1、小题押题16(13)圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质卷 别年 份考题位置考查内容全国卷2017选择题第5题双曲线的几何性质、三角形面积公式选择题第12题椭圆的几何性质2016选择题第5题点到直线的距离公式、椭圆的几何性质、椭圆的离心率2015选择题第5题椭圆与抛物线的简单性质填空题第16题双曲线的几何性质卷 别 年 份考题位置考查内容全国卷2017选择题第5题双曲线的离心率及不等式的性质选择题第12题抛物线的定义及性质2015填空题第15题双曲线的标准方程全国卷2017选择题第11题直线与圆的位置关系、椭圆的几何性质填空题第14题双曲线的标准方程及几何性质2016选择题第12题直线与椭圆的位
2、置关系、椭圆的离心率命题规律分析圆锥曲线的定义及标准方程是常考点，题目比较简单，圆锥曲线的性质以及直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点，其中涉及范围、最值等综合问题常在压轴小题中考查，难度较大考查点一 圆锥曲线的定义及标准方程1(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|42，|DE|2 5，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6D8解析：设抛物线C的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4 2，|DE|2 5，抛物线的准线方程为xp2，不妨设A4p，2 2，Dp2，5.点A4p，2 2，Dp2，5 在圆x2y2r2上，
3、16p28r2，p24 5r2，16p28p24 5，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.答案：B 2(2014全国卷)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|54x0，则x0()A1B2C4D8解析：由题意知抛物线的准线为x14.因为|AF|54x0，根据抛物线的定义可得x014|AF|54x0，解得x01.答案：A 3(2013全国卷)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析：由已知得抛物线
4、的焦点F p2，0，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则 AFp2，2，AMy202p，y02.由已知得，AF AM0，即y208y0160，因而y04，M8p，4.由|MF|5，得8pp22165，又p0，解得p2或p8.故所求C的方程为y24x或y216x.答案：C 考查点二 圆锥曲线的几何性质4(2017全国卷)已知椭圆C：x2a2 y2b2 1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a.由题意，圆心到直线b
5、xay2ab0的距离为2aba2b2a，即a23b2.又e21b2a223，所以e 63.答案：A 5(2016全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2 y2b21(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得|MF|OE|AF|AO|，则|MF|maca.又由OEMF，得12|OE|MF|BO|BF|，则|MF|mac2a.由得ac12(ac)，
6、即a3c，eca13.答案：A 6(2014全国卷)已知双曲线x2a2y23 1(a0)的离心率为2，则a()A2B 62C 52D1解析：因为双曲线的方程为x2a2y231，所以e21 3a24，因此a21，又因为a0，所以a1.答案：D 7(2014全国卷)已知F是双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A 3B3C 3mD3m解析：双曲线C的标准方程为 x23m y23 1(m0)，其渐近线方程为y 33m xmm x，即m yx，不妨取右焦点F(3m3，0)到其中一条渐近线xm y0的距离求解，得d 3m31m 3.答案：A 考查点三 直线与圆锥曲
7、线位置关系的简单应用8(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()A 5B2 2C2 3D3 3解析：法一：由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y 3(x1)由y 3x1，y24x，得x13或x3.由M在x轴的上方，得M(3,2 3)，由MNl，得|MN|MF|314.又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为4 32 2 3.法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60，则|MN|MF|21cos 604.又NMF等于直线
8、FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为4 32 2 3.答案：C 9(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12 C.23D.34解析：不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为xcyb1，即bxcybc0.由题意知|bc|b2c2142b，解得ca12，即e12.答案：B10(2014全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A 303B6 C12 D7 3解析：抛
9、物线C：y23x的焦点为F34，0，所以AB所在的直线方程为y 33 x34，将y 33 x34 代入y23x，消去y整理得x2212 x 9160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2212，由抛物线的定义可得|AB|x1x2p212 3212.答案：C 11(2013全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为()Ayx1或yx1By 33(x1)或y 33(x1)Cy 3(x1)或y 3(x1)Dy 22(x1)或y 22(x1)解析：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB
10、1，并设直线l交准线于点M.设|BF|m，由抛物线的定义可知|BB1|m，|AA1|AF|3m.由BB1AA1可知|BB1|AA1|MB|MA|，即 m3m|MB|MB|4m，所以|MB|2m，则|MA|6m.故AMA130，得AFxMAA160，结合选项知选C项答案：C 重点突破圆锥曲线性质的2个常考点考法(一)椭圆、双曲线的离心率的求值及范围问题1椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为eca1ba2；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为eca1ba2.2双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为ybax.典例(1)(2017全国卷)若a1，则
11、双曲线x2a2y21的离心率的取值范围是()A(2，)B(2，2)C(1，2)D(1,2)解析 由题意得双曲线的离心率e a21a.即e2a21a2 1 1a2.a1，0 1a21，11 1a22，1e 2.答案 C(2)(2016山东高考)已知双曲线E：x2a2 y2b2 1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_解析 如图，由题意知|AB|2b2a，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，22b2a 32c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)答案 2解
12、题方略椭圆、双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等针对训练1(2017郑州模拟)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.22B2 3C.52D.6 3解析：设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|
13、m，|BF1|2 m.由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a2m2 m，即m(422)a，则|AF2|2am(22 2)a，在RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即4c24(22)2a24(21)2a2，即有c2(96 2)a2，即c(6 3)a，即eca 6 3.答案：D 2(2018届高三广西五校联考)已知点F1，F2分别是双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若 MF1 NF10，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(2，21)B(1，21)C(1，3)D(3，)解析：设 F1(c,0)，F
14、2(c,0)，依题意可得c2a2y2b21，得到 yb2a，不妨设 Mc，b2a，Nc，b2a，则 MF1 NF12c，b2a 2c，b2a 4c2b4a20，得到 4a2c2(c2a2)20，即 a4c46a2c20，故 e46e210，解得 32 2e232 2，又 e1，所以 1e232 2，解得 1e1 2.答案：B 考法(二)圆锥曲线中的最值问题典例(1)(2016四川高考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D.1解析 如图所示，设P(x0，y0)(y00
15、)，则y202px0，即x0y202p.设M(x，y)，由 PM2 MF，得xx02p2x，yy020y，化简可得xpx03，yy03.直线OM的斜率为ky03px03y0py202p2p2p2y0 y02p2 2p222(当且仅当y0 2p时取等号)，故直线OM的斜率的最大值为 22.答案 C(2)(2017南昌质检)已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3,2)，则|PA|PF|取最小值时，点P的坐标为_解析 将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6.62，A 在抛物线内部如图，设抛物线上点 P 到准线 l：x12的距离为 d，由定义知|PA|PF|PA|d，当
16、 PAl 时，|PA|d 有最小值，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72，此时点 P 纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2，点 P 的坐标为(2,2)答案(2,2)解题方略圆锥曲线中最值问题的求解策略(1)利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值(2)求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值，则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线间的距离即为所求(3)利用基本不等式求最值 针对训练1(2017长春模拟)双曲线C的渐近线方程为y2 33 x，一个焦点为F(0，7)，点A(2，0)，点P为双曲线上在第一象限内的点，则当点P的位置变化时，PAF周长的最小值为()A8 B1
17、0C43 7 D33 17解析：由已知得ab2 33，c 7，c2a2b2，解得a24，b23，c27，则双曲线C的方程为y24x23 1，设双曲线的另一个焦点为F，则|PF|PF|4，PAF的周长为|PF|PA|AF|PF|4|PA|3，又点P在第一象限，则|PF|PA|的最小值为|AF|3，故PAF的周长的最小值为10.答案：B 2(2017南昌模拟)抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若 x1x242 33|AB|，则AFB的最大值为()A3B34 C56D23解析：由抛物线的定义可得|AF|x12，|BF|x22，又x1x242
18、33|AB|，得|AF|BF|2 33|AB|，所以|AB|32(|AF|BF|)所以cosAFB|AF|2|BF|2|AB|22|AF|BF|AF|2|BF|232|AF|BF|22|AF|BF|14|AF|214|BF|232|AF|BF|2|AF|BF|18|AF|BF|BF|AF|34182|AF|BF|BF|AF|3412，而0AFB，所以AFB的最大值为23.答案：D 失误防范警惕圆锥曲线中的3个易错点1忽略直线斜率不存在情况致误直线与圆锥曲线位置关系问题中，易忽视直线的斜率不存在这一情形.练1(2017西安八校联考)过点P(2,1)作直线l，使l与双曲线x24y21有且仅有一个公
19、共点，这样的直线l共有()A1条 B2条C3条D4条解析：依题意，双曲线的渐近线方程是y12x，点P在直线y12x上当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx12k，由ykx12k，x24y24，消去y得x24(kx12k)24，即(14k2)x28(12k)kx4(12k)240(*)若 14k20，则 k12，当 k12时，方程(*)无实数解，因此 k12不满足题意；当 k12时，方程(*)有唯一实数解，因此 k12满足题意若 14k20，即 k12，此时 64k2(12
20、k)216(14k2)(12k)210 不成立，因此满足题意的实数 k 不存在综上所述，满足题意的直线 l 共有 2 条答案：B2忽略条件致误应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中的条件而导致错误.练 2 已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆M 同时与圆 C1及圆 C2外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_解析：如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B 两点连接 MC1，MC2.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1
21、|312.所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M与 C2 的距离比与 C1 的距离大)，可设轨迹方程为x2a2y2b21(a0，b0，x0)，其中 a1，c3，则 b28.故点 M 的轨迹方程为 x2y281(x0)答案：x2y281(x0)3忽略焦点的位置致误当焦点位置没有明确给出时，应对焦点位置进行分类讨论，椭圆、双曲线有两种情况，抛物线有四种情况.练 3 已知椭圆x24 y2m1 的离心率等于 32，则 m_.解析：当椭圆的焦点在 x 轴上时，则 a24，即 a2.又 eca 32，所以 c 3，mb2a2c24(3)21.当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的方程为y2mx24 1.则 b24，即 b2.又 eca 32，故1b2a2 32，解得ba12，即 a2b，所以 a4.故 ma216.综上，m1 或 16.答案：1 或 16 “课下练”见“课时跟踪检测(十二)”(单击进入电子文档)
