1、第二课时 点到直线的距离、两条平行线间的距离一、预习教材问题导入 根据以下提纲，预习教材P106P109，回答下列问题：(1)如何用代数方法求点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离？提示：由P0Ql，以及直线l的斜率为AB，可得l的垂线P0Q的斜率为 BA，因此，垂线P0Q的方程可求出解垂线P0Q与直线l的方程组成的方程组，得点Q的坐标，用两点间距离公式求出|P0Q|，即为点P0到直线l的距离(2)能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距
2、离即可二、归纳总结核心必记 1点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与_之间的距离，就是该点到直线的距离(2)公式：点P(x0，y0)到直线l:AxByC0的距离，d|Ax0By0C|A2B2.垂足2两平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的的长度就是两条平行直线间的距离(2)公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d|C1C2|A2B2.公垂线段三、综合迁移深化思维 1在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式2在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：两直线的
3、方程为一般式且x，y的系数分别相同探究点一 点到直线的距离思考探究在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.(1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？名师指津：过点P作直线ll，垂足为Q，|PQ|即为所求的距离直线l的斜率为k，则l的斜率为 1k，l的方程为yy01k(xx0)，联立l，l的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|.(2)在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到直线l:AxByC0的距离是不是过点P到直线l的垂线段的长度？提示：是 典例精析
4、(1)在平面直角坐标系xOy中，点P(2,2)到直线4x3y50的距离为_(链接教材P107例5)(2)求垂直于直线x3y50且与点P(1,0)的距离是3510的直线l的方程解(1)由点到直线的距离公式可得d|42325|4232195.(2)设与直线x3y50垂直的直线的方程为3xym0，则由点到直线的距离公式知：d|310m|3212|m3|10 35 10.所以|m3|6，即m36.得m9或m3，故所求直线l的方程为3xy90或3xy30.答案(1)195类题通法 点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可(2)对于
5、与坐标轴平行(或重合)的直线xa或yb，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d|x0a|或d|y0b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可针对训练1已知点A(a,2)(a0)到直线l:xy30的距离为1，则a()A.2 B2 2C.21 D.21解析：由点到直线的距离公式知，d|a23|2|a1|2 1，得a1 2.又a0，a 21.答案：C 2已知点P在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为 2，则点P的坐标为()A(1,2)或(2，1)B(3，4)C(2，1)D(1,2)解析：设点P的坐标为(a,53a)，由题
6、意，得|a53a1|1212 2，解得a1或2，点P的坐标为(1,2)或(2，1)答案：A 探究点二 两条平行线间的距离思考探究观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：(1)若过P(x0，y0)的直线l与l:AxByC0平行，那么点P到l的距离与l与l的距离相等吗？提示：相等 2怎样理解两平行直线间的距离公式？名师指津：求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式.利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等.当两直线都与x轴或y轴垂直时，可利用数形结合来解决.当两直线都与x轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则d|x2x1|；当两直线都与y轴垂直
7、时，l1：yy1，l2：yy2，则d|y2y1|.典例精析已知直线l1：3x2y10和l2：3x2y130，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1d221，求直线l的方程解 由直线l1，l2的方程知l1l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d10或d20，不符合题意)设直线l：3x2ym0(m1且m13)，由两平行线间的距离公式，得d1|m1|13，d2|m13|13，又d1d221，所以|m1|2|m13|，解得m25或m9.故所求直线l的方程为3x2y250或3x2y90.类题通法 求两平行直线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意
8、一点到另一条直线的距离(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d|b1b2|k21；当直线l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2时，d|C1C2|A2B2，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等针对训练3两直线3x4y20与6x8y50的距离等于()A3 B7C.110D.12解析：在3x4y20上取一点 0，12，其到6x8y50的距离即为两平行线间的距离，d081256282 110.答案：C 探究点三 距离的综合应用典例精析两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的
9、距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时两条直线的方程思路点拨(1)由两平行线间的距离公式写出d与斜率之间的函数关系式，不难求出d的范围或利用数形结合求d的范围(2)求出d取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程解(1)法一：当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x6和x3，则它们之间的距离为9.当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y2k(x6)，l2：y1k(x3)，即l1：kxy6k20，l2：kxy3k10，d|3k16k2|k213|3k1|k21，即(81d2)k254k9d20.kR，且d9，d0，(54)24(81d2)(9d2)0，即0d3 10且d
10、9.综合可知，所求d的变化范围为(0,3 10法二：如图所示，显然有0d|AB|.而|AB|6322123 10.故所求的d的变化范围为(0,3 10(2)由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB.而kAB216313，所求直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为y23(x6)，y13(x3)，即3xy200和3xy100.类题通法解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程针对训练4已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点(1)若点A(5,0)到l的距离为3
11、，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解：(1)法一：联立2xy50，x2y0交点P(2,1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，即kxy12k0，|5k12k|k213，解得k43，l的方程为y143(x2)，即4x3y50.而直线斜率不存在时直线x2也符合题意，故所求l的方程为4x3y50或x2.法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，|525|221223，即22520，解得2或12，l的方程为4x3y50或x2.(2)由2xy50，x2y0，解得交点P(2,1)，过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)，dmax|PA|10.课堂归纳领悟1本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离难点是能用公式求点到直线的距离2本节课要重点掌握的规律方法(1)点到直线的距离的求解方法，见探究点一(2)求两平行直线间的距离有两种思路，见探究点二(3)待定系数法求解有关距离问题的方法，见探究点三3本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式，如探究点二 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十一)”(单击进入电子文档)谢 观 看THANK YOU FOR WATCHING谢
