1、山东省潍坊一中2019-2020学年高二数学下学期4月阶段性检测试题（含解析）一、单项选择题：1.已知i是虚数单位，若2+i=z(1+i)，则复数z对应的点在复平面的（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】化简得到，得到答案.【详解】，则，对应的点在第四象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的除法，复数对应点的象限，意在考查学生的计算能力.2.曲线在处的切线的斜率为（ ）A. B. -1C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】求导得到，计算得到答案.【详解】，则，故.故选：.【点睛】本题考查了函数的切线的斜率问题，意在考查学生的计算能力.3.函数的
2、极值点是（ ）A. x=0B. x= -1C. -1和0D. （-1,3）和（0，4）【答案】B【解析】【分析】求导得到，得到函数单调区间，得到极值点.【详解】，故，函数在上单调递减，在上单调递增，故极值点为.故选：B【点睛】本题考查了函数的极值点，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.2015年10月29日闭幕五中全会公报确定，坚持住计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动.在一个家庭中有2个孩子，已知其中一个是男孩，另一个也是男孩的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】基本事件有男男，男女，女男，女女四种情
3、况，计算概率得到答案.【详解】基本事件有男男，男女，女男，女女四种情况，每个情况发生的概率相同.故其中一个是男孩的情况有三种，两个都是男孩的情况有一种，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.已知p，qR，2-i是关于x的方程的一根，则p+q=（ ）A. 0B. -1C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】是方程的一根，代入计算得到，解得答案.【详解】是方程的一根， 则，即，故，解得，故.故选：.【点睛】本题考查了方程的复数解，意在考查学生的计算能力和转化能力.6.函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数为偶
4、函数排除，时，排除，当时，排除，得到答案.【详解】，则，函数为偶函数，排除；当时，排除；当时，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性取特殊值排除是解题的关键.7.若函数f(x)满足，则的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】求导得到，计算得到，故，计算得到答案.【详解】，则，故，故，.故选：.【点睛】本题考查了函数的导数，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.已知函数，若存在实数a使得函数F（x）0恒成立，则b的取值范围是（ ）A. （-，-2）B. （-，2）C. 0,2）D. （-2，+）【答案】D【解析】【分析】不等式等价于或恒成立
5、，设，得到，设，得到，故，解得答案.【详解】恒成立，等价于或，即或恒成立，设，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，故.设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故.根据题意知：，故.故选：.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生计算能力和转化能力.二多项选择题：9.已知函数f（x）的定义域为R且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的有（ ）A. 函数f（x）的减区间是（-，-2）B. 函数f（x）的增区间是（-2，+）C. x=-2是函数的极小值点D. x=2是函数的极小值点【答案】ABC【解析】【分析】讨论，四种情况，得到函数的单调区间，对比选项得到答案.【详解】当时，故，函
6、数单调递增；当时，故，函数单调递增；当时，故；当时，故，函数单调递减；对比选项知：故正确.故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像确实函数单调性，意在考查学生的识图能力.10.对于二项式，以下判断正确的有（ ）A. 对任意，展开式中有常数项B. 存在，展开式中有常数项C. 对任意，展开式中没有x的一次项D. 存在，展开式中有x的一次项【答案】BD【解析】【分析】展开式的通项为，计算得到答案.【详解】展开式的通项为：，取，得到，故当是的倍数时，有常数项，故错误正确；取，取，时成立，故错误正确；故选：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.某工程队有卡车、挖掘机、吊车
7、、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ ）A. 18B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】根据捆绑法得到共有种派法，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有种派法，得到答案.【详解】根据捆绑法得到共有，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有.故选：.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.对于定义域为D的函数f（x），若存在区间m，nD，同时满足下列条件：f（x）在m，n上是单调的；当定义域是m，n时，f（x）的值域也是m，n，
8、则称m，n为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据函数的新定义，确定函数的单调性，根据定义域计算值域，确定的解的个数，依次计算每个选项得到答案.【详解】易知单调递增，故，解得，故不满足；取，上单调递减，故，故满足.，易知函数单调递增，故，设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故函数有两个零点，故满足.在上单调递增，故，设，则，函数在上单调递增，在上单调递减.故，故函数只有一个零点，不满足；故选：.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的计算能力，阅读能力和综合应用能力.三、填空题：13.已知随机变量，且，则_
9、【答案】0.9【解析】【分析】根据正态分布性质计算概率【详解】由正态分布密度曲线知，又，所以，所以.【点睛】本题考查正态分布的性质，由正态分布曲线的对称性得若，则，14.已知随机变量，则的值为_【答案】【解析】【分析】直接根据二项分布方差公式计算得到答案.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了二项分布的方差，属于简单题.15.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出x（单位：万元）与年销售额y（单位：万元）进行了初步统计，如下图所示：x23456y2.23.85.56.5p经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程，则p的值为_.【答案】【解析】【分析】计算，故，
10、代入计算得到答案.【详解】，故，故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.已知关于x的方程恰有四个不用的实数根，则当函数时，函数的极大值为_，实数k的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】求导得到，得到函数单调区间得到极值；画出函数图像，则和，故，计算得到答案.【详解】，则，函数在和上单调递增，在上单调递减，故函数的极大值为.画出函数图像，如图所示：设，则，原方程有四个不同的实数根，则和，故，即，根据图像知：，故答案为：；.【点睛】本题考查了函数极值，根据方程解的个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四解答题：1
11、7.已知，i为虚数单位，（1）若，求；（2）若，求实数p，q值.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1），故，故，计算得到答案.（2），故，解得答案.【详解】（1），故，故，故，故.（2），则，即，故，解得.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）经过点（-1，-2）作函数图像的切线，求该切线的方程.【答案】（1）时，函数单调递减，时，函数单调递增；（2）【解析】【分析】（1）求导得到，根据导数的正负得到函数单调区间.（2）设切点为，则，解得答案.【详解】（1），故，取，则，故时，函数单调递减；时，函数单调递增.（2）
12、设切点为，则，解得，故切线方程为，即.【点睛】本题考查了函数的单调区间，切线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.目前，新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控形势严峻.口罩的市场需求一直居高不下.为了保障防疫物资供应，潍坊的口罩企业加足马力保生产，上演了一场与时间赛跑的“防疫阻击战”.潍坊市坊子区一家口罩生产企业拥有1000平方米洁净车间，配备国际领先的自动化生产线5条，技术骨干20余人.自疫情发生以来，该企业积极响应政府号召，保障每天生产一次性无纺布健康防护口罩5万只左右.现从生产的大量口罩中抽取了100只作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间20,40）内的产品视为合格品
13、，否则视为不合格品，如图是样本的频率分布直方图.（1）求图中实数a的值；（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分：质量指标值落在区间25,30）内的定为一等品，每件售价2.4元；质量指标值落在区间20,25）或30,35）内的定为二等品，每件售价为1.8元；其他的合格品定为三等品，每件售价为1.2元.用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买2只口罩支付的费用为X（单位：元）.求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）直接根据概率和为1计算得到答案.（2）的
14、可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1），解得.（2），.故的可能取值为，.故分布列为：故数学期望为：.【点睛】本题考查了频率分布直方图，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.设函数，若函数在x=处取得极小值.（1）求a的值；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求导得到，再验证得到答案.（2）根据单调性得到，故，解得答案.【详解】（1），则，则，解得或，当时，恒成立，无极值，舍去；当时，故函数在和上单调递增，在上单调递减，故满足，故.（2），故，故，解得或，即.【点睛】本题考查了根据极值
15、求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.已知函数 (e为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数在x=1处取得极大值，在上有解，求实数p的取值范围.【答案】（1）时，函数单调递减；时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）【解析】【分析】（1）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案.（2）计算，转化为，设，得到函数单调区间，解得答案.【详解】（1），则，当时，故函数单调递减；当时，取，得到，故函数在上单调递增，在上单调递减.综上所述：时，函数单调递减；时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2），故，即，设，则，函数在上单调递减，在上单调递增.故，故，故
16、，即.【点睛】本题考查了函数单调性，能成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.22.已知函数 （aR，e为自然对数的底数），其中在x=0处的切线方程为y=bx.（1）求a，b的值；（2）求证：；（3）求证：有且仅有两个零点.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，解得答案.（2）先证明，再证明，得到，得到答案.（3）求导得到，确定导函数单调递增，故存在使，故函数在上单调递减，在上单调递增，根据零点存在定理得到答案.【详解】（1），故，故，.（2）先证明，设，则，函数在上单调递减，在上单调递减，故，故恒成立.再证明，设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故，故.故，当时，；当时，易知，函数为偶函数，故恒成立，故.故，得证.（3），则，恒成立，故单调递增，故存在使，故函数在上单调递减，在上单调递增.，当时，故函数在上有唯一零点，在上有唯一零点，故有且仅有两个零点.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
