1、33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题33.1二元一次不等式(组)与平面区域 学习目标1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域知识链接下列说法正确的有_(1)一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间；(2)有序实数对可以看成直角坐标系内点的坐标；(3)二元一次不等式的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合；(4)不等式x2或y0不能用平面直角坐标系中的点集表示答案(1)(2)(3)预习导引1二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组2二元一次不等
2、式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界不等式AxByC0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线3二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线AxByC0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入AxByC所得的符号都相同(2)在直线AxByC0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0By0C的符号可以断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域. 要点一二元一次不等式表示的平面区域例1画出下面二元一次不等式表示的平面区域(1)x2y40；(2)y2x.解(1)画出直线x2y40，
3、020440，x2y40表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界(2)画出直线y2x0，02120(即y2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界规律方法应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线AxByC0，取点代入AxByC验证在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线跟踪演练1在平面直角坐标系中，画出下列二元一次不等式表示的平面区域：(1)2x3y60；(2)2x3y0；(3
4、)y20.解(1)2x3y60表示的平面区域如图(1)所示阴影部分(不包括边界)(2)2x3y0表示的平面区域如图(2)所示阴影部分(包括边界)(3)y20表示直线y20下方的区域，如图(3)所示阴影部分(不包括边界)要点二二元一次不等式组表示的平面区域例2画出下列不等式组所表示的平面区域(1)(2)解(1)x2y3，即x2y30，表示直线x2y30上及左上方的区域；xy3，即xy30，表示直线xy30上及左下方区域；x0表示y轴及其右边区域；y0表示x轴及其上方区域综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示(2)xy2，即xy20，表示直线xy20左上方的区域；2xy1，即2xy10，表示直
5、线2xy10上及右上方区域；xy2表示直线xy2左下方区域综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示规律方法(1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可其步骤：画线；定侧；求“交”；表示但要注意是否包括边界跟踪演练2用平面区域表示下列不等式组(1)(2)解(1)不等式xy，即xy0，表示直线yx上及其下方的区域不等式3x4y120表示直线xy10右上方的点的集合(不含边界)，不等式x3表示直线x3上及左方的点的集合所以不等式组表示上述平
6、面区域的公共部分(如图所示的阴影部分)要点三不等式组表示平面区域的应用例3(1)画出不等式组所表示的平面区域，并求其面积；(2)求不等式组所表示的平面区域的面积大小解(1)如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域由得A(1,3)同理得B(1,1)，C(3，1)|AC|2，而点B到直线2xy50的距离为d，SABC|AC|d26.(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组：或上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积S42213.规律方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采
7、用分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解跟踪演练3画出不等式组所表示的平面区域，并求平面区域的面积解先画直线xy60(画成实线)，不等式xy60表示直线xy60上及右下方的点的集合画直线xy0(画成实线)，不等式xy0表示直线xy0上及右上方的点的集合画直线x3(画成实线)，不等式x3表示直线x3上及左方的点的集合所以，不等式组所表示的平面区域如图所示，因此其区域面积也就是ABC的面积显然，ABC是等腰直角三角形，A90，ABAC，B点的坐标为(3，3)由点到直线的距离公式，得|AB|，SABC36.故不等式组所表示的平面区域的面积等于36.1不在不等式3x2y6表示的平面区域内的一个点
8、是()A(0,0) B(1,1)C(0,2) D(2,0)答案D解析将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x2y2.又阴影部分在直线x0左边，且包含直线x0，故可得不等式x0.由图象可知，第三条边界线过点(2,0)、点(0,3)，故可得直线3x2y60，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，故可得不等式3x2y60.观察选项可知选C.3已知点(1,2)和点(3，3)在直线3xya0的两侧，则a的取值范围是()A(1,6) B(6,1)C(，1)(6，) D(，6)(1，)答案A解析由题意知，(32a)(93a)0，即(a1)(a6)0，1
9、a0表示直线x0(y轴)右侧的点的集合(不含边界)不等式y0表示直线y0(x轴)上方的点的集合(不含边界)不等式xy30(或0时， (1)AxByC0表示直线AxByC0上方的区域； (2)AxByC0表示直线AxByC0下方的区域2画平面区域时，注意边界线的虚实问题一、基础达标1已知点(3，1)和(4，6)分别在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)答案B解析因为点(3，1)和(4，6)分别在直线3x2ya0的两侧，所以3(3)2(1)a342(6)a0，即(a7)(a24)0，解得7a0的点(x，y)所在的平面区域为
10、()答案B解析不等式(xy)(x2y2)0等价于不等式组()或不等式组()分别画出不等式组()和()所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.5原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2xya0表示的平面区域内，则a的取值范围为_答案1a0解析根据题意，分以下两种情况：原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内则无解原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则1a0.综上所述，1a0.6不等式组表示的平面区域的形状为_答案正方形解析如图所示的阴影部分，不等式组表示的平面区域是边长为的正方形7某人准备投资1 200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据
11、表格(以班级为单位)：学段班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中45226/班2/人高中40354/班2/人因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件解设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在2030之间，所以有20xy30.考虑到所投资金的限制，得到26x54y22x23y1 200.即x2y40.另外，开设的班数不能为负，则x0，y0，把上面的四个不等式合在一起，得到用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分)8制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲
12、、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，列出投资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式，并画出相应的平面区域解设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知上述不等式组表示的平面区域如图所示的阴影部分(含边界)二、能力提升9在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1 C D答案C解析作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小由得，即D(3，1)，此时OM的斜率为，选C.
13、10若点P(m,3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy30表示的平面区域内，则实数m的值为_答案3解析由点P(m,3)到直线4x3y10的距离d4，得m7或m3.又点P在不等式2xy30表示的平面区域内，当m3时，点P的坐标为(3,3)，则2(3)330，不符合题意，舍去综上，m3.11记不等式组所表示的平面区域为D，若直线ya(x1)与D有公共点，则a的取值范围是_答案解析满足约束条件的平面区域如图所示：因为ya(x1)过定点(1,0)所以当ya(x1)过点B(0,4)时，得到a4，当ya(x1)过点A(1,1)时，对应a.又因为直线ya(x1)与平面区域D有公共点所以a4.
14、12在ABC中，A(3，1)、B(1,1)、C(1,3)，写出ABC区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组解如图所示，可求得直线AB、BC、CA的方程分别为x2y10，xy20,2xy50.ABC区域在直线AB右上方，x2y10；在直线BC右下方，xy20；在直线AC左下方，2xy50.ABC区域可表示为三、探究与创新13利用平面区域求不等式组的整数解解先画出平面区域，再用代入法逐个验证把x3代入6x7y50，得y，又y2，整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；把x4代入6x7y50，得y，整点有(4,2)，(4,3)把x5代入6x7y50，得y，整点有(5,2)；把x6代入6x7y50，得y2，整点有(6,2)；把x7代入6x7y50，得y，与y2不符整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)
