1、1随机事件的概率知识梳理1.随机事件的概念(1)我们把在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件,简称必然事件.(2)在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于S的不可能事件,简称不可能事件.(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件,简称确定事件.(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称随机事件.(5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A、B、C、表示.2.随机试验对于随机事件,知道它发生的可能性大小是非常重要的,要了解随机事件发生的可能性大小,最直接的方法就是试验.一个试验如果满足下述条件:(1)试验可以在相同的情形下
2、重复进行;(2)试验的结果是明确可知的,但不止一个;(3)每次试验总是出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果.像这样的试验是一个随机试验.3.随机事件的概率(1)在相同条件下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数na为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.知识导学概率是研究随机事件发生的可能性大小的问题,这里既有随机性,又有随机性中表现出的规律性,这是
3、我们学习的难点.突破难点最好的方法是尽量自己动手操作.在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出来的规律性的直接感知.教材利用我们熟悉的掷硬币试验,通过自己亲自动手试验,体会随机发生的随机性和随机性中的规律性.观察随机事件发生的频率,可以发现随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,体现了试验、观察、归纳和总结的思想方法,通过试验模拟等方法,可以澄清日常生活中对概率的错误认识,也加深了我们对概率意义的理解.概率是中学数学的新内容之一,它为我们认识客观世界提供了重要的思维模式和理论依据,提出了行之有效的解决问题的方法.它在数学的学习中起着承前启后的
4、作用:一方面它是集合及算法的拓展延续;另一方面它又是学习统计等知识的理论基础.当然,它也是我们今后学习大学知识的基础之一,而且它还可以帮助我们指导生产实践,做出合理的决策.疑难突破1.“频率”与“概率”之间的关系剖析:随机事件的频率,指此事发生的次数与试验总次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小,这个常数我们叫做随机事件的概率,概率可看作频率在理论上的期望值,它在数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量的重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.2.“必然事件”“不可能事件”“随机事件”及其概率剖析:一个随机事件的发生,
5、既有随机性(对单次试验来说),又存在着统计规律性(对大量重复试验来说),这是偶然性和必然性的统一.就概率的统计定义而言,必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0;而任意事件A的概率0P(A)1,从这个意义上讲必然事件和不可能事件可看作随机事件的两个极端情况,由此看来,它们虽然是两类不同的事件,但在一定的情况下又可以统一起来,这正说明了二者既对立又统一的辩证关系.3.随机试验的特点剖析:随机试验的特点是我们区别它与其他试验的重要依据.随机试验具有以下特点:首先,试验在同样条件下可以重复进行,试验结果事先无法确定.其次,试验的结果不止一个,每次试验只能出现其中的一个结果,并且事先不能判断必然要出现
6、哪一个结果.再次,事先能够明确指出这种试验可能出现的一切结果.典题精讲例112件同类产品中,有10件正品,2件次品,从中任意抽出3件,下列事件中,随机事件有_;必然事件有_;不可能事件有_(填上相应的序号).(1)3件都是正品(2)至少有1件是次品(3)3件都是次品(4)至少有1件是正品思路解析:可以对照三种事件的含义,联系课本中的有关例子,考查每个事件的发生是不是确定的,如果是确定不发生的就是不可能事件,如果是确定要发生的就是必然事件,如果可能发生也可能不发生的就是随机事件.答案:(1),(2)(4)(3)黑色陷阱:常见错误是不注意所给条件中正品和次品的数量,误把(3)(4)也当成随机事件,
7、或者把三个概念混淆.变式训练(1)在10件同类产品中,有8件正品,2件次品,从中任意抽出3件产品的必然事件是()A.3件都是正品B.至少有1件次品C.3件都是次品D.至少有1件正品思路解析:因为有2件次品,共抽3件,所以至少抽到1件正品,即至少有1件正品是必然事件.应选D.答案:D(2)下列随机事件中,一次试验各指什么?它们各有几次试验?一天中,从北京到上海有6个航班起飞,全部准时到达;抛掷一枚骰子10次,有2次6点向上.思路分析:要解决本题首先要明白什么是一次试验,一次试验就是条件实现一次.中的航班起飞一次就是一次试验,至于是否准时到达那是试验结果的问题;抛掷骰子也是一样,把骰子抛出再落地就
8、是实现了一次试验的过程.解:一次航班起飞就是一次试验,共有6次试验;抛掷一枚骰子就是一次试验,所以共有10次试验.例2下列叙述中事件的概率是0.5的是 ()A.抛掷一枚骰子10次,其中数字6向上的出现了5次,抛掷一枚骰子数字6向上的概率B.某地在8天内下雨4天,某地每天下雨的概率C.进行10 000次抛掷硬币试验,出现5 001次正面向上,那么抛掷一枚硬币正面向上的概率D.某人买了2张体育彩票,其中一张中500万大奖,那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率思路解析:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,频率会稳定于概率;概率从数量上客观地
9、反映了随机事件发生的可能性大小.答案:C绿色通道:在实际问题中,某些随机事件的概率往往难以确切得到,因此我们常常通过做大量的重复试验,用随机事件发生的频率来估计它的概率.这里只有选项C进行了大量重复试验,其余三个选项都是事件的频率.变式训练某乒乓球产品检查结果如下表所示:抽取球数n501002005001 0002 000优等品数m45921944709541 902优等品频率(1)计算表中乒乓球优等品的频率;(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)解:(1)依据公式可以计算出表中乒乓球优等品的概率依次是0.900,0.920,0.970,0.
10、940,0.954,0.951.(2)由(1)知,抽取的球数n不同,计算得到的频率值虽然不同,但却都在常数0.950的附近摆动,所以抽取一个乒乓球检测时,质量检查为优等品的概率为0.950.例3(2006福建高考卷,18）每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).(1)连续抛掷2次,求向上的数不同的概率;(2)连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率.解:(1)设A表示事件“抛掷2次,向上的数不同”,则P(A)=抛掷2次,向上的数不同的概率为.(2)设B表示事件“抛掷2次,向上的数之和为6”.Q向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,3)、(5,1
11、)共5种,P(B)=即抛掷2次,向上的数之和为6的概率为.绿色通道:通过本节知识我们应该理解概率是实际生活不可缺少的一部分,我们要从最基本的概念出发打好基础,还要熟记几个概念的区别与联系,掌握解决问题的方法,还要能灵活应用.我们也可以在实际中多总结,从实际例子来理解抽象的概率理论,还可以借助计算机来辅助各种试验,研究某些事件发生的规律,从而加深对理论的理解.变式训练一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是多少?思路分析:从9张票中任取2张,要弄清楚取法种数为98=36,“号数至少有一个为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”,用对立事件的性质求解将变
12、得非常简单.解:从9张票中任取2张,取第一张时有9种取法,取第二张时有8种取法,但(x,y)和(y,x)是同一基本事件,故总取法种数为98=36.记“号数至少有一个为奇数”为事件B,“号数全是偶数“为事件C,则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张,有43=6种取法.P(C)=.由对立事件的性质,得P(B)=1-P(C)=1-.问题探究问题1现实中有很多事情都有自己发生的频率,比如一个人打篮球投球进篮的频率,并且这个频率有一定的规律,它是因这个人的技术而有所不同的,但是对于个人总是稳定在某个数值附近的.试结合一个例子具体说明频率的稳定性.导思:某些随机事件发生的次数往往具有一定的规律
13、性,也就是其发生的频率具有相对的稳定性.可借助于发生在我们周围的现象或试验进行探究.比如投掷硬币、图钉、骰子等.探究:以“投掷硬币”试验为例.先做n次试验(相当于投篮),可得到一个出现“正面朝上”的频率(相当于进球个数与投球次数的比值);再做n次试验(相当于再次投篮),可得到一个出现“正面朝上”的频率(相当于再次计算进球个数和投球次数的比值);首先根据数据可以看出, ,是变化的量,但是当n很大时,出现“正面朝上”的频率具有“稳定性”一一在上述“常数”附近摆动,并且随着试验次数的增加,摆动的幅度具有越来越小的趋势.其次,通过增加试验的次数可以发现,有时,中也可能出现频率偏离“常数”较大的情形,但
14、是随着n的增大,频率偏离“常数”大的可能性会减小.由此我们不难看出,投掷硬币试验中,虽然频率在变化,但是在大量试验的条件下,仍然具有稳定性,就像投篮球一样,好的投球手不一定百投百中,但是通过多次比较就会发现技术的差距.问题2某中学高一年级有12个班,要从中选出2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因,1班必须参加,另外再从2至12班中选出1个班.有人提议用如下方法:掷两个骰子,得到的点数的和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?两个骰子的点数和1点2点3点4点5点6点1点2345672点3456783点4567894点56789105点678910116点789101112导思:考查这种方法选
15、出代表班是否公平,关键是看从2到12班每个班被选出的概率(即可能性)是否相同,也就是看从2到12这11个数出现的机会是否均等.探究:任意抛掷一枚骰子,有6种可能的结果,因此当第一枚骰子出现一种结果时,第二枚骰子仍然随机地出现6种可能的结果,故投掷两枚骰子共出现66=36种可能结果,由于是随机的,故这36种结果是等可能出现的.在这36种结果中,从上表可以看出,点数和为2的只有一种可能,即出现“点数为2”的频率为.也就是说,选2班的可能性只有.点数和为3的有两种可能,即出现“点数和为3”的频率为,也就是说,选3班的可能性有.逐一分析可知,每个班被选中的可能性都不同.7班被选中的可能性最大,是=,其次是6班和8班,约为.可能性最小的是2班和12班,可能性只有.经过以上分析可以发现,这种方法是不公平的.
