1、指数与指数函数考试要求1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型1根式(1)n次方根的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*，n1)2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数
2、指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算3指数函数的概念函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R.提醒：形如ykax，yaxk(kR，且k0；a0且a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数4指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数1指数函
3、数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.2指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图象越高，底数越大一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函数yax21 (a1)的值域是(0，)()(4)若aman(a0，且a1)，则mn.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1(多选)下列运算正确的是(
4、)A.3Be2x(ex)2C.abDABC对于A，因为|3|3，所以A正确；对于B，因为e2x(ex)2，成立，所以B正确；对于C，因为ab，成立，所以C正确；对于D，当a0且b0时，和无意义，所以D错误故选ABC.2若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_.由题意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.3已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_cbayx是减函数，0，则ab1，又c01，cba.4某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为_ya(1p%)x(0xm，xN)当x1时，yaa
5、p%a(1p%)，当x2时，ya(1p%)a(1p%)p%a(1p%)2，当x3时，ya(1p%)2a(1p%)2p%a(1p%)3，当xm时，ya(1p%)m，因此y随年数x变化的函数解析式为ya(1p%)x(0xm，xN) 考点一指数幂的化简与求值 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答1计算：0.00210(2)10_.原式250011010201.2
6、化简 (a0，b0)_.3已知ab5，则ab_.0由ab5知a与b异号，abab0.点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数，如4. 考点二指数函数的图象及其应用 指数函数图象问题的求解策略变换作图对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解典例1(1)函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)若曲线y
7、|3x1|与直线ym有两个不同交点，则实数m的取值范围是_(1)D(2)(0,1)(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.故选D.(2)曲线y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线ym的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y|3x1|与直线ym有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)母题变迁1若本例(2)条件变为：方程3|x|1m有两个不同实根，则实数m的取值范围是
8、_(0，)作出函数y3|x|1与ym的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，)2若本例(2)的条件变为：函数y|3x1|m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_(，1作出函数y|3x1|m的图象如图所示由图象知m1，即m(，1点评：注意区分函数y3|x|与y|3x|y3|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，y|3x|不是偶函数，其图象都在x轴上方，在这里y|3x|3x.1已知函数f(x)ax1(a0，且a1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()AyBy|x2|Cy2x1Dylog2(2x)A易知A(1,1)经验证可得y的图象不经过点A(1,1)，故选A.2已知实数a，b
9、满足等式2 019a2 020b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有_(填序号)作出y2 019x及y2 020x的图象如图所示，由图可知ab0，ab0或ab0时，有2 019a2 020b，而不可能成立 考点三指数函数的性质及其应用 比较指数式的大小比较幂值大小的三种类型及处理方法典例21(1)已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则()AabcBacbCcabDbca(2)若2x5y2y5x，则有()Axy0Bxy0Cxy0Dxy0(1)A(2)B(1)由0.20.6,0.41，并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6，即bc.
10、因为a20.21，b0.40.21，所以ab.综上，abc，故选A.(2)设函数f(x)2x5x，易知f(x)为增函数又f(y)2y5y，由已知得f(x)f(y)，所以xy，所以xy0.点评：在比较指数式大小时，看底数能否化为同底是非常重要的一个思维意识解简单的指数方程或不等式指数方程或不等式的解法(1)解指数方程或不等式的依据af(x)ag(x)f(x)g(x)af(x)ag(x)，当a1时，等价于f(x)g(x)；当0a1时，等价于f(x)g(x)(2)解指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解典例22(1)已知实数a1，函数f(x)若f(
11、1a)f(a1)，则a的值为_(2)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_(1)(2)(3,1)(1)当a1时，41a21，解得a；当a1时，代入不成立故a的值为.(2)若a0，则f(a)1a71a8，解得a3，故3a0；若a0，则f(a)11，解得a1，故0a1.综合可得3a1.与指数函数有关的复合函数的单调性、值域1.与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数yaf(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：(1)若a1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调增(减)区间；(2)若0a1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调减(增)区间
12、即“同增异减”2与指数函数有关的复合函数的值域形如yaf(x)的函数的值域，可先求f(x)的值域再根据函数yat的单调性确定yaf(x)的值域典例23已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解(1)当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，则f(x)g(x)
13、，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，)，应使yax24x3的值域为R，因此只能a0(因为若a0，则yax24x3为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.点评：形如yaf(x)(a0)的函数的定义域就是函数yf(x)的定义域1若2x21x2，则函数y2x的值域是()A.BC.D2，)B2 x21x22 x21242xx2142x，解得3x1，232x2，即y2，故选B.2已知f(x)2x2x，a，b，则f(a)，f(b)的大小关系是_f(a)f(b)a，则，即ab，又
14、函数f(x)2x2x是R上的增函数f(a)f(b)3函数yx22x1的值域是_(0,4设tx22x1，则yt.因为01，所以yt为关于t的减函数因为t(x1)222，所以0yt24，故所求函数的值域为(0,44函数yxx1在区间3,2上的值域是_令tx，由x3,2得t，yt2t12，当t时，ymin，当t8时，ymax57，故所求值域为. 考点四指数型函数的综合应用 指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题典例3已知函数f(x)(a0且a1)是定义在R上的奇函数(1
15、)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x1,2时，2mf(x)2x0恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，即，得a2.(注：本题也可由f(0)0解得a2，但要进行验证)(2)由(1)可得f(x)1，函数f(x)在R上单调递增又2x11，20，111.函数f(x)的值域为(1,1)(3)当x1,2时，f(x)0.由题意得mf(x)m2x2在x1,2时恒成立，m在x1,2时恒成立令t2x1,1t3，则有mt1.当1t3时，函数yt1为增函数，max.m.故实数m的取值范围为.点评：在指数型函数的综合应用中，把ax看作一个整体，即令tax是常用的思维意
16、识已知函数f(x)(a0，且a1)(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性解(1)由ax11知，f(x)的定义域为R，f(x)1，由ax11得02，1f(x)1，即函数f(x)的值域为(1,1)(2)因为f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(3)f(x)1.设x1，x2是R上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x2，所以当a1时，ax2ax10，从而ax110，ax210，ax1ax20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)为R上的增函数；当0a1时，ax1ax20，从而ax110，ax210，ax1ax20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)为R上的减函数
