1、21 平面向量的实际背景及基本概念第二章 平面向量考点学习目标核心素养平面向量的相关概念了解向量的实际背景，理解平面向量的相关概念数学抽象平面向量的表示掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念数学抽象相等向量与共线向量理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念数学抽象、逻辑推理第二章 平面向量问题导学预习教材 P74P76，并思考下列问题：1向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？2怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3两个向量(向量的模)能否比较大小？4如何判断相等向量或共线向量？向量AB 与向量BA 是相等向量吗？1向量的概念及表示(1)概念：既有_，又有_的量(2)有向线段定义：带有方向的线
2、段三个要素：_、_、_表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作_长度：线段 AB 的_也叫做有向线段AB 的长度(或称模)，记作_.大小方向起点方向长度AB长度|AB|(3)向量的表示名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素(2)用有向线段表示向量时，要注意AB 的方向是由点 A 指向点 B，点 A 是向量的起点，点 B 是向量的终点2向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB 的大小，也就是向量AB 的_，记作_(2)零向量：长度为_的向量，记作 0.(3)单位向量：长度等于_的向量3两个向量间的关系(1)平 行
3、向 量：方 向 _ 或 _ 的 非 零 向 量，也 叫 做_若 a，b 是平行向量，记作 ab.规定：0 与任一向量_(2)相等向量：长度_且方向_的向量，若 a，b 是相等向量，记作 ab.长度|AB|01个单位相同相反共线向量平行相等相同名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量，长度大的向量也较大()(2)如果两个向量共线，那么其方向相同()(3)向量的模是一个正实数()(4)向量就是有向线段()(5)向量AB 与向量BA 是
4、相等向量()(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行()(7)零向量是最小的向量()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)已知向量 a 如图所示，下列说法不正确的是()A也可以用MN 表示B方向是由 M 指向 NC起点是 MD终点是 M答案：D已知点 O 固定，且|OA|2，则 A 点构成的图形是()A一个点B一条直线C一个圆D不能确定答案：C如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形，则与ED 相等的向量有_答案：AB，DC 给出下列命题：若AB DC，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点；在ABCD 中，一定有AB DC；若 ab，bc，则
5、ac.其中所有正确命题的序号为_向量的相关概念【解析】AB DC，A，B，C，D 四点可能在同一条直线上，故不正确；在ABCD 中，|AB|DC|，AB 与DC 平行且方向相同，故AB DC，故正确；ab，则|a|b|，且 a 与 b 的方向相同；bc，则|b|c|，且 b 与 c 的方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相同，故 ac，故正确【答案】(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件有大小；有方向两个条件缺一不可(2)理解零向量和单位向量应注意的问题零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；单位向量不一定相等，易忽略向量的方向 1下列说法中正确的是()A数量可以比较大小，向量也可以比
6、较大小B方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C向量的大小与方向有关D向量的模可以比较大小解析：选 D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故 A，B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故 C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小故D 正确2下列说法正确的是()A向量AB CD 就是AB 所在的直线平行于CD 所在的直线B长度相等的向量叫做相等向量C零向量与任一向量平行D共线向量是在一条直线上的向量解析：选 C.向量AB CD 包含AB 所在的直线与CD 所在的直线平行和重合两种情况，故 A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故
7、 B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故 D 错 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为 1)，用直尺和圆规画出下列向量：向量的表示(1)OA，使|OA|4 2，点 A 在点 O 北偏东 45方向上；(2)AB，使|AB|4，点 B 在点 A 正东方向上；(3)BC，使|BC|6，点 C 在点 B 北偏东 30方向上【解】(1)由于点 A 在点 O 北偏东 45方向上，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等又|OA|4 2，小方格的边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数都为 4，于是点 A
8、的位置可以确定，画出向量OA，如图所示(2)由于点 B 在点 A 正东方向上，且|AB|4，所以在坐标纸上点 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B的位置可以确定，画出向量AB，如图所示(3)由于点 C 在点 B 北偏东 30方向上，且|BC|6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向小方格数为 3 35.2，于是点 C 的位置可以确定，画出向量BC，如图所示 用有向线段表示向量的步骤 已知飞机从 A 地按北偏东 30的方向飞行 2000 km到达B地，再从B地按南偏东30的方向飞行 2 000 km到达 C 地，再从 C 地按西南
9、方向飞行 1 000 2 km 到达 D 地(1)作出向量AB，BC，CD，DA；(2)问 D 地在 A 地的什么方向？D 地距 A 地多远？解：(1)由题意，作出向量AB，BC，CD，DA，如图所示(2)依题意知，三角形 ABC 为正三角形，所以 AC2 000 km.又因为ACD45，CD1 000 2，所以ACD 为等腰直角三角形，即 AD1 000 2 km，CAD45，所以 D 地在 A地的东南方向，距 A 地 1 000 2 km.如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且OA a，OB b，在每两点所确定的向量中(1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与 a
10、 共线的向量有哪些？共线向量与相等向量【解】(1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.(2)与 a 共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.1变条件本例中OC c，其他条件不变，试分别写出与 a，b，c 相等的向量解：与 a 相等的向量有EF，DO，CB；与 b 相等的向量有DC，EO，FA；与 c 相等的向量有FO，ED，AB.2变设问本例条件不变，与AD 共线的向量有哪些？解：与AD 共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，OA.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量(2
11、)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量(3)非零向量共线具有传递性，即向量 a，b，c 为非零向量，若ab，bc，则可推出 ac.注意 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况 1已知向量AB 与向量BC 共线，下列关于向量AC 的说法中，正确的为()A向量AC 与向量AB 一定同向B向量AC，向量AB，向量BC 一定共线C向量AC 与向量BC 一定相等D以上说法都不正确解析：选 B.根据共线向量的定义，可知AB，BC，AC 这三个向量一定为共线向量，故选 B.2如图，四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：(1)写出与B
12、C 相等的向量；(2)写出与BC 共线的向量解：(1)因为四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边形，所以BCADDE，BCADDE，所以BC AD DE.故与BC 相等的向量为AD，DE.(2)与BC 共线的向量共有 7 个，分别是AD，DE，DA，ED，AE，EA，CB.1.如图，在ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，图中与AE 平行的向量的个数为()A1 B2C3D4解析：选 C.图中与AE 平行的向量为BE，FD，FC 共 3 个2下列结论中正确的是()若 ab 且|a|b|，则 ab；若 ab，则 ab 且|a|b|；若 a 与 b 方向相同且|a|b|，则 a
13、b；若 ab，则 a 与 b 方向相反且|a|b|.A BCD解析：选 B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故错误，a，b 可能反向；正确；两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等3已知 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，在以 O，A，B，C，D 这 5 点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC 相等的向量；(2)与OB 长度相等的向量；(3)与DA 共线的向量解：画出图形，如图所示(1)易知 BCAD，BCAD，所以与BC 相等的向量为AD.(2)由 O 是正方形 ABCD 对角线的交点知 OBODOAOC，所以与OB 长度相等的向量为BO，OC，CO，OA，AO，OD，DO.(3)与DA 共线的向量为AD，BC，CB.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
