1、 2007北京市朝阳区高三第二次统一考试数学试题理科2007.5（考试时间120分钟，满分150分）第卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数为实数，则m的值为（ ）ABCD2不等式的解集是（ ）ABCD3与函数的图象关于y轴对称的函数图象是（ ）4已知直线a和平面、，a在、内的射影分别为直线b和c，则b、c的位置关系是（ ）A相交或平行B相交或异面C平行或异面D相交，平行或异面5把函数的图象向右平移个单位，所得的图象对应的函数（ ）A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D是非奇非偶函数6某电视台连续
2、播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）A120种B48种C36种D18种7对函数(a0，b、cR)作x = h(t)的代换，使得代换前后函数的值域总不改变的代换是（ ）ABCD8已知圆F的方程是，抛物线的顶点在原点，焦点在圆心F，过F引倾斜角为的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点（即在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，则的值为（ ）ABCD第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共3
3、0分.将答案填在题中横线上.9已知向量= .1,3,510若的最大值为 .11高三某班50名学生参加某次数学模拟考试，所得的成绩（成绩均为整数）整理后画出的频率分布直方图如右图，则该班得120分以上的同学共有 人.12已知曲线C的参数方程是： （为参数），则曲线C的普通方程是 ；曲线C被直线所截得的弦长是 .13设常数展开式中x3的系数为，则a = ， = .14在ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，若拓展到空间：在三棱锥SABC中，D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点，若， = .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1,3,515（本小题满
4、分13分） ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c. （I）若的值； （II）若的最值范围.16（本小题满分13分） 一个袋子里装有大小相同，且标有数字15的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，标有数字5的小球有5个. （I）从中任意取出3个小球，求取出的小球都有偶数数字的概率； （II）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率； （III）设任意取出的1个小球上所标数字为，求E.17（本小题满分13分） 已知：四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD，且PD=1. （I）求证：BC平面PAD； （II）若E、F分别为PB
5、、AD的中点，求证：EF平面PBC； （III）求二面角BPAC的余弦值.18（本小题满分13分） 已知函数 （I）若函数的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a，b的关系式； （II）若函数时取得极值，且其图象与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围.19（本小题满分14分） 已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（1，0）、（1，0），动点A、M、N满足 （I）求点M的轨迹W的方程； （II）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，求实数m的范围.20（本小题满分14分）1,3,5 在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从
6、上到下都成等差数列.aij表示位于第i行第j列的数，其中a11a12a13a14a15a1ja21a22a23a24a25a2ja31a32a33a34a35a3ja41a42a43a44a45a4jai1ai2ai3ai4ai5aij （I）求q的值； （II）求aij的计算公式； （III）设数列bn满足的前n项和为Sn，试比较 的大小，并说明理由.参考答案一、选择题1A 2B 3A 4D 5B 6C 7D 8D1,3,5二、填空题93 105 1115 1213 14三、解答题15解：（I）， 5分 （II） ， 9分 即的取值范围是 13分16解：袋子里共装有1+2+3+4+5=15个
7、小球. （I）标有偶数字的小球共有2+4=6个， 取出的3个小球都标有偶数数字的概率为4分 （II）2个小球上所标数字之和为6有在三种情况，即（1，5），（2，4），（3，3）.所求概率8分 （III）取出的小球上所标数字的分布列为 1 2 3 4 5 13分17方法1： （I）解：因为ABCD是正方形，所以BC/AD.因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC/平面PAD.4分 （II）证明：因为PD底面ABCD， 且ABCD是正方形，所以PCBC.设BC的中点为G，连结EG，FG，则EG/PC，FG/DC.所以BCEG，BCFG. 因为EGFG=G，所以BC面EFG.因为EF平面EFG，
8、所以BCEF. 6分又设PC的中点为H，且E为PB中点，连结DH，所以EH BC.又BC AD，且EH AD.所以四边形EHDF是平行四边形所以EFDH因为等腰直角PDC中，H为底边PC的中点，所以DHPC，即EFPC. 因为PCBC = C， 由知EF平面PBC 8分 （的证明也可以通过连结PF、FB，由PFB为等腰三角形证明）（III）解法1：设PA的中点为M，连结MC， 依条件可知PAC中PC=AC，所以MCPA 又PD平面ABCD，BAD=90，所以ABPA，因为M、E均为中点，所以MEAB，所以MEPA， 由知EMC为所求二面角的平面角 11分连结EC，在MEC中，容易求出ME=所以
9、，即所求二面角的余弦值是13分解法2：过点C作CS平面ABCD，连结PS，SB，因为PD，AD，DC两两垂直，且四边形ABCD为正方形，故容易证明几何体PADSBC为三棱柱，（即以PAD为底面，以DC为高构造三棱柱PADSBC）设BS的中点为Q，PA中点为N，连结NQ，NC，因为ABSP为矩形，N、Q分别为中点，所以NQPA，又APC中，AC = PC，N为中点，所以NCPA所以CNQ为所求二面角的平面角 11分因为BS=CS，所以CQBS.又面BCS面ABSP，所以CQ面ABSP，因为NQ面ABSP，所以CQNQ，在RtNCQ中，容易求出NQ=1，NC=，所以，即所求二面角的余弦值是13分方
10、法2：如图，以点D为原点O，有向直线OA、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. （I）证明：因为， 平面PAD的一个法向量为 rPAD=(0，1，0)， 由. 于是BC/平面PAD.4分 （II）证明：， ， 所以EF平面PBC.8分 （III）解：容易求出平面PAB的一个法向量为， 及平面PAC的一个法向量为rPAC =(1,1,1). 因为，所以，即所求二面角的余弦值是13分18解：（I）， 则曲线在点P处的切线的斜率， 由题意，知有解， 5分 （II）由已知可得的两根， 7分 ，处取得极大值，在x = 3处取得极小值 函数的图象与x轴有且只有3个交点， 9分 又13分19解：
11、（I），MN垂直平分AF. 又点M在线段AE上，点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a=m4分半焦距c=1. b2=a2c2=m21. 点M的轨迹W的方程.6分 （II）设Q（x1，y1），8分由点P、Q均在椭圆W上，10分消去y0并整理，得，由14分20解：（I）设第4列公差为d，则故.由于3分 （II）在第4列中，. 由于第i行成等比数列，且公比， 所以，6分 （III）由（II）可得 设，所以又，所以在因此函数单调递增所以是递增数列 10分同理设，所以是递减数列 12分容易计算，显然，所以当 14分注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分， （2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.
