1、山东省潍坊一中2015届高三上学期期末数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题1（5分）设集合M=x|x2+x60，N=x|（）x4，则MRN（）A（2，2B（2，2）C（3，2D（3，2）2（5分）复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）“a=1”是“直线a2xy+1=0与直线xay2=0互相垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）函数的零点个数是（）A0BlC2D45（5分）函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）ABCD6（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
2、（）ABCD7（5分）函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（）ABCD8（5分）已知双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，则此双曲线的渐近线方程是（）ABCDy=2x9（5分）已知不等式的解集为x|axb，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，则的最小值为（）AB8C9D1210（5分）已知函数，若|f（x）|ax1恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，6B6，0C（，1D1，0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）二项式（ax+2）6的展开式的第二项的系数为12，则x2dx=12（5分）在边长为1的正方形ABCD中，E、F分
3、别为BC、DC的中点，则向量=13（5分）甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者若甲和乙不在同一岗位服务，则不同的分法有种（用数字作答）14（5分）过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60的直线被圆截得的弦长是15（5分）已知正四棱柱ABCDABCD的外接球直径为，底面边长AB=1，则侧棱BB与平面ABC所成角的正切值为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知向量=（cosx，1），=（sinx，），f（x）=（）（）求函数f（x）的单调增区间；（）已知锐角ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，
4、c其面积，求b+c的值17（12分）如图，在几何体ABCA1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且ABBC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1中点，（）求证；CE平面A1B1C1，（）求证：求二面角B1AC1C的大小18（12分）已知各项均不为零的数列an，其前n项和Sn满足Sn=2an；等差数列bn中b1=4，且b21是b11与b41的等比中项（）求an和bn，（）记，求cn的前n项和Tn19（12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T其范围为0，10，分别有五个级别：T0，2）畅通；T2，4）
5、基本畅通； T4，6）轻度拥堵； T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵，晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制直方图如图所示（）这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（）从这20个路段中随机抽出的3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望20（13分）已知椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且PF1F2面积的最大值等于2（1）求椭圆的方程；（2）直线y=2上是否存在点Q，使得从该店向椭圆所引的两条切线互相垂直？若存在求点Q的坐标；若不存在，说明理由21（14分）已知函数f（x）的定义
6、域为（，1）（1，+），对定义域内的任意x，满足f（x）+f（x）=0，当x1时，（a为常），且x=2是函数f（x）的一个极值点，（）求实数a的值；（）如果当x2时，不等式恒成立，求实数m的最大值；（）求证：山东省潍坊一中2015届高三上学期期末数学模拟试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题1（5分）设集合M=x|x2+x60，N=x|（）x4，则MRN（）A（2，2B（2，2）C（3，2D（3，2）考点：集合的含义 专题：集合分析：求解一元二次不等式和指数不等式化简集合M，N，然后直接利用补集和交集的运算求解解答：解：由M=x|x2+x60=x|3x2，又N=x|4=x|x2，全集U
7、=R，所以RN=x|2所以M（RN）=x|3x2x|x2=（2，2）故选B点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，是基础的运算题2（5分）复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的意义、复数的几何意义即可得出解答：解：复数z=，z共轭复数=在复平面内对应的点为在第三象限故选：C点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义、复数的几何意义，属于基础题3（5分）“a=1”是“直线a2xy+1=0与直线xay2=0互相垂直”的（）A充分
8、不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：直线与圆分析：由直线a2xy+1=0与直线xay2=0互相垂直，可得a21+（1）（a）=0，解出a即可判断出解答：解：由直线a2xy+1=0与直线xay2=0互相垂直，a21+（1）（a）=0，化为a2+a=0解得a=0或1“a=1”是“直线a2xy+1=0与直线xay2=0互相垂直”的充分但不必要条件故选：A点评：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，属于基础题4（5分）函数的零点个数是（）A0BlC2D4考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：由f（x）=0，得，然后在坐
9、标系中分别作出函数y=|log2x|，y=的图象，利用图象观察函数零点的个数解答：解：函数的定义域为x|x0，由f（x）=0，得，在坐标系中分别作出函数y=|log2x|，y=的图象如图：由图象可知两个函数只有两个交点，函数f（x）的零点个数为2个故选：C点评：本题主要考查函数零点的个数判断，利用数形结合的思想是解决本题的关键5（5分）函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）ABCD考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：利用函数的奇偶性、单调性、特殊值，借助排除法能求出结果解答：解：y=xsinx+cosx，设f（x）=xsinx+cosx，则f（x）=（x）sin（x）+cos（
10、x）=xsinx+cosx=f（x），y=xsinx+cosx是偶函数，故排除D当x=0时，y=0+cos0=1，故排除C和D；y=xcosx，x0开始时，函数是增函数，由此排除B故选：A点评：本题考查函数的图象的性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排除法的合理运用6（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的左边侧面与底面垂直，四棱锥的底面是边长为2的正方形，画出其直观图如图，由侧视图等腰三角形的腰长为，求得棱锥的高，把数据代入棱锥的体积公式计算解答：解：由三视
11、图知几何体为四棱锥，四棱锥的左边侧面与底面垂直，其直观图如图：且四棱锥的底面是边长为2的正方形，由侧视图等腰三角形的腰长为，得棱锥的高为=2，几何体的体积V=222=故选B点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及求相关几何量的数据7（5分）函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：利用函数的周期求出，然后根据函数的平移法则求出函数的图象平移后的函数，然后由已知的图象关于Y轴对称，求出，得到结果解答：解：由题意函数的周期是，=2，函数的图象向右平移个单位后
12、得到y=sin（2x+）的图象关于y轴对称，+=k+，kZ，解得=2，=故选：B点评：本题考查y=Asin（x+）的图象和性质，三角函数的左右平移一定要注意x上的变化量是解题中容易出错的地方，要引起注意，而函数的图象变换也是函数的重要知识，要熟练掌握8（5分）已知双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，则此双曲线的渐近线方程是（）ABCDy=2x考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，可得双曲线的a与c，进而可求双曲线的渐近线方程解答：解：双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，a=3，c=3，b=3，双曲线
13、的渐近线方程是y=x=x故选C点评：本题考查椭圆，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题9（5分）已知不等式的解集为x|axb，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，则的最小值为（）AB8C9D12考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由不等式，解得2x1可得a=2，b=1由于点A（2，1）在直线mx+ny+1=0上，可得2m+n=1再利用“乘1法”和基本不等式即可得出解答：解：不等式（x+2）（x+1）0，解得2x1不等式的解集为x|2x1，a=2，b=1点A（2，1）在直线mx+ny+1=0上，2mn+1=0，化为2m+n=1mn0，=5+=9，当且仅当
14、m=n=时取等号的最小值为9故选：C点评：本题考查了分式不等式的解法、基本不等式的性质，属于基础题10（5分）已知函数，若|f（x）|ax1恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，6B6，0C（，1D1，0考点：分段函数的应用 专题：综合题；函数的性质及应用分析：由题意，|f（x）|ax1恒成立，等价于y=ax1始终在y=|f（x）|的下方，即直线夹在与y=|x2+4x|=x24x（x0）相切的直线，和y=1之间，所以转化为求切线斜率解答：解：由题意，|f（x）|ax1恒成立，等价于y=ax1始终在y=|f（x）|的下方，即直线夹在与y=|x2+4x|=x24x（x0）相切的直线，和y=1之间，
15、所以转化为求切线斜率由，可得x2（4+a）x+1=0，令=（4+a）24=0，解得a=6或a=2，a=6时，x=1成立；a=2时，x=1不成立，实数a的取值范围是6，0故选B点评：本题考查分段函数，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，问题转化为直线夹在与y=|x2+4x|=x24x（x0）相切的直线，和y=1之间是关键二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）二项式（ax+2）6的展开式的第二项的系数为12，则x2dx=3考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：利用二项式定理求出a的值，然后根据积分公式即可得到结论解答：解：二项式（ax+2）6的展开式的第二项为，则第
16、二项的系数为12a5=12，解得a=1，x2dx=x2dx=，故答案为：3点评：本题主要考查二项式定理以及的定积分的计算，要求熟练掌握相应的公式12（5分）在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则向量=1考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：设EAB=，则由正方体的性质可得FAD=，EAF=2设正方形的边长为1，求得sin 和cos的值，可得cosEAF=cos（2）的值，再利用两个向量的数量积的定义求得向量的值解答：解：设EAB=，则由正方体的性质可得FAD=，EAF=2设正方形的边长为1，则AE=AF=，sin=，cos=cosEAF=cos（2）=s
17、in2=2sincos= 向量=cosEAF=1，故答案为1点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，二倍角公式、诱导公式的应用，求得cosEAF=，是解题的关键，属于中档题13（5分）甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者若甲和乙不在同一岗位服务，则不同的分法有216种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题 专题：排列组合分析：利用间接法由题意得，有且只有2人分在一组，然后平均分到4个不同的岗位，再排除甲乙两人在同一岗位的分配方法，问题得以解决解答：解：利用间接法由题意得，有且只有2人分在一组，然后平均分到4个不同的岗位，则有C52A44=
18、240种不同的分配方案甲乙两人在同一岗位的分配方法有A44=24，故甲乙两人不在同一岗位的分配方法有24024=216种故答案为：216点评：本题主要考查了排列组合中的分配问题，关键是如何分组，属于中档题14（5分）过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60的直线被圆截得的弦长是考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线的焦点坐标求出直线方程，再求出圆的圆心的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由此能求出弦长解答：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为60的直线方程为：y=tan60（x1），即，圆的圆心（2，2），半径
19、r=4，圆心（2，2）到直线的距离：d=，弦长L=2=2=故答案为：点评：本题考查直线与圆相交的弦长的求法，是中档题，解题时要注意抛物线、圆、直线方程、点到直线距离公式等知识点的灵活运用15（5分）已知正四棱柱ABCDABCD的外接球直径为，底面边长AB=1，则侧棱BB与平面ABC所成角的正切值为考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角 专题：空间角分析：以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出侧棱BB与平面ABC所成角的正弦值，再由三角函数的性质能求出结果解答：解：以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD为z轴，建
20、立空间直角坐标系Dxyz，正四棱柱ABCDABCD的外接球直径为，底面边长AB=1，DD=2，A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，2），B（1，1，0），=（0，0，2），=（0，1，2），=（1，1，0），设平面ACB的法向量，=0，=0，设直线BB与平面ABC所成角为，则sin=|cos，|=|=，cos=，tan=故答案为：点评：本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知向量=（cosx，1），=（sinx，），f（x）=（）（）求函数f（x）的单
21、调增区间；（）已知锐角ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c其面积，求b+c的值考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 专题：解三角形分析：（）根据数量积积的定义，求出f（x）的表达式，即可求函数f（x）的单调增区间；（）根据三角形的面积公式，以及余弦定理即可得到结论解答：解：（）=（cosx，1），=（sinx，），=（cosxsinx，），f（x）=（）=（cosxsinx）cosx=，得，kZ即函数的单调性递增区间为：（），0，02A，即A=，=，bc=4由余弦定理得a2=b2+22bccosA，9=b2+c2bc，（b+c）2=b2+c2+2bc=9+3bc
22、=21，b+c=点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出f（x）的表达式以及三角形的面积公式和余弦定理是解决本题的关键17（12分）如图，在几何体ABCA1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且ABBC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1中点，（）求证；CE平面A1B1C1，（）求证：求二面角B1AC1C的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析：（）取A1B1中点F，连接EF，FC，证明CE平面A1B1C1，只需证明CE
23、C1F；（）建立空间直角坐标系，求出平面ACC1、平面AB1C1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B1AC1C的大小解答：（）证明：点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，AA1BB1CC1，取A1B1中点F，连接EF，FC，则EFA1A，EF=A1A，AA14，CC1=2，CC1A1A，CC1=A1A，CC1EF，CC1=EF，四边形EFC1C为平行四边形，CEC1F，CE平面A1B1C1，C1F平面A1B1C1，CE平面A1B1C1；（）解：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，2），=（2，2，0），=（0
24、，0，2），=（2，0，4），=（0，2，2）设平面ACC1的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则=（1，1，0）同理可得平面AB1C1的法向量为=（2，1，1），cos，=由图可知二面角B1AC1C为钝角，二面角B1AC1C的大小为150点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定定理，正确运用向量法是关键18（12分）已知各项均不为零的数列an，其前n项和Sn满足Sn=2an；等差数列bn中b1=4，且b21是b11与b41的等比中项（）求an和bn，（）记，求cn的前n项和Tn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）通过Sn求出Sn
25、1，然后两式相减得到an的递推形式，不要忘了验证a1是否满足an，从而求出an的通项公式；由等差数列bn中b1=4，且b21是b11与b41的等比中项，建立方程求出d，由此能求出bn的通项公式（）分类讨论思想，因为（）问中求出的bn的通项公式有两个，所以cn也是两个：或，由此分别计算，能求出cn的前n项和Tn解答：解：（）对于数列an，由题意知Sn=2an，当n2时，Sn1=2an1，得SnSn1=an+an+1（n2），即an=an+an1，2an=an1（n2），an0，（n2）a1=2a1，a1=1，an是以1为首项，为公比的等比数列，设等差数列bn的公差为d，b1=4，且b21是b11
26、与b41的等比中项，b1=4，b2=4+d，b3=4+3d，（3+d）2=3（3+d），解得d=0，或d=3当d=0时，bn=4；当d=3时，bn=3n+1（）当bn=4时，=（3n1）2n1，=2n+24当bn=3n+1时，=（3n+1）2n，2n1，2Tn=42+722+1023+（3n+1）2n，得Tn=4+3（2+22+2n1）（3n+1）2n=4+3（3n+1）2n=4+22n6（3n+1）2n=（23n）2n2，Tn=2+（3n2）2n综上：bn=4时，；bn=3n+1时，点评：本题考查数列的通项公式和前n基和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用19（12分）交通指数
27、是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T其范围为0，10，分别有五个级别：T0，2）畅通；T2，4）基本畅通； T4，6）轻度拥堵； T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵，晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制直方图如图所示（）这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（）从这20个路段中随机抽出的3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（）由频率分布直方图可知底高频率，频率20=个；由频率分布直方图很容易知道轻度拥堵的频
28、率是0.3，中度拥堵的频率是0.5（）由题意知X为0，1，2，3，列出超几何分布的概率形式P（X=k）=（k=0，1，2，3），再列表求值，由此求出X的分布列及期望解答：解：（）由直方图得：轻度拥堵的路段落个数是（0.1+0.2）120=6个，中度拥堵的路段落个数是（0.3+0.2）120=10个（）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为： X01 2 3PEX=点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查超几何分布，考查离散型随机变量的分布列的求法及数学期望，是中档题20（13分）已知椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为
29、F1，F2，离心率为，P是椭圆上一点，且PF1F2面积的最大值等于2（1）求椭圆的方程；（2）直线y=2上是否存在点Q，使得从该店向椭圆所引的两条切线互相垂直？若存在求点Q的坐标；若不存在，说明理由考点：椭圆的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）通过椭圆性质列出a，b，c的方程，其中离心率e=，分析图形知道当点P在短轴端点时，PF1F2 面积取最大值，从而建立关于a，b，c的方程，解出a2，b2，c2，即求出椭圆的标准方程（2）对于存在性问题，要先假设存在，先设切线y=k（xm）+2，与椭圆联立，利用=0，得出关于斜率k的方程，利用两根之积公式k1k2=1，求出Q点坐
30、标解答：解：（1）点P在椭圆上，bypb，当|yp|=b时，PF1F2面积最大，且最大值为bc=2，又e=，a2=4，b2=c2=2，椭圆方程为（2）假设直线y=2上存在点Q满足题意，设Q（m，2），当m=2时，从Q点所引的两条切线不垂直当m2时，设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为y=k（xm）+2，代入椭圆方程，消去y，整理得：（1+2k2）x24k（mk2）x+2（mk2）24=0，=16k2（mk2）24（1+2k2）2（mk2）24=0，（m24）k24mk+2=0，*设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程（m24）k24mk+2=0的两个根，k1k2=1，
31、解得m=，点Q坐标为（，2），或（，2）直线y=2上两点（，2），（，2）满足题意点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的判断，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，分类讨论要全面21（14分）已知函数f（x）的定义域为（，1）（1，+），对定义域内的任意x，满足f（x）+f（x）=0，当x1时，（a为常），且x=2是函数f（x）的一个极值点，（）求实数a的值；（）如果当x2时，不等式恒成立，求实数m的最大值；（）求证：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：综合题；导数的综合应用分析：（）先求出当x1时，f（x）=f（x）=，可得当x1时，f（x）=，利用x=2是函数f
32、（x）的一个极值点，即可求实数a的值；（）当x2时，不等式恒成立，等价于mx，令g（x）=x=1+，求出最小值，即可求实数m的最大值；（）由（）知，当x2时，f（x），即，可得ln（x1）11，令x1=，则1=1，进而取值累加，即可证明结论解答：（）解：函数f（x）的定义域为（，1）（1，+），对定义域内的任意x，满足f（x）+f（x）=0，f（x）为奇函数，当x1时，x1，f（x）=f（x）=，当x1时，f（x）=x=2是函数f（x）的一个极值点，f（2）=0，a=1；（）解：由（）知，当x1时，f（x）=当x2时，不等式恒成立，等价于mx，令g（x）=x=1+，则g（x）=，令h（x）=（x1）ln（x1）（x2），则h（x）=，当x2时，h（x）=0，函数h（x）在2，+）上单调递增，h（x）h（2）=10，当x2时，g（x）=0，g（x）在2，+）上单调递增，g（x）min=g（2）=2，m2，实数m的最大值为2；（）证明：由（）知，当x2时，f（x），即，则ln（x1）11，令x1=，则1=1，1ln；1ln，1ln，累加可得点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查不等式的证明，正确分离参数求最值是关键
