1、 数学归纳法教案 教学目标知识目标：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。 能力目标：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。情感目标：培养学生对于数学内在美的感悟能力教学重点使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)教学难点如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设教学方法引导发现法、感性体验法学生学法让学生初步掌握归纳推理的方法，养成自主思维、主动发现的学习习惯课 型新授课教 具投影片、乒乓球 环节教 学 过
2、 程双 向 交 流引入问题1：这个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为橙色？ 问题2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？教师拿出内有十个乒乓球的盒子，演示第一个问题归 纳法 教师引导学生明了以上两个问题的异同点。 由此，得出归纳法的概念：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。同时指明了完全归纳法与不完全归纳法的区别。 投影通过数学家费马运用不完全归纳得出错误结论的事例来说明不完全归纳法的缺憾之处 仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论。 提问如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 引导学生得出：只有经过严格的证明，不完全归纳得出
3、的结论才是正确的。教师板书：归纳法 特殊一般板书：完全归纳法、不完全归纳法学生展开讨论，教师引导，教师板书课题：数学归纳法数学归纳法 提问若盒子里的乒乓球有无数个，如何证明它们全是橙色球呢？在学生讨论未果的基础上，教师给出方法供学生参考：证明第一次拿出的乒乓球是橙色的；构造一个命题并证明，此命题的题设是：“若某一次拿出的球是橙色的”，结论是：“下次拿出的球也是橙色的”。以上两步都被证明，则盒子中的乒乓球全是橙色的。（该命题并不是孤立地研究“某一次”、“下一次”取的是橙球，而且由“某次取出的是橙球”来得到“下一次取出的也是橙球”的逻辑必然性，即一种递推关系）教师引导学生讨论：以上两个步骤如果都得
4、到证明，是否能说明全部的乒乓球都是橙色的？由此，得出数学归纳法的基本概念：它是自然数相关问题的一种证明方法。提问在现实生活中有没有相似的“递推”思想的实例呢？ 提问这种思考方法能不能用来证明第二个问题呢？投影给出问题2的数学归纳法的证明，将每一步骤标号，引导学生对教师引导学生讨论学生讨论，教师点拨学生举例，教师对举出例子的学生给予表扬接上比上一问题与此问题类似之处，进而得出数学归纳法的证题思路和步骤。教师再通过投影明确数学归纳法的“奠基步骤”和“递推步骤”这“两个步骤”以及“一个结论”。教师根据投影归结出“两个步骤和一个结论”例题讲解 例1、数列an，其通项公式为an=2n-1，请猜测该数列的
5、前n项和公式Sn，并用数学归纳法证明该结论。 教师板演学生的解题步骤。师生共同归结：1、 数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。 2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换。第3点可结合学生完成情况来阐明。学生回答，由教师将学生回答的内容板书，师生共同总结出应注意之处反馈练习用数学归纳法证明：A组：1、1+2+3+n=n(n+1)/2 (nN)； 2、首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式为：an=a1qn-1 (nN)B组：1、1+2+22+2n-1=2n-1 (nN)； 归纳结论并证明：2、S=1/
6、(13)+1/(35)+1/(57)+1/(2n-1)(2n+1) (nN) A组题要求每个同学都完成，B组要求少数成绩好的学生完成将空白投影片发给点到的学生，待学生写完后，教师投影并当堂点评。知识小结归纳法可能错误，如何避免？ 投影：不完全归纳法完全归纳法递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉数学归纳法穷举法教师带领学生回顾并小结本节课。作业P121 1、预习课本P115-117投影屏幕板书设计：612数 学 归 纳 法一、 归纳法（特殊一般）1、完全归纳法2、不完全归纳法二、数学归纳法重点：两个步骤、一个结论 注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉例1、 解：练习 作业：P121 1、
