，（ex+a）（ex+a）=1，1+aex+aex+a2=1即a（ex+ex+a）=0恒成立，故a=0（2）由（l）知g（x）=f（x）+sinx，g（x）=+cosx，x1，1，要使g（x）=f（x）+sinx是区间1，1上的减函数，则有g（x）0恒成立，1又g（x）max=g（1）=sin1，要使g（x）t2+t+1在x1，1上恒成立，只需sin1t2+t+1在1时恒成立即可（
32、t+1）+t2+sin1+10（其中1）恒成立即可令h（）=（t+1）+t2+sin1+10（1），则即而t2t+sin10恒成立，t1（3）由（1）知方程，即，令当x（0，e时，f1（x）0，f1（x）在（0，e上为增函数；当xe，+）时，f1（x）0，f1（x）在e，+）上为减函数；当x=e时，而当x（0，e时f2（x）是减函数，当xe，+）时，f2（x）是增函数，当x=e时，故当，即时，方程无实根；当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根选修4-1：几何证明选讲22如图，点A，B，D，E在O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC（1）证明： =；（2）
33、若DE=2，AD=4，求DF的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）证明BAD=EAD，即可证明=；（2）证明EADFED，可得即可求DF的长【解答】（1）证明：EB=BC，C=BECBED=BAD，C=BED=BADEBA=C+BEC=2C，AE=EB，EAB=EBA=2C又C=BAD，EAD=C，BAD=EAD=；（2）解：由（1）知EAD=C=FED，EAD=FDE，EADFED，DE=2，AD=4，DF=1选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程为4sin（），以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上
34、，点Q的直角坐标是（cos，sin），其中（R），求|PQ|的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）曲线C的极坐标方程为4sin（），展开为2=4，把2=x2+y2，x=cos，y=sin代入可得直角坐标方程（2）曲线C配方可得圆心及其半径点Q的直角坐标是（cos，sin），可知：点Q在x2+y2=1圆上，可得|PQ|OC|+R+r【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为4sin（），展开为2=4，可得直角坐标方程：x2+y2=2y2x（2）x2+y2=2y2x配方为+（y1）2=4，可得圆心C，半径r=2点Q的直角坐标是（cos，sin），可知：点Q在x2+y2=1圆上|PQ|OC|
35、+2+1=5，即|PQ|的最大值是5选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x3|+|2x+t|，tR（1）当t=1时，解不等式f（x）5；（2）若存在实数a满足f（a）+|a3|2，求t的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）当t=1时，根据绝对值不等式的解法，讨论x的取值范围即可解不等式f（x）5；（2）根据绝对值不等式的性质将不等式转化为f（a）+|a3|min2成立，结合不等式的性质进行求解即可【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=|x3|+|2x+1|，由f（x）5得|x3|+|2x+1|5，当x3时，不等式等价为x3+2x+15，即3x7，得x，此时x3，当x3时，不等式等价为（x3）+2x+15，即x1，此时1x3，当x时，不等式等价为3x2x15，解集x1，得x1，综上此时x1，或x1，即不等式的解集为（，11，+）（2）f（a）+|a3|=2|a3|+|2a+t|2a+t（2a6）|=|t+6|，则命题f（a）+|a3|2，等价为f（a）+|a3|min2，即|t+6|2，则2t+62，即8t4，即t的取值范围是（8，4）2016年8月27日
