1、第五讲直线、平面垂直的判定与性质ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一直线与平面垂直(1)直线与平面垂直定义：若直线l与平面内的_任意_一条直线都垂直，则直线l与平面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条_相交_直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直)即：a，_b_，la，lb，abPl性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_平行_.即：a，b_ab_(2)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角_，叫做这条斜线和这个平面所成的角若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_0_，若直线与平面垂直，直
2、线与平面所成角为线面角的范围：0，知识点二平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的_两个半平面_所组成的图形叫做二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_垂直_的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角(2)平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角_，就说这两个平面互相垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即：a，a_性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线_的直线与另一个平面垂直即：，a，b，ab_a_.1若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2若一条直线垂直于
3、一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)3垂直于同一条直线的两个平面平行4一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直题组一走出误区1(多选题)下列结论中错误的是(ABC)A直线l与平面内的无数条直线都垂直，则lB垂直于同一个平面的两平面平行C若，a，则aD若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直题组二走进教材2(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是(ABC)A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直
4、线都垂直于平面解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的题组三考题再现3(2017课标全国)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(C)AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC解析A1B1平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，A1B1BC1，又BC1B1C，且B1CA1B1B1，BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，BC1A1E.故选C4(多选题)(2020山东潍坊月结学情考试)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中正确
5、的是(AD)APBAE B平面ABC平面PBCC直线BC平面PAE DPDA45解析对于A，因为PA平面ABC，所以PAAE，又EAAB，PAABA，所以EA平面PAB，从而可得EAPB，故A正确对于B，由于PA平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故B不正确对于C，由于在正六边形中BCAD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故C不正确对于D，由条件得PAD为直角三角形，且PAAD，又PA2ABAD，所以PDA45.故D正确综上A、D正确5(2019中原名校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中
6、一定能推出m的是(C)A且m B且mCmn且n Dmn且n解析对于选项A，且m，可得m或m与相交或m，故A不成立；对于选项B，且m，可得m或m或m与相交，故B不成立；对于选项C，mn且n，则m，故C正确；对于选项D，由mn且n，可得m或m与相交或m，故D不成立故选CKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究 考点一空间垂直关系的基本问题自主练透例1(1)(2019山东济宁期末)设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是(C)A若m，n，mn，则B若m，n，mn，则C若m，n，mn，则D若m，n，mn，则(2)(2019陕西汉中质检一)已知l，m表示
7、两条不同的直线，表示两个不同的平面，l，m，则有下面四个命题：若，则lm，若，则lm；若lm，则；若lm，则.其中所有正确的命题是(A)A B C D(3)(多选题)(2020四川成都诊断改编)已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是(ABD)A若m，n，且，则mnB若m，n，且，则mnC若m，n，且，则mnD若m，n，且，则mn解析.故选Clm，对；，对；由图可知错故选A(3)由m，n，且，得mn或m与n相交，或m与n异面，故A错误；由m，n，且，得mn或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m，得m，又n，则mn，故C正确；由m，n且，得mn或m与n相交
8、或m与n异面，故D错误，故选A、B、D名师点拨 解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让其动动再判断(3)否定命题时只需举一个反例即可变式训练1(2019东北三省三校模拟)已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m的一个充分条是(C)Amn，n Bm，Cn，n，m Dn，mn解析对于答案A：mn，n，得出m与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：m，得出m与是相交的、平行的都可，故B错；答案C：n，n，得出，再m得出m，故C正确考点二直线与平面垂直的
9、判定与性质多维探究角度1线、面垂直的判定例2 (2018新课标全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离解析(1)因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2连接OB，因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2由OP2OB2PB2知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC(2)作CHOM，垂足为H又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45所以OM，
10、CH所以点C到平面POM的距离为角度2线、面垂直的性质例3(2019湖北武汉调研测试)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，DAB，平面PAD平面ABCD，PAPD(1)证明：PBBC；(2)求点A到平面PBC的距离解析(1)证明：如图，取AD的中点H，连接PH，HB，BD底面ABCD是边长为1的菱形，ADAB1，DAB，ABD是等边三角形BH，BHADPAPD，H为AD的中点，PHAD，又PHBHH，AD平面PHB，又PB平面PHB，ADPB，又ADBC，PBBC(2)ADBC，BC平面PBC，AD平面PBCAD平面PBC点A与点H到平面PBC的距离相等由(1)知AD平面
11、PHBBC平面PHB，又BC平面PBC，平面PBC平面PHB过点H作HMPB于M由平面PHB平面PBCPB，知HM的长即点H到平面PBC的距离平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PH平面PAD，PHAD，PH平面ABCD，又BH平面ABCD，PHBHPH，BH，PB，HM名师点拨 (1)解决直线、平面垂直问题的常用方法：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用线面垂直的性质；利用面面垂直的判定定理；利用面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质变式训练2(1)(角度1)(2019全国)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的
12、底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1证明：BE平面EB1C1；若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积(2)(角度2)(2020新疆乌鲁木齐诊断)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABAA12，E是棱CC1的中点求证：A1BAE；求点A1到平面ABE的距离解析(1)由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE又BEEC1，所以BE平面EB1C1(2)由(1)知BEB190由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3所以，四棱锥EBB1
13、C1C的体积V36318(2)证明：如图，取A1B的中点F，连接AF，EF三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1A1C1，CC1CB，又E是CC1的中点，且A1C1BC，A1EBE，A1BEF又ABAA1，A1BAF又AFEFF，A1B平面AEF又AE平面AEF，A1BAEV三棱锥A1ABEV三棱锥BA1AE2，设A1到平面ABE的距离为h，则SABEh，由已知得AEBE，SABE2，h即A1到平面ABE的距离为考点三空间两个平面垂直的判定与性质师生共研例4(2019河北省衡水中学模拟)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，ABDC，ABC90，PAB120，DCPC2.PAAB
14、BC1(1)证明：平面PAB平面PBC；(2)求四棱锥PABCD的体积解析(1)证明：在PAB中，由PAAB1，PAB120，得PB，因为PC2，BC1，PB，所以PB2BC2PC2，即BCPB；因为ABC90，所以BCAB，又PBABB，所以BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB平面PBC(2)在平面PAB内，过点P作PEAB，交BA的延长线于点E，如图所示：由(1)知BC平面PAB，因为BC平面ABCD，所以平面PAB平面ABCD，又PEAB，所以PE平面ABCD，因为在RtPEA中，PA1，PAE60，所以PE；因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥PABCD的体积为VPABC
15、D(12)1名师点拨 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(3)变式训练3(2019湖北省武汉部分重点高中联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，PAPDAD2，M，N分别为线段PC，AD的中点(1)求证：AD平面PNB；(2)若平面PAD平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积解析(1)PAPD，N为AD的中点，PNAD，底面ABCD为菱形，BAD60，BNAD，PNBNN，AD平面PNB(2)PAPDAD2，PNNB，平面P
16、AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PNAD，PN平面ABCD，PNNB，SPNB，AD平面PNB，ADBC，BC平面PNB，PMPC，VPNBMVMPNBVCPNB2MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 立体几何中的折叠问题例5(2019全国统一诊断卷)在五边形ABCDF中，E是边DF上的点，AFBECD，BCDF，BCCD，ABBC，AFEF1，BECD2，如图1，将四边形AFEB沿BE折起，使平面AFEB平面BCDE，将BCD沿BD折起，使点C与点A重合，重合的点记为M，如图2(1)连接EM，证明：平面BDM平面DEM；(2)求
17、点E到平面BDM的距离解析(1)证明：因为EM，MB，BE2，所以EM2MB2BE2，所以MBEM又因为BCCD，即MBMD，EMMDM，EM平面DEM，MD平面DEM，所以MB平面DEM因为MB平面BDM，所以平面BDM平面DEM(2)易知BED90，所以SBEDBEED又MFBE，BE平面BED，MF平面BED，所以MF平面BED因为平面BEFM平面BED，平面BEFM平面BEDBE，EFBE，所以EF平面BED，所以EF是三棱锥MBED的高所以VMBEDSBEDEF又易知BMD是直角三角形，SBMDBMMD设点E到平面BDM的距离为h，则VEBDMh，因为VMBEDVEBDM，所以h，得
18、h1，即点E到平面BDM的距离为1名师点拨 证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决变式训练4(2019湖北八市联考)如图，在RtABC中，ABBC3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EFBC，将AEF沿EF折起到PEF的位置，使得二面角PEFB的大小为60(1)求证：EFPB；(2)当点E为线段AB靠近B点的三等分点时，求四棱锥PEBCF的侧面积解析(1)证明
19、：由题意知BCABEFBC，EFAB，翻折后垂直关系没变，仍有EFPE，EFBE.又PEBEE，EF平面PBE又PB平面PBE，EFPB(2)EFAE，EFBE，PEB是二面角PEFB的平面角，PEB60在PBE中，PE2，BE1，由余弦定理得PB，PB2EB2PE2，PBEB，PB，BC，EB两两垂直又EFPE，EFBE，PBE，PBC，PEF均为直角三角形由AEFABC可得，EFBC2，SPBCBCPB，SPBEPBBE，SPEFEFPE2如图，在四边形BCFE中，过点F作BC的垂线，垂足为H，则FC2FH2HC2BE2(BCEF)22，所以FC在PFC中，FC，PC2，PF2由余弦定理可得，cosPFC，则sinPFC，SPFCPFFCsinPFC所以四棱锥PEBCF的侧面积为SPBCSPBESPEFSPFC22
