1、10.2二项式定理专题检测1.(2020山西大同开学学情调研,6)若x-2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.210B.180C.160D.175答案Bx-2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,展开式中共有11项,n=10.展开式的通项为Tr+1=C10r(x)10-r-2x2r=C10r(-1)r2rx5-5r2.令5-5r2=0,得r=2,常数项是T2+1=22C102=180,故选B.2.(2018辽宁鞍山鞍钢三模,8)已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a2=()A.18B.24C
2、.36D.56答案B(2x-1)4=1+2(x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,a2=C4222=24,故选B.3.(2020四川五校联考,6)(3x3+x4)2-1x8的展开式中x2的系数为()A.-1280B.4864C.-4864D.1280答案A2-1x8的展开式的通项为Tr+1=C8r28-r-1xr,所以x2项为3x3C8127-1x+x4C8226-1x2=-1280x2,故选A.4.(2018海南国兴中学3月模拟,7)设(1+x)6=a0+a1x+a2x2+a6x6,其中x,aiR,i=0,1,6,则a1+a3+a5=()A.
3、16B.32C.64D.128答案B令x=1,则26=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=64,令x=-1,则(1-1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=0,2(a1+a3+a5)=64,a1+a3+a5=32.故选B.5.(2019广东佛山二模,8)已知(1+x)x+1x2n(nN*,n10)的展开式中没有常数项,则n的最大值是()A.6B.7C.8D.9答案B(1+x)x+1x2n(nN*,n10)的展开式中没有常数项,x+1x2n的展开式中没有x-1项和常数项.x+1x2n的展开式的通项为Tr+1=Cnrxn-3r,故n-3r0,且n-3r-1,即n3r,且n3r-1,
4、n3,6,9,且n2,5,8,故n的最大值为7,故选B.思路分析先将问题转化成二项展开式中没有常数项和x-1项,利用二项展开式的通项求出第r+1项,再根据x的指数不能为0和-1,求得n的最大值.6.(2017山西晋中一模,9)若a=2-33(x+|x|)dx,则在x-13xa的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有()A.13项B.14项C.15项D.16项答案Ca=2-33(x+|x|)dx=2-30(x-x)dx+2032xdx=18.则x-13x18的展开式的通项为Tr+1=C18r(x)18-r-13xr=(-1)rC18rx9-5r6(r=0,1,2,18).只有r=0,6,12,18
5、时,x的幂指数是整数,因此x的幂指数不是整数的项共有19-4=15项.故选C.7.(2018安徽马鞍山二模,10)二项式3x+13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A.3B.5C.6D.7答案D根据3x+13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n=20,3x+13xn的展开式的通项为Tr+1=C20r(3x)20-r13xr=(3)20-rC20rx20-4r3,要使x的指数是整数,需r是3的倍数,r=0,3,6,9,12,15,18,x的指数是整数的项共有7项.故选D.思路分析根据二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值,再利用
6、展开式的通项求得x的指数是整数的项数.规律总结(a+b)n的展开式中二项式系数最大问题的处理依据:若n为偶数,则第n2+1项的二项式系数最大,为Cnn2;若n为奇数,则第n+12,n+32项的二项式系数最大,为Cnn-12,Cnn+12.8.(2016全国百所名校联考,6)(1-x)6(1-3x)4的展开式中,x2的系数是()A.-75B.-45C.45D.75答案B(1-x)6(1-3x)4=(1-6x+15x-20xx+15x2-6x2x+x3)(1-43x+63x2-4x+3x4),(1-x)6(1-3x)4的展开式中,x2的系数是15(-4)+15=-45.故选B.思路分析把(1-x)
7、6和(1-3x)4利用二项式定理分别展开,进而可得(1-x)6(1-3x)4的展开式中x2的系数.9.(2018重庆万州二模,15)已知二项式2x2-1xn的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中含1x项的系数是.答案-84解析由二项式2x2-1xn的展开式中所有二项式系数的和是128,得2n=128,n=7,2x2-1xn=2x2-1x7,Tr+1=C7r(2x2)7-r-1xr=(-1)r27-rC7rx14-3r.令14-3r=-1,得r=5.展开式中含1x项的系数是-4C75=-84.思路分析由已知可得n的值,写出二项展开式的通项,由x的指数为-1求得r,进而求含1x项的系数.易
8、错警示注意二项式系数与项的系数的区别,以及二项式系数之和与所有项的系数之和的区别.10.(2017江西赣州十四县联考,14)若x+13xn的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足4A=9(C-B),则展开式中x2的系数为.答案5627解析易得A=1,B=n3,C=Cn29=n(n-1)18,所以有4=9n2-n18-n3,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍).在x+13x8中,因为通项Tr+1=C8rx8-r13xr=C8r3rx8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为5627.11.(2018湖南长沙第二次模拟,14)若x10-x5=a0+a1(x-1)
9、+a2(x-1)2+a10(x-1)10,则a5=.答案251解析令x-1=t,则x=t+1,x10-x5=(t+1)10-(t+1)5=a0+a1t+a2t2+a10t10,a5为t5的系数,其中(t+1)10的展开式中t5的系数为C105,(t+1)5的展开式中t5的系数为C50,则a5=C105-C50=252-1=251.12.若(1-4x)2020=a0+a1x+a2x2+a2020x2020,则a12+a222+a202022020=.答案0解析取x=0,则a0=1;取x=12,则(-1)2020=a0+a12+a222+a202022020,所以a12+a222+a202022020=1-a0=0.
