1、课时素养评价二十九指数函数及其性质的应用(15分钟30分)1.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2019年的湖水量为m,从2019年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系式为()A.y=0.B.y=mC.y=0.mD.y=m【解析】选C.设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.,则x年后的湖水量为y=0.m.2.若a1,则函数y=ax与y=(1-a)x2的图象可能是下列四个选项中的()【解析】选C.因为a1,所以函数y=ax在R上单调递增,可排除选项B与D.y=(1-a)x2是开口向下的二次函数,可排除选项A.【补偿训练】已知函数f(x)=ax
2、在(0,2)内的值域是(a2,1),则函数y=f(x)的图象是()【解析】选A.因为f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),所以f(x)在(0,2)内单调递减.所以0a0,a1)的值域为1,+),则f(-4)与f(1)的大小关系是()A.f(-4)f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)0,a1)的值域为1,+),所以a1.由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,可得函数f(x)在(-,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)f(1).5.若函数y=在区间(-,3)上单调递增,则实数a的取值范围是_.若在区间上不单
3、调,则实数a的取值范围是_.【解析】y=在(-,3)上递增,即二次函数y=-x2+ax-1在(-,3)上递增,因此需要对称轴x=3,解得a6.若函数在上不单调,则-11,解得-2a2.答案:a6-2a26.设函数f(x)=,a是不为零的常数.(1)若f(3)=,求使f(x)4的x值的取值范围.(2)当x-1,2时,f(x)的最大值是16,求a的值.【解析】(1)由f(3)=,即=,所以10-3a=1,解得a=3.由f(x)=4=,即10-3x-2,解得x4.(2)当a0时,函数f(x)=在x-1,2时为增函数,则x=2时,函数取最大值=16,即10-2a=-4,解得a=7,当a0时,函数f(x
4、)=在x-1,2时为减函数,则x=-1时,函数取最大值=16,即10+a=-4,解得a=-14,综上可得:a=7或a=-14.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020新余高一检测)函数y=(0a0时,y=ax(0a1),故可排除A、B项;当x0时,y=-ax与y=ax(0a1,x0)的图象关于x轴对称.2.(2020玉溪高一检测)函数f(x)=的单调递减区间为()A.(0,+)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,1)【解析】选B.由函数f(x)=,结合复合函数单调性知识可知,它的减区间,即为y=x2+2x的增区间.由二次函数的性质可得y=x2+2x的增区间为(-
5、1,+).3.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.因为f(x)是R上的减函数,所以解得0时,f(x)=-x2-2x+1的对称轴为x=-1,抛物线开口向下,此时f(x)在(0,+)上是减函数且f(x)1B.b0C.0a1D.b0【解析】选CD.从题干曲线的变化趋势可以得到函数f(x)为减函数,从而有0a1;从题干曲线位置看,是由函数y=ax(0a0,即b1时,y=x+a与y=ax的图象有两个交点;当0a0且a1)的图象恒过定点(3,2),则m+n=_.【解析】因为对于函数y=ax-m+n-3(a0且a1)的图象恒过定点,令x-m=0,可得
6、x=m,y=n-2,可得函数的图象经过定点(m,n-2).再根据函数的图象恒过定点(3,2),所以m=3,n-2=2,解得m=3,n=4,则m+n=7.答案:78.若函数y=0.5|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是_.【解析】因为函数y=0.5|1-x|+m的图象与x轴有公共点,所以就是求函数m=-0.5|1-x|的值域问题.所以m=-0.5|1-x|的值域为-1,0).故实数m的取值范围是-1,0).答案:-1,0)【补偿训练】已知函数f(x)=2|x-a|(a为常数),若f(x)在区间1,+)上是增函数,则a的取值范围是_.【解析】由函数f(x)=2|x-a|=可得,当x
7、a时,函数f(x)为增函数,而已知函数f(x)在区间1,+)上为增函数,所以a1,即a的取值范围为(-,1.答案:(-,1四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020贵阳高一检测)函数f(x)=2x-是奇函数.(1)求f(x)的解析式;(2)当x(0,+)时f(x)m2-x+4恒成立,求m的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)=2x-是奇函数,所以f(-x)=2-x-=-2xa+=-2x+=-f(x),故a=1,故f(x)=2x-;(2)当x(0,+)时,f(x)m2-x+4恒成立,即m+10),显然h(x)在(0,+)的最小值是h(1)=-4,故m+1-4,解得m-5.10.(20
8、20北京高一检测)已知奇函数f(x)的定义域为-1,1,当x-1,0)时,f(x)=-.(1)求函数f(x)在(0,1上的值域;(2)若x(0,1时,函数y=f2(x)-f(x)+1的最小值为-2,求实数的值.【解析】(1)设x(0,1,则-x-1,0),所以f(-x)=-=-2x.又因为f(x)为奇函数,所以有f(-x)=-f(x),所以当x(0,1时,f(x)=-f(-x)=2x,所以f(x)在(0,1上的值域为(1,2.(2)由(1)知当x(0,1时f(x)(1,2,所以f(x).令t=f(x),则g,无最小值;当1,即11,即2时,g(t)min=g(1)=-2,解得=4,综上所述,=
9、4.1.若ea+be-b+-a,则有()A.a+b0B.a-b0C.a-b0D.a+b0【解析】选D.方法一:取特殊值排除,当a=0,b=1时,1+1,成立,排除A,B.当a=1,b=0,e+11+成立,排除C.方法二:构造函数利用单调性:令f(x)=ex-,则f(x)是增函数,因为ea- -b,所以f(a)f(-b),即a+b0.2.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意xD,存在常数M0,都有|f(x)|M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a+.(1)当a=1时,求函数f(x)在(-,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-,0)上是
10、否为有界函数,请说明理由.(2)若函数f(x)在0,+)上是以3为上界的有界函数,求实数a的最大值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=1+.令t=,由x1,f(x)=h(t)=t2+t+1=+,因为h(t)在(1,+)上单调递增,故f(t)f(1)=3,故不存在常数M0,使|f(x)|M恒成立,故函数f(x)在(-,0)上不是有界函数.(2)若函数f(x)在0,+)上是以3为上界的有界函数,则当x0时,|f(x)|3恒成立.故有-3f(x)3,即-4-a2-,所以a.所以a的最大值为函数y=22x-的最小值,因为函数y=22x-在0,+)上是增函数,所以ymin=220-=2-1=1,故a的最大值为1.
