1、广东省汕头市潮阳区20222022学年高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A=x|y=ln(x2+2x+3，集合B=x|3x13，则BA=()A. 3,+)B. (3,+)C. (,1)3，+)D. (,1)(3,+)【答案】A【解析】解：A=x|1x1；BA=3,+)故选：A可解出集合A，B，然后进行补集的运算即可考查描述法、区间表示集合的概念，对数函数的定义域，以及指数函数的单调性，补集的运算2. 在平面直角坐标系中，已知角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且终边上有一点P坐标为(2,3)，则2sin+cos=()A. 1313B
2、. 1313C. 41313D. 1【答案】C【解析】解：已知角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且终边上有一点P坐标为(2,3)，则sin=34+9=31313，cos=24+9=21313，2sin+cos=6131321313=41313，故选：C由题意利用任意角的三角函数的定义，求得2sin+cos本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题3. 设a=log132，b=log23，c=(12)0.3，则()A. abcB. acbC. bcaD. bac【答案】B【解析】解：由对数函数的图象和性质可得a=log132log22=1由指数函数的图象和性质可得0c=(12)0.3
3、(12)0=1acb故选：B根据对数函数的图象和性质可得a1，根据指数函数的图象和性质可得0c，故选：C根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质7. 已知D，E分别是ABC的边BC，AC上的中点，AD、BE交于点F，则AF=()A. 13AB+13ACB. 23AB+13ACC. 13AB+23ACD. 23AB+23AC【答案】A【解析】解：D，E为中点，F为重心，AF=23AD，AF=23AD=2312(AB+AC)=13AB+13AC，故选：A利用重心定理得到AF=23AD，再结合四边形法则转化AD为12(
4、AB+AC)即可得解此题考查了向量加法法则，重心定理等，难度不大8. 函数y=sin2x1cosx的部分图象大致为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：函数y=sin2x1cosx，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=3时，f(3)=32112=3，排除A，x=时，f()=0，排除D故选：C判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法9. 设f(x)=x2bx+c满足f(0)=3，且对任意xR，有f(x)=f(2x)，则()A. f(bx)f(cx)B. f(bx)f(cx)C. f(bx
5、)f(cx)D. f(bx)与f(cx)不可比较【答案】A【解析】解：f(0)=3，c=3，f(x)=f(2x)，b2=1，即b=2当x0时，03x2x1，f(x)在(0,1)上单调递减，f(2x)0时，3x2x1，f(x)在(1,+)上单调递增，f(2x)0)可得y=sin2x的图象，则正实数m的最小值为()A. 76B. 56C. 712D. 512【答案】D【解析】解：将函数y=cos(2x+3)的图象至少向右平移512个单位长度(m0)可得y=sin2x=cos(2x2)的图象，则正实数m的最小值为512，故选：D利用函数y=Asin(x+)的图象变换规律，诱导公式，得出结论本题主要考
6、查函数y=Asin(x+)的图象变换规律，诱导公式，属于基础题12. 在R上定义运算：xy=x(1y)，若xR使得(xa)(x+a)1成立，则实数a的取值范围是()A. (,12)(32,+)B. (12,32)C. (32,12)D. (,32)(12,+)【答案】A【解析】解：由题知(xa)(x+a)=(xa)1(x+a)=x2+x+a2a=(x12)2+a2a+14xR，使得不等式(xa)(x+a)1成立，转化为函数y=(x12)2+a2a+14的最大值大于1，即f(12)=a2a+141成立，解之可得a32故选：A先利用定义把(xa)(x+a)整理成(x12)2+a2a+14，结合题中
7、不等式解集不是空集，可得函数y=(x12)2+a2a+14的最大值大于1，由二次函数的性质得：f(12)=a2a+141成立，解之可得a32本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用.关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知tan=2，则sincossina+cos的值为_【答案】13【解析】解：tan=2，sincossina+cos=tan1tan+1=212+1=13，故答案为：13将所求关系式“切”化“弦”，将tan=2代入计算即可本题考查同角三角函数基本关系的运用，“切”化“弦”是关键，属于基础题14. 已知f(x)=l
8、og2(x+1),x12x12,x1，且f(a)=3，则a=_【答案】7【解析】解：f(x)=log2(x+1),x12x12,x1，且f(a)=3，当a1时，f(a)=2a12=3，无解；当a1时，f(a)=log2(x+1)=3，解得a=7综上，a=7故答案为：7当a1时，f(a)=2a12=3；当a1时，f(a)=log2(x+1)=3.由此能求出a本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15. 设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2=16，|AB+AC|=|ABAC|，则|AM|=_【答案】2【解析】解：|AB+AC|=|ABAC|以AB、AC为
9、邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形M是线段BC的中点，AM是RtABC斜边BC上的中线，可得|AM|=12|BC|BC2=16，得|BC|2=16，即|BC|=4|AM|=12|BC|=2故答案为：2根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是RtABC斜边BC上的中线，可得|AM|=12|BC|，结合题中数据即可算出|AM|的值本题给出向量AB、AC满足的等式和向量BC的模，求另一个向量的模.着重考查了向量的加法、减法法则和模的计算公式等知识，属于基础题16. 已知函数f(x)=|log3
10、x|,0x3cos(3x),3x9，若方程f(x)=a有四个不同的实数根，则实数的取值范围是_【答案】(0,1)【解析】解：函数f(x)=|log3x|,0x3cos(3x),3x9，函数的图象如图：方程f(x)=a有四个不同的实数根，转化为y=f(x)，y=a由4个交点可得a(0,1)故答案为：(0,1)利用分段函数画出函数的图象，然后求解a的范围即可本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知点A在平面直角坐标系中的坐标为(1,1)，平面向量a=(1,2)，b=(4,m)，c=(12,n)且ab，a/c，AB=(m,n)(1)求实
11、数m，n及点B的坐标；(2)求向量AB与向量a夹角的余弦值【答案】解：(1)abab=42m=0，m=2，a/cn=212=1，所以AB=(m,n)=(2,1)，因为A(1,1)，所以OB=OA+AB=(1,1)+(2,1)=(3,0)，所以B(3,0)；(2)由(1)可知cos=ABa|AB|a|=(2,1)(1,2)55=45【解析】(1)根据ab得到m=2，根据a/c得到n=1，从而得AB=(2,1)，再根据A(1,1)可得B(3,0)；(2)根据向量的夹角公式可求得本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题18. (1)求值：12lg2+log1005+log27log732；(
12、2)已知为第四象限角，且sin(2022)cos()tan()tan(+)cos(2+)=13，求sin的值【答案】解：(1)12lg2+log1005+log27log732=12(lg2+lg5)+lg7lg2lg32lg7=12+5lg2lg2=112(2)sin(2022)cos()tan()tan(+)cos(2+)=13，可得：sin(cos)(tan)tan(sin)=cos=13，cos=13，为第四象限角，sin=1cos2=223【解析】(1)通过对数的运算法则化简求解即可(2)利用诱导公式化简求解即可本题考查对数运算法则的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能
13、力19. 已知定义在R上的函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|2)的最大值和最小值分别为m、n，且函数f(x)同时满足下面三个条件：相邻两条对称轴相距3；|nm|=4；f(2)=2(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间及其对称轴；(3)求函数f(x)在区间0,3)上的值域【答案】解：(1)相邻两条对称轴相距3，周期T=6，6=2|，又0，=13，又|nm|=4=2A，A=2，f(x)=2sin(23+)，由f(2)=2sin(23+)=2，可知sin(23+)=1，即23+=2+2k，kZ，解得=6+2k，kZ，又|2，=6，f(x)=2sin(13x6).(
14、2)由2+2k13x632+2k，kZ，2+6kx5+6k，函数的单调性减区间为2+6k,5+6k，kZ由sin(13x6)=1，得13x6=2+k，kZ，解得x=2+3k，kZ，函数的对称轴为x=2+3k，kZ(3)x0,3)，(13x6)6,56)，sin(13x6)12,1.函数f(x)在区间0,3)上的值域为1,2【解析】(1)相邻两条对称轴相距3，从而周期T=6，求出=13，由|nm|=4=2A，得A=2，从而f(x)=2sin(23+)，由f(2)=2sin(23+)=2，求出=6，由此能求出f(x)(2)由2+2k13x632+2k，kZ，能求出函数的单调性减区间；由sin(13
15、x6)=1，能求出函数的对称轴(3)由x0,3)，得(13x6)6,56)，由此能求出函数f(x)在区间0,3)上的值域本题考查三角函数的解析式、减区间、对称轴、值域的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20. 2022年汕头市开展了一场创文行动.一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2022年“全国文明城市”称号.随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法
16、出行的三轮车减少，市民出行偶有不便.有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表：每辆车月租金定价(元)300030503100315032003250能出租的车辆数(辆1009998979695若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.由上表，他决定每辆车月租金定价满足：为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；不低于3000元；定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车.设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆(1)按调查数据，请将y表
17、示为关于x的函数(2)当x何值时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？【答案】解：(1)由表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，则y=100150(x3000)=150x+160，令y10，得150x+16010，得150x150，得x7500，所以所求函数y=150x+160，(3000x7500，且x=50k，kZ)，(2)由(1)知，租赁公司的月收益为f(x)，则f(x)=(160150x)(x150)50(100160+150x)=150x2+162x21000=150(x4050)2+307050，(3000x7500)，当x=
18、4050时，f(x)取得最大值为307050，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元【解析】(1)根据表示得到当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，根据变化关系，设出函数关系即可(2)利用配方法结合一元二次函数最值的性质进行求解本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数对称轴与最值的关系是解决本题的关键21. 已知函数f(x)=2x12x+1(1)若f(a)=322，求a的值(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论(3)求不等式f(12x)+f(24x+1)0的解集【答案】解：(1)若f
19、(a)=322，则2a12a+1=2a+122a+1=122a+1=322，得22a+1=2+22，即2a+1=2222=121=2+1，则2a=2，a=12(2)函数的定义域为R，f(x)=2x12x+1=12x1+2x=2x12x+1=f(x)，即函数f(x)是奇函数(3)由不等式f(12x)+f(24x+1)0得f(12x)f(24x+1)=f(24x+1)，f(x)=2x12x+1=2x+122x+1=122x+1，f(x)在R上是增函数，不等式等价为12x24x+1，即2x222x+2=22x1，即x2x1，得x1即不等式的解集为(1,+)【解析】(1)根据条件建立方程进行求解即可(
20、2)根据函数奇偶性的定义进行证明(3)利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数单调性和奇偶性的定义，进行转化是解决本题的关键22. 已知函数f(x)=a(lnx)2lnx2a+1+2(x0)(1)当a=1时，求不等式f(x)0的解集(2)讨论不等式f(x)0的解集【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=(lnx)2lnx3+2=(lnx)23lnx+2=(lnx1)(lnx2)，由f(x)0得(lnx1)(lnx2)0，得1lnx2，即exe2，即不等式的解集为(e,e2).(2)由f(x)0得a(lnx)2lnx2a+1+20，即a(
21、lnx)2(2a+1)lnx+20，若a=0，则不等式等价为lnx+22，得xe2，若a0，则不等式等价为(alnx1)(lnx2)0，令t=lnx，则不等式等价为(at1)(t2)0，抛物线y=(at1)(t2)开口向上，有两个零点2，1a，若0a12，则21a，此时不等式的解为2t1a，即2lnx1a，得e2xae，若a=12，则2=1a，此时不等式(at1)(t2)12，则21a，此时不等式的解为1at2，即1alnx2，得aexe2，若a1a，此时不等式的解为t或t或lnx1a，得0xe2，综上若a0，不等式的解集为x|0xe2，若a=0，不等式的解集为x|xe2，若0a12，不等式的解集为x|e2x12，不等式的解集为x|aexe2.【解析】(1)当a=1时，先求出f(x)，结合一元二次不等式的解法进行求解即可(2)分别讨论a的取值范围，结合一元二次不等式的解法进行求解即可本题主要考查不等式的解法，结合一元二次不等式的解法，利用分类讨论法是解决本题的关键11 / 12
