1、江苏省灌南高级中学2021-2022上学期高二第一次月考数学试卷一单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每题5分，8题共40分）1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由直线方程求直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角.【详解】 即 ，所以斜率为，设直线的倾斜角为，则又，所以 ，即 故选：B.2. 若直线与直线互相平行，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线平行得出斜率相等可求.【详解】直线的斜率为，由知：直线的斜率，所以故选：B.3. 椭圆的焦距为2，则的值等于（ ）.A. 5B. 8C. 5或3D
2、. 5或8【答案】C【解析】【分析】分焦点在轴，轴上两种情况，利用，即可求出的值.【详解】当焦点在轴上时：，解得：，当焦点在轴上时：，解得：，所以或，故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，属于基础题.4. 已知圆C的方程为，直线l过点（2，2），则与圆C相切的直线方程（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】C【解析】【分析】观察图象可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由直线l与圆C相切可得圆心到直线l的距离等于圆的半径，列方程求k，由此可得切线方程.【详解】观察图象可得直线l的斜率存在，又直线l过点（2，2），故设直线l的方程为，圆C的方程为， 圆心C的坐标为，半径为2，
3、设圆心C到直线l的距离为d，直线l与圆C相切 ，又 ， 或 直线l的方程为和，故选：C.5. 在同一平面直角坐标系中，直线l1：axyb0和直线l2：bxya0有可能是 ()A B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】l1：yaxb，l2：ybxa，由图A中l1知，b0，与l2中b0矛盾，排除A；同理排除D在图C中，由l1知b0矛盾，排除C故答案选B点睛：这个题目考查的是已知表达式，识别函数的图像，并且两条直线的位置关系可以大概由选项判断出来；一般知式求图的问题，可以代入特殊点，判断函数的定义域，值域，对称性，奇偶性，等通过这个来判断式子和图像是否相符这个题目可以由选项入手，假设选项正确，
4、推出矛盾6. 若双曲线的一条渐近线与圆交于点，两点，则的值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】D【解析】【分析】利用点到直线的距离以及垂径定理即可.【详解】双曲线的一条渐近线为，在圆中，圆心，半径圆心到渐近线的距离，由垂径定理得故选D7. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图、中椭圆的离心率分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论.【详解】由图知，由图知，点在椭圆上， ，
5、则，整理得，解得，由图知，在椭圆上，则，整理得，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，可得出，在中，利用余弦定理可得出关于的方程，结合可求得该双曲线的离心率.【详解】如下图所示，设，由双曲线的定义可得
6、，则，所以，在中，整理可得，即，解得.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）A. 当时，曲线C是椭圆B. 当或时，曲线C是双曲线C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D. 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则【答案】BC【解析】【分析】根据表示椭圆可求得或，判断A; 表示双曲线可求得或，判断B;根据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的不等式组，求得参数范围，判断C,D.【详解】当曲线C是椭圆时，解得或，故A错误；当曲线C是双曲线时，
7、解得或，故B正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得，故C正确；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故D错误故选:BC10. 下列说法正确的是（ ）A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B. 点关于直线的对称点为C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】ABC【解析】【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念判定A；根据“一垂直二中点”检验判定B;求得截距然后计算面积判定C；注意到截距可能都是零的特殊情况否定D.【详解】解：当直线的倾斜角为时，直线不存在斜率，所以所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，故A正确；点与的中点坐标满足
8、直线方程，并且两点的斜率为：，所以点关于直线的对称点为，故B正确；直线在两坐标轴上的截距分别为：2，与坐标轴围成的三角形的面积是：，故C正确；经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；故选:ABC.11. 已知抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，点在抛物线上，则（ ）A. 双曲线的离心率为2B. 双曲线的渐近线为C. D. 点到抛物线焦点的距离为6【答案】AC【解析】【分析】由双曲线的方程，求得，利用双曲线的几何性质，可判定A正确，B错误；根据题意，列出方程，可判定C正确；根据抛物线的定义，可判定D错误.【详解】由双曲线，可得，则，所以双曲线的离心率为，所以A正确；由双曲线
9、的渐近线为，所以B错误；由抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，可得，解得，所以C正确；由抛物线的准线方程为，则点到其准线的距离为，到焦点的距离也为4，所以D错误.故选：AC.12. 已知是椭圆上一点，椭圆的左右焦点分别为，且，则（ ）A. 的周长为B. C. 点到轴的距离为D. 【答案】BCD【解析】【分析】A根据椭圆定义分析的周长并判断；B根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出并判断；C根据三角形等面积法求解出点到轴的距离并判断；D根据向量数量积运算以及的值求解出结果并判断.【详解】A因为，所以，故错误；B因为，所以，所以，所以，故正确；C设点到轴的距离为，所以，所
10、以，故正确；D因为，故正确；故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若过两点，的直线的斜率为12，则直线的方程为_【答案】【解析】【分析】由两点斜率公式求，由点斜式求直线方程.【详解】因为直线经过两点、且直线的斜率是，所以，解得所以点的坐标为，所以直线的方程为，化简可得故答案为：14. 抛物线的焦点坐标是_【答案】【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求得焦点坐标.【详解】方程，即，故其焦点坐标为.故答案为：.【点睛】本题考查根据抛物线方程求焦点坐标，属简单题.15. 圆上的点到直线的最大距离是_.【答案】5【解析】【分析】先求解出圆心坐标，计算圆心到直线的
11、距离进而求解出圆上的点到到直线距离的最大值.【详解】由题意可得，圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径圆心到直线的距离，从而所求最大距离为：故答案为：5.16. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点则双曲线C的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，表示出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式列方程可得，从而可求出双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线的渐近线方程为，椭圆焦点为，所以双曲线的焦点为，因为双曲线的焦点到渐近线的距离为1，所以，化简得，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为：四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出
12、文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知的三个顶点分别为，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接由两点式求边所在直线的方程；（2）求出点的坐标为（4，2），再利用两点式求中线所在直线的方程.【详解】（1）由两点式得边所在直线的方程为，即；（2）由题意，得点的坐标为（4，2），由两点式，得所在直线的方程为，即.18. 已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为（1）求C的标准方程；（2）过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)由条件设双曲线的方程为，
13、根据条件列方程求即可；(2)联立方程组，求出交点坐标，利用两点距离公式求【小问1详解】因为焦点在x轴上，故设C标准方程为双曲线的焦距为10，的一条渐近线为，又，联立上式解得，故所求方程为【小问2详解】由(1)的右顶点为，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为联立消去变量y可得，解得或则A，B两点的坐标分别为，故19. 已知椭圆的焦距为2，长半轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，求以线段为直径的圆的标准方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意求出和的值，即可求出椭圆的方程；（2）设点，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点和，即可得
14、出所求圆的标准方程.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，所以，所以椭圆的方程为 （2）设点，联立消去，得.由韦达定理得，所以，线段的中点坐标为.所以， 所以所求圆的标准方程为20. 已知椭圆的短半轴长为1，离心率为.（1）求的方程；（2）设的上下顶点分别为，动点(横坐标不为0)在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据短半轴长和离心率求出，可得椭圆的方程；（2）设，求出点的坐标，利用斜率公式求出和，再相乘可得结果.【详解】（1）依题意可知，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意可知，设，则，直线：，令，得，即，所以.21. 如图，函数f
15、(x)x的定义域为(0，)设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线yx和y轴的垂线，垂足分别为M，N.（1）证明：PMPN为定值；（2）O为坐标原点，求四边形OMPN面积最小值【答案】（1）PMPN1；（2）1.【解析】【分析】（1）设P(x00)，利用点到直线的距离公式即可求解.（2）设直线PM的方程为yx0，求出交点，由S四边形OMPNSNPOSOPMPNONPMOM，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）证明设P(x00)则PNx0，PM，因此PMPN1.（2）直线PM的方程为yx0，即yx2x0.解方程组得，解得xyx0，S四边形OMPNSNPOSOPMPNONPMOMx0，当且仅当
16、x0，即x01时等号成立，因此四边形OMPN的最小值为1.22. 已知椭圆：过点，离心率为.（1）求椭圆的方程； （2），是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线：与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得a=2c，再结合，可求出，从而可得椭圆方程，（2）由题意可得圆的方程为，再由直线与圆相切可得，设，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再表示出，而由可得，再将前面得到的式子代入化简计算即可【详解】（1）由椭圆的离心率为，得a=2c，又椭圆过点，则，解得 ， ，所以椭圆的方程：.（2）由题意，圆是以为直径的圆，则方程为 直线：与圆相切，则，即 设，则由 ，有 所以 又，所以，解得，即.
