1、33.2 均匀随机数的产生第三章 概率考点学习目标核心素养均匀随机数了解均匀随机数的产生方法与意义数学抽象模拟试验求几何概型会用模拟试验求几何概型的概率数学运算、数学建模求不规则图形的面积能利用模拟试验估计不规则图形的面积直观想象、数学建模第三章 概率问题导学(1)如何产生均匀随机数？(2)如何用随机模拟的方法求解几何概型的概率？(3)如何计算不规则图形的面积？1均匀随机数的定义如果试验的结果是区间a，b内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是_，则称这些实数为均匀随机数2均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性_等可能的相等3均匀随机数的产生
2、(1)计算器产生区间0，1上的均匀随机数的函数是 RAND.(2)Excel 软件产生区间0，1上的均匀随机数的函数为“rand”(3)产生方法：由几何概型产生；由转盘产生；由计算器或计算机产生4用模拟方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟法：做两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验效果，进行近似计算(2)计算机模拟法：用 Excel 软件产生0，1上的均匀随机数进行模拟，注意操作步骤名师点拨(1)均匀随机数与整数值随机数的异同点相同点：随机产生的随机数在一定的“区域”长度上出现的几率是均等的；不同点：整数值随机数是离散的单个整数值相邻两个整数值随机数的步长为 1，而均匀随机数是小数或整数
3、，是连续的，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的(2)a，b上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生 01 之间的均匀随机数 x1RAND，然后利用伸缩和平移变换，xx1(ba)a 就可以得到a，b内的均匀随机数，试验的结果是a，b上的任何一个实数，并且任何一个实数的出现都是等可能的判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)计算器只能产生(0，1)之间的随机数()(2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数()(3)计算器只能产生均匀随机数()解析：(1)计算器可以产生0，1上的均匀随机数和a，b上的整数值随机数等(2)计算器不可以产生a，b上的均匀随机数，只能通过线性变换得到(3)计算器也
4、可以产生整数值随机数 答案：(1)(2)(3)下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是()A旋转的次数的多少不会影响估计的结果B旋转的次数越多，估计的结果越精确C旋转时可以按规律旋转D转盘的半径越大，估计的结果越精确解析：选 B.旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以 C 不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以 D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以 B 正确，A不正确如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A7.68 B8.68C16.32 D17.32
5、解析：选 C.设椭圆的面积为 S，则24S64 96300，解之得 S16.32.b1 是0，1上的均匀随机数，b3(b12)，则 b 是区间_上的均匀随机数解析：0b11，则函数 b3(b12)的值域是6，3，即 b 是区间6，3上的均匀随机数 答案：6，3 取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于 1 m 的概率用随机模拟法估计长度型的概率【解】设“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A.法一：利用计算器或计算机产生一组0，1上的均匀随机数a1RAND；经过伸缩变换，a3a1；统计出1，2内随机数的个数 N1 和0，3内随机数的个数 N
6、；计算频率 fn(A)N1N 即为概率 P(A)的近似值 法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度0，3(这里 3 和 0 重合)转动圆盘记下指针指在1，2(表示剪断绳子位置在1，2范围内)的次数 N1 及试验总次数 N，则 fn(A)N1N 即为概率 P(A)的近似值利用随机模拟法计算概率的步骤(1)确定概率模型(2)进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到a，b上的均匀随机数(3)统计计算(4)得出结论，近似求得概率 假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50名学生，并且这 50 名学生早上到校先后的可能性是相同的设计模拟方法估计下列事件的概率：(1)小燕比小明先到校
7、；(2)小燕比小明先到校，且小明比小军先到校 解：记事件 A 为“小燕比小明先到校”；记事件 B 为“小燕比小明先到校且小明比小军先到校”利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数，aRAND，bRAND，cRAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；统计出试验总次数 N 及其中满足 bc 的次数 N1，满足 bca的次数 N2；计算频率 fn(A)N1N，fn(B)N2N，即分别为事件 A，B 的概率的近似值 解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为 5 m，2 m，1 m若着陆点在圆环
8、B 内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率与面积有关的几何概型【解】设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”利用计算器或计算机产生两组0，1上的均匀随机数，a1RAND，b1RAND；经过伸缩和平移变换，a16a18，b14b17，得到8，8与7，7上的均匀随机数；统计满足8a8，7b7 的点(a，b)的个数 N.满足 1a2b24 的点(a，b)的个数 N1；计算频率 fn(A)N1N，即为所求概率的近似值 若本例
9、条件不变，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率？解：设事件 C 表示“该特种兵跳伞的成绩为不合格”(1)利用计算器或计算机产生两组0，1上的均匀随机数，a1RAND，b1RAND.(2)经过伸缩和平移变换，a16a18，b14b17，得到8，8与7，7上的均匀随机数(3)统计满足8a8，7b25的点(a，b)的个数 N1.(4)计算频率 fn(C)N1N，即为所求概率的近似值随机模拟法求解几何概型的思路用随机模拟法解决概率问题的关键是得到所求事件 A 涉及的变量所对应的均匀随机数，由于我们常用的随机数的范围是0，1，因此，对于任意区间a，b上的随机数，需要利用伸缩和平移变换 y
10、(ba)xa 进行转换，对于多维的连续量，可以利用计算机生成多组随机数进行计算 (2019陕西省西安市长安区第一中学期末考试)从区间0，1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为()A.4nm B.4mnC.2nmD.2mn解析：选 B.由题意，两数的平方和小于 1，对应的区域的面积为1412，从区间0，1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，
11、对应的区域的面积为 12，所以mn141212.所以 4mn.故选 B.(1)如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_用随机模拟法求解不规则图形的面积(2)利用随机模拟的方法计算曲线 y2x 与 x 轴，直线 x1 所围成图形(如图中阴影部分)的面积【解】(1)正方形的面积 S1，设阴影部分的面积为 S，因为随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，所以由几何概型的概率公式进行估计得SS 1801 0000.18，即 S0.18.故填0.18.(2)利用计算器产生两组0，1上的均匀随机数，a1RAND，b1R
12、AND；进行伸缩和平移变换，a2a11，b2b1，分别得到1，1和0，2上的均匀随机数；统计试验总次数 N 和落在阴影部分的点数 N1；计算频率N1N，即点落在阴影部分的概率的近似值；设阴影部分的面积为 S，由几何概型的概率计算公式得点落在阴影部分的概率为S4.所以N1N S4，则 S4N1N.此即阴影部分面积的近似值利用随机模拟方法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率 P(A)N1N.(3)设阴影部分的面积是 S，规则图形的面积是 S，则有 SSN1
13、N，解得 SN1N S，则所求图形面积的近似值为N1N S.用随机模拟方法求函数 y x与 x 轴和直线 x1 围成的图形的面积解：如图所示，阴影部分是函数 y x的图象与 x 轴和直线 x1 围成的图形，设阴影部分的面积为 S.随机模拟的步骤：(1)利用计算机产生两组0，1内的均匀随机数，x1RAND，y1RAND.(2)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 y x的点(x，y)的个数)(3)计算频率N1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值(4)直线 x1，y1 和 x，y 轴围成的正方形面积是 1，由几何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为S1S.则 SN1N，即阴影部
14、分面积的近似值为N1N.1与均匀随机数特点不符的是()A它是0，1内的任何一个实数B它是一个随机数C出现每一个实数都是等可能的D是随机数的平均数解析：选 D.A，B，C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”2要产生3，3上的均匀随机数 y，现有0，1上的均匀随机数x，则 y 可取为()A3x B3xC6x3 D6x3解析：选 C.法一：利用伸缩和平移变换进行判断 法二：由 0 x1，得36x33，故 y 可取 6x3.3在边长为 2 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积若在正方形 ABCD 中随机产生了 10 000 个点，落在不规则图形 M 内的点数恰有 2 000 个，则在这次模拟中，不规则图形 M 的面积的估计值为_解析：由几何概型的概率计算公式可知SMS正方形ABCD 2 00010 00015，正方形的面积 S 正方形 ABCD224，故 SM45.答案：45本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
