1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.2.1 函数的概念一、内容与解析函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数()和基本初等函数()是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,
2、但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.二、教学目标及解析1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识.2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性和重要性,激发学生学习的积极性.三、问题诊断分析教学重点:理解函数
3、的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.四、教学支持条件分析在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().五、教学过程第一课时导入新课问题:已知函数,请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题.推进新课新知探究提出问题1.给出下列三种对应:(幻灯片)（1）一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单
4、位:s)变化的规律是h=130t-5t2.请回答：该问题中的自变量与因变量分别是什么？它们的取值范围用集合如何表示？请得出炮弹飞行1s，5s，10s，20s时距地面的高度请用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系用符号语言描述上述的依赖关系时间t的变化范围是数集A=t|0t26,h的变化范围是数集B=h|0h845.则有对应f:th=130t-5t2,tA,hB.（2）近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从19792001年的变化情况.图1-2-1-1请回答： 该问题中的自变
5、量与因变量分别是什么？它们的取值范围用集合如何表示？ 从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞的面积大约为1500万平方千米？请用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系用符号语言描述上述的依赖关系根据图1-2-1-1中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A=t|1979t2001,空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B=S|0S26,则有对应:f:tS,tA,SB.（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.“八五”计划以来我国城镇居民
6、恩格尔系数变化情况时间19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数y53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9请回答：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？用符号语言描述上述的依赖关系根据上表,可知时间t的变化范围是数集A=t|1991t2001,恩格尔系数y的变化范围是数集B=S|37.9S53.8.则有对应:f:ty,tA,yB.（2）以上三个实例有什么共同特点？（3）请用集合的观点给出函数的定义. 函数f:AB的值域为C
7、,那么集合B=C吗？初中函数定义：在某一变化过程中，有两个变量x，y。在某一法则的作用下，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与其相对应，这时，就称y是x的函数。这时，x是自变量，y是因变量。高中函数定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？请填写下表函数一次函数二次函数反比例函数a0a0对应法则定义域值域（
8、5）在研究函数时常会用到区间的概念,设a,b是两个实数,且ab,如下表所示:定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a,bx|axb开区间(a,b)x|axb半开半闭区间a,b)x|aa(a,bx|xa(-,ax|x0时,求f(a),f(a-1)的值.活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则x+30, 有意义,则x+20,转化解由x+30和x+20组成的不等式组.(2)让学生回想f(-3),f()表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f()表示自变量x=时对应的函数值.分别将-
9、3,代入函数的对应法则中得f(-3),f()的值.(3)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值.分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值.解：(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3x-2,即函数的定义域是-3,-2)(-2,+).(2)f(-3)=+=-1;f()=.(3)a0,a-3,-2)(-2,+),即f(a),f(a-1)有意义.则f(a)=+;f(a-1)=.点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组.f(x)是表示关于变量x的函数,
10、又可以表示自变量x对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)没有什么意义.符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f(x)=x2-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,再加上5;当x为某一代数式(或某一个函数记号时),则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,fg(x)=g(x)2-g(x)+5等等.符号y=f(x)表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积;符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m是变量时,函数f(x)与函数f(m)是同一个函数;
11、当m是常数时,f(m)表示自变量x=m对应的函数值,是一个常量.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.2.已知函数f(x)的定义域是-1,1,则函数f
12、(2x-1)的定义域是_.分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x的取值需满足-12x-11,0x1.答案：0,1思路2若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x2,值域是4的“同族函数”共有 个分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数.令x2=1,得x=1;令x2=4,得x=2.所有“同族函数”的定义域分别是1,2,1,-2,-1,2,-1,-2,1,-1,2,1,-1,-2,1,-2,2,-1,-2,2,1,-1,-2,2,则“同族函数”共有9个.
13、答案：A思路3下列图象中不能作为函数的图象的是（ ） 课堂小结本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解.作业课本P24,习题1.2A组1、5.第二课时导入新课思路1.当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A、B中元素完全相同时,集合A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题:函数相等.思路2.我们学习了函数的概念,y=x与y=是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容,引出课题:函数相等.推进新课新知探究提出问题指出函数y=x+1的构成要素有几部分？一个函数的构成要素有几部分？分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同
14、.函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗？由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：函数y=x+1的构成要素为:定义域R,对应关系xx+1,值域是R.一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.定义域和对应关系分别相同.值域相同.如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.应用示例思路11.下列函数中哪个与函数y=x相等？(1)
15、y=()2;(2)y=;(3)y=;(4)y=.活动：让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.解：函数y=x的定义域是R,对应关系是xx.(1)函数y=()2的定义域是0,+),函数y=()2与函数y=x的定义域R不相同.函数y=()2与函数y=x不相等.(2)函数y=的定义域是R,函数y=与函数y=x的定义域R相同.又y=x,函数y=与函数y=x的对应关系也相同.函数y=与函数y=x相等.(3)函数y=的定义域是R,函数y=与函数y=x的定义域R相同.又y=|x|,函数y=与函数y=x的对
16、应关系不相同.函数y=与函数y=x不相等.(4)函数y=的定义域是(-,0)(0,+),函数y=与函数y=x的定义域R不相同,函数y=()2与函数y=x不相等.点评：本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数.变式训练判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.y=x-1,xR与y=x-1,xN;y=与y=;y=1+与u=1+;y=x2与y=x;y=2|x|与y=y=f(x)与y=f(u).
17、是同一个函数的是_(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;前者的定义域是x|x2或x-2,后者的定义域是x|x2,它们的定义域不同,故不是同一个函数;定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填.思路21.判断下列函数f(x)与g(x)是否表示
18、同一个函数,说明理由.(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1.(2)f(x)=x-1,g(x)=.(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2.(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.活动：学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同时,再判断它们的对应关系是否相同.解：(1)f(x)=(x-1)0的定义域是x|x1,函数g(x)=1的定义域是R,函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1的定义域不同.函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1不表示同一个函数.(2)f(x)=x-1的定义域是R,g(x)=的定义域是R,函数f(x)=x-1与函数g
19、(x)=的定义域相同.又g(x)=|x-1|,函数f(x)=x-1与函数g(x)=的对应关系不同.函数f(x)=x-1与函数g(x)=不表示同一个函数.(3)很明显f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R,又f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的对应关系不同,函数f(x)=x2和g(x)=(x+1)2不表示同一个函数.(4)很明显f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的定义域都是R,又f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的对应关系也相同,函数f(x)=x2-1与g(u)=u2-1表示同一个函数.变式训练1.2007湖北黄冈模拟,理13已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f
20、(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=_.解：由题意得f(36)=f(66)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(23)=2f(2)+f(3)=2p+2q.答案：2p+2q2.函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点共有( )A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.不确定答案：C2.设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的定义域,N是函数y=f(u)的值域,当MN时,则y成为x的函数,记为y=fg(x).这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,它的定义域为MN,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出下列复
21、合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.(1)y=;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y=-1.活动：让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么.解：(1)设y=,u=x+1,即y=的外层函数是反比例函数y=,内层函数是一次函数u=x+1.(2)设y=u2,u=x2-2x+3,即y=(x2-2x+3)2的外层函数是二次函数y=u2,内层函数是二次函数u=x2-2x+3.(3)设y=u2+u-1,u=,即y=-1的外层函数是二次函数y=u2+u-1,内层函数是反比例函数u=.点评：到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次
22、函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.变式训练1.2004重庆高考,文2设f(x)=,则=_.答案：-12.2006安徽高考,理15函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则ff(5)=.分析:函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)= ,f(x+4)=f(x+2)+1=f(x).f(1)=f(1+4)=f(5).又f(1)=-5,f(5)=-5.ff(5)=f(-5) =f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)=.答案：知能训练1.下列给出的四个图形中,是函数图象的
23、是( )A. B. C. D.图1-2-1-2答案：B2.函数y=f(x)的定义域是R,值域是1,2,则函数y=f(2x-1)的值域是_.答案：1,23.下列各组函数是同一个函数的有_.f(x)=,g(x)=x;f(x)=x0,g(x)=;f(x)=,g(u)=;f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u.答案：拓展提升问题:函数y=f(x)的图象与直线x=m有几个交点？探究:设函数y=f(x)定义域是D,当mD时,根据函数的定义知f(m)唯一,则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m,f(m),即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m仅有一个交点;当mD时,根据函数的定义知f
24、(m)不存在,则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点不存在,即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m没有交点.综上所得,函数y=f(x)的图象与直线x=m有交点时仅有一个,或没有交点.课堂小结(1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素;(2)学习了复合函数的概念;(3)判断两个函数是否是同一个函数.作业1.设M=x|-2x2,N=y|0y2,给出下列4个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系是( )图1-2-1-3分析:A中,当0x2时,N中没有元素与x对应,不能构成函数关系;C中一个x有两个y与之对应,所以不是函数关系;D中,表示函数关系,但是表示的函数值域不是N.答案：B2
25、.某公司生产某种产品的成本为1000元,以1100元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入_,它们之间是关系_.分析:由题意,多生产一单位产品则多收入100元.生产产品数量看成是自变量,公司收入看成是因变量,容易得出对于自变量的每一个确定值,因变量都有唯一确定值与之对应,从而判断两者是函数关系.答案：增加 函数3.函数y=x2与S=t2是同一函数吗?答:函数的确定只与定义域与对应关系有关,而与所表示的字母无关,因此y=x2与S=t2表示的是同一个函数.因此并非字母不同便是不同的函数,这是由函数的本质决定的.精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u 版权所有高考资源网
