1、2015年河北省石家庄市高考数学复习试卷（理科）（1）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数=（）A1+iBi1C1iD12i2已知集合A=x|x22x30，B=0，1，2，3，4，则AB=（）A1，2，3B0，1，2，3C1，0，1，2，3D0，1，23已知向量=（2，6），|=，=10，则向量与的夹角为（）A150B30C120D604已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）ABCD5设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A1B1CD06设
2、a，b表示直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若a且ab，则bB若且，则C若a且a，则D若且，则7已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（aR，bR），f（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（2014）+f（2015）f（2015）=（）A8B2014C2015D08为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A向右平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向左平行移动个单位长度9阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A7B9C10D1110二项式（2x+）7的展开式中的系数
3、是（）A42B168C84D2111某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A4BCD2012设函数f（x）=ex+2xa（aR，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0）=y0，则a的取值范围是（）A1+e1，1+eB1，1+eCe，1+eD1，e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13曲线y=e2x+3（e为自然对数的底数）在x=0处的切线方程为14实数x，y满足条件，则xy的最小值为15已知圆C：x2+y2=1，过第一象限内一点P（a，b）作圆C的两条切线，切点分别为A
4、、B，若APB=60，则a+b的最大值为16观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c的值18已知an为公差不为0的等差数列，a1=3，且a1、a4、a13成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若bn=2nan，求数列bn的前n项和19某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm），身高分组区间及人数见表： 分组155，160）160，165）165，170）1
5、70，175）175，180 人数a814b2（）求a、b的值并根据题目补全频率分布直方图；（）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y为身高不低于170cm的人数，求Y的分布列及期望20如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点（）求证：EF平面PAB；（）求直线EF与平面ABE所成角的大小21定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2（）求点P的轨迹曲线C的方程；（）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求的最大值22已知函数f（x）=lnx+x2ax，aR（）若a=3，求f（x
6、）的单调区间；（）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由2015年河北省石家庄市高考数学复习试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数=（）A1+iBi1C1iD12i考点： 复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则即可得出解答： 解：原式=1i故选：C点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题2已知集合A=x|x22x
7、30，B=0，1，2，3，4，则AB=（）A1，2，3B0，1，2，3C1，0，1，2，3D0，1，2考点： 交集及其运算菁优网版权所有专题： 集合分析： 利用交集的性质求解解答： 解：集合A=x|x22x30=x|1x3，B=0，1，2，3，4，AB=0，1，2，3故选：B点评： 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用3已知向量=（2，6），|=，=10，则向量与的夹角为（）A150B30C120D60考点： 平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题： 平面向量及应用分析： 设向量与的夹角为，则由cos= 的值，求得的值解答： 解：设向量与的夹角为，cos=，=60，故
8、选：D点评： 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，根据三角函数的值求角，属于基础题4已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）ABCD考点： 双曲线的简单性质；抛物线的简单性质菁优网版权所有专题： 计算题分析： 先求出抛物线y2=12x的焦点坐标，由此得到双曲线 的右焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率解答： 解：抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，焦点是（3，0），双曲线的c=3，a2=94=5，e=故选：B点评： 本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力解题时要抛物线的性质进行求解5设f（x）是定义在R上的
9、周期为3的函数，当x2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A1B1CD0考点： 函数的值菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 由f（x）是定义在R上的周期为3的函数，得f（）=f（），再由分段函数的性质能求出结果解答： 解：f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x2，1）时，f（x）=，f（）=f（）=4（）22=1故选：A点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数的周期性和分段函数的性质的合理运用6设a，b表示直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若a且ab，则bB若且，则C若a且a，则D若且，则考点： 空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有专题： 空
10、间位置关系与距离分析： 根据线面垂直与线线垂直的几何特征，可判断A；根据面面垂直及面面平行的几何特征，可判断B；根据线面平行的几何特征，及面面位置关系的定义，可判断C；根据面面平行的几何特征，可判断D解答： 解：若a且ab，则b或b，故A错误；若且，则与可能平行也可能相交（此时两平面的交线与垂直），故B错误；若a且a，则与可能平行也可能相交（此时两平面的交线与a平行），故C错误；若且，则，故D正确；故选：D点评： 本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系，面面关系，线线关系的定义，几何特征及性质和判定方法是解答的关键7已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（aR
11、，bR），f（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（2014）+f（2015）f（2015）=（）A8B2014C2015D0考点： 导数的运算菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用分析： 观察已知解析式f（x）=asin3x+bx3+4，构造g（x）=f（x）4=asin3x+bx3是奇函数，而它的导数是偶函数，利用奇偶函数的性质解答解答： 解：由已知，设函数g（x）=f（x）4=asin3x+bx3是奇函数，由g（x）=g（x），g（x）为奇函数，f（x）=3acos3x+3bx2为偶函数，f（x）=f（x），f（2014）+f（2014）+f（2015）f（20
12、15）=g（2014）+4+g（2014）+4+f（2015）f（2015）=g（2014）g（2014）+f（2015）f（2015）+8=8故选A点评： 本题考查了导数的运算以及函数奇偶性的运用，灵活构造函数g（x）是解答本题的关键8为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A向右平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向左平行移动个单位长度考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件根据诱导公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答： 解：函数y
13、=3cos2x=3sin（2x+），把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，可得函数y=3sin2（x+）+=3sin（2x+） 的图象，故选：D点评： 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题9阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A7B9C10D11考点： 程序框图菁优网版权所有专题： 算法和程序框图分析： 算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+lg的值，S=
14、lg+lg+lg=lg1，而S=lg+lg+lg=lg1，跳出循环的i值为9，输出i=9故选：B点评： 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键10二项式（2x+）7的展开式中的系数是（）A42B168C84D21考点： 二项式定理菁优网版权所有专题： 二项式定理分析： 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的的系数解答： 解：二项式（2x+）7的展开式的通项公式为 Tr+1=27rx72r，令72r=3，求得r=5，故展开中的系数是 22=84，故选：C点评： 题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的
15、通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题11某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A4BCD20考点： 球内接多面体；球的体积和表面积菁优网版权所有专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积解答： 解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r=，球的表面积4r2=4=故选：B
16、点评： 本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键12设函数f（x）=ex+2xa（aR，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0）=y0，则a的取值范围是（）A1+e1，1+eB1，1+eCe，1+eD1，e考点： 利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题： 导数的综合应用分析： 曲线y=sinx上存在点（x0，y0），可得y0=sinx01，1函数f（x）=ex+2xa在1，1上单调递增利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）=y0令函数f（x）=ex+2xa=x，化为a=ex+x令g（x）=ex+x
17、 （x1，1）利用导数研究其单调性即可得出解答： 解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0），y0=sinx01，1函数f（x）=ex+2xa在1，1上单调递增下面证明f（y0）=y0假设f（y0）=cy0，则f（f（y0）=f（c）f（y0）=cy0，不满足f（f（y0）=y0同理假设f（y0）=cy0，则不满足f（f（y0）=y0综上可得：f（y0）=y0令函数f（x）=ex+2xa=x，化为a=ex+x令g（x）=ex+x（x1，1）g（x）=ex+10，函数g（x）在x1，1单调递增e11g（x）e+1a的取值范围是1+e1，e+1故选：A点评： 本题考查了函数单调性的应用、利用导数研
18、究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13曲线y=e2x+3（e为自然对数的底数）在x=0处的切线方程为y=2x+4考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 求出导数，求出切线的斜率和切点，由斜截式方程，即可得到切线方程解答： 解：y=e2x+3的导数y=2e2x，则在x=0处的切线斜率为2e0=2，切点为（0，4），则在x=0处的切线方程为：y=2x+4故答案为：y=2x+4点评： 本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题
19、14实数x，y满足条件，则xy的最小值为1考点： 简单线性规划菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，设z=xy，利用z的几何意义即可得到结论解答： 解：设z=xy，即y=xz作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当直线y=xz过点A（0，1）时，直线y=xz的截距最大，此时z最小，此时z=01=1，故答案为：1点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键15已知圆C：x2+y2=1，过第一象限内一点P（a，b）作圆C的两条切线，切点分别为A、B，若APB=60，则a+b的最大值为考点： 直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题： 计算题
20、；直线与圆分析： 先求出|PO|，根据APB=60可得AP0=30，判断出|PO|=2|OB|，把|PO|代入整理，再利用基本不等式可得结论解答： 解：P（a，b），|PO|=（a0，b0）APB=60AP0=30|PO|=2|OB|=2=2即a2+b2=4，（a+b）22（a2+b2）=8，a+b的最大值为故答案为：点评： 本题主要考查了求轨迹方程的问题，考查基本不等式的运用，属基础题16观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是3602考点： 数列的应用菁优网版权所有专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数为3+3+5+7+
21、2（611）+1，利用等差数列的求和公式，即可得出结论解答： 解：观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数为3+3+5+7+2（611）1=3602故答案为：3602点评： 本题考查数列的应用，考查等差数列的求和公式，比较基础三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c的值考点： 余弦定理的应用菁优网版权所有专题： 计算题；解三角形分析： 利用正弦定理，求出cosB=，再用余弦定理求出c的值解答： 解：A=2B，a=3，b=2，cosB=，=，2c29c
22、+10=0，c=2或2.5，因为c=2，不合题意舍去，所以（10分）点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用在解三角形问题中，常需要用正弦定理和余弦定理完成边角互化，来解决问题18已知an为公差不为0的等差数列，a1=3，且a1、a4、a13成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若bn=2nan，求数列bn的前n项和考点： 等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： （）由a1、a4、a13成等比数列可得关于d的方程，解出d，利用等差数列的通项公式可得结果；（）若bn=2nan，可得数列bn的通项，利用错位相减法，求前n项和解答： 解：（）设an的公
23、差为d，由题意得（3+3d）2=3（3+12d），得d=2或d=0（舍），（2分）所以an的通项公式为an=3+（n1）2=2n+1（4分）（）（6分）得（8分）（10分）（12分）点评： 该题考查等差数列的通项公式、求和公式，考查错位相减法，属于中档题19某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm），身高分组区间及人数见表： 分组155，160）160，165）165，170）170，175）175，180 人数a814b2（）求a、b的值并根据题目补全频率分布直方图；（）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y为身高不低于170cm的人数，求Y
24、的分布列及期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图菁优网版权所有专题： 概率与统计分析： （1）由频率分布直方图知身高分组区间155，160）的频率为0.15，由此能求出a，b，补全频率分布直方图（2）由题意知Y=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E（Y）解答： 解：（1）由频率分布直方图知身高分组区间155，160）的频率为：0.035=0.15，a=0.1540=6，b=4068142=10（2分）频率分布表为： 分组155，160）160，165）165，170）170，175）175，180 人数6814102 频率0.150.20.350.250.0
25、5频率分布图为：（5分）（2）由题意知Y=0，1，2，P（Y=0）=P（Y=1）=P（Y=2）=Y的分布列为：Y 0 1 2P （11分）E（Y）=（12分）点评： 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题20如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点（）求证：EF平面PAB；（）求直线EF与平面ABE所成角的大小考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定菁优网版权所有专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析： （）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF
26、，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EFMN，所以得到EF平面PAB；（）分别以向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz可以确定点P，A，B，C，D，E，F的坐标，从而确定向量的坐标，设平面ABE的法向量为，根据即可求得一个法向量，根据法向量和向量的夹角和EF与平面ABE所成的角的关系即可求出所求的角解答： 解：（）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NFAD，且NF=，MEAD，且ME=，所以NFME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；EFMN，又EF平面PAB，MN平面PAB，EF平面PAB；（）由已知：底面ABCD为正方形
27、，侧棱PA底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直；如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，所以：P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），；，；设平面ABE法向量，则；令b=1，则c=1，a=0；为平面ABE的一个法向量；设直线EF与平面ABE所成角为，于是：；所以直线EF与平面ABE所成角为点评： 考查线面平行的判定定理，通过建立空间直角坐标系，用向量的方法求一直线和平面所成的角，以及两非零向量垂直的充要条件21定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2（）求点
28、P的轨迹曲线C的方程；（）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求的最大值考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题菁优网版权所有专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，yy0）=2（x0x，y），由此能求出点P的轨迹方程（）当过点（1，0）的直线为y=0时，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty3=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出的最大值为解答： 解：（）设A（x0，0），B（0，y0）
29、，P（x，y），由得，（x，yy0）=2（x0x，y），即，（2分）又因为，所以（）2+（3y）2=9，化简得：，这就是点P的轨迹方程（4分）（）当过点（1，0）的直线为y=0时，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty3=0，由韦达定理得：，（6分）又由=4t2+12（t2+4）=16t2+480恒成立，（10分）得tR，对于上式，当t=0时，综上所述的最大值为（12分）点评： 本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用22已知函数f（x）
30、=lnx+x2ax，aR（）若a=3，求f（x）的单调区间；（）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题： 导数的综合应用分析： （）f（x）的定义域为（0，+），当a=3时，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间（）令u（x）=2x2ax+1，则=a28，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出是否存在a，使k=解答： 解：（）f（x）的定义域为（0，+），当a=3时，当或x1，时，f（x）0，（2分）当时，f（x）
31、0，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为（4分）（）令u（x）=2x2ax+1，则=a28，1当0，即时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，此时f（x）无极值；（5分）2当=0，即时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，此时f（x）无极值（6分）3当0，即或时，方程u（x）=0有两个实数根若，两个根x1x20，此时，则当x（0，+）时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，此时f（x）无极值（7分）若，u（x）=0的两个根x10，x20，不妨设x1x2，则当x（0，x1）和（x2，+）时，f（x）0，f（x）在区间（0，x1）和（x2，+）单调递增，当x（x1，x2
32、）时，f（x）0，f（x）在区间（x1，x2）上单调递减，则f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且，=即（*）（9分）即令，则上式等价于：令g（t）=（t+1）lntt+1则令，m（t）在区间（0，1）上单调递减，且m（t）m（1）=10，即g（t）0在区间（0，1）恒成立，g（t）在区间（0，1）上单调递增，且g（t）g（1）=0，对t（0，1），函数g（t）没有零点，即方程在t（0，1）上没有实根，（11分）即（*）式无解，不存在实数a，使得（12分）点评： 本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题重点考查学生的代数推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用
