1、2020-2021学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1已知复数z13+4i，z2a+i，若z1+z2为纯虚数，则实数a 2已知向量，若，则m 3若tan2，则 4已知角满足sin+cos，则tan+cot的值为 5函数ysin（x+），x0，的单调增区间为 6若3+2i是方程x2+bx+c0（b，cR）的一个根，则c 7已知向量（2，3），（4，7），则向量在向量的方向上的数量投影为 8已知向量，|1，|2，则|2|的取值范围是 9已知函数ycosx与ysin（2x+）（0）的图象有一个横坐标为的交点，则常数的值为 10复平面上两个点Z1，Z2对
2、应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：且z2z12i；两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，则Z1OZ2的面积为 11如图是函数ysin（x+）在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（+） 12定义：对于任意实数p、q，maxp，q设函数yg（x）的表达式为g（x）maxx，acosx（xR，常数a0），函数yf（x）的表达式为f（x）2sinx+1，若对于任意x1R，总存在x2R使得g（x1）f（x2）成立，则实数a的取值范围是 二、选择题：（每小题3分，共12分）13已知ABC中，则ABC
3、为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定14设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（）A如果z12+z220，那么z1z20B如果|z1|z2|，那么z1z2C如果|z1|a，a是正实数，那么az1aD如果|z1|a，a是正实数，那么15已知函数f（x）cos（sinx），g（x）sin（cosx），则下列说法正确的是（）Af（x）与g（x）的定义域都是1，1Bf（x）为奇函数，g（x）为偶函数Cf（x）的值域为cos1，1，g（x）的值域为sin1，sin1Df（x）与g（x）都不是周期函数16已知在ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（
4、）ABCABACDACBC三、解答题：（第17题8分，第18、19、20题各10分，第21题14分，共52分）17已知复数z使得z+2iR，R，其中i是虚数单位（1）求复数z的共轭复数；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围18已知向量（sinx，1），（cosx，1）（1）若，求tanx的值；（2）若函数y（），求此函数当x0，时的最大值19如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿ABC路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0
5、.2米/秒，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务（1）B、C两处垃圾的距离是多少米？（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角ABC是多少弧度？（用反三角函数表示）20设（x1，y1），（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2R（1）请你利用上述两个向量以及向量的知识证明：（x1x2+y1y2）2（x12+y12）（x22+y22），并指出等号成立的条件；（2）请你运用（1）中证明不等式的向量方法，求函数y3+的最大值21在ABC中，CAB120（1）如图1，若点P为ABC的重心，试用、表示；（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上运动（
6、包含B、C两个端点），且ABAC1，设+（，R），求的取值范围；（3）如图3，若点P为ABC外接圆的圆心，设m+n（m，nR），求m+n的最小值.参考答案一、填空题（每小题3分，共36分）1已知复数z13+4i，z2a+i，若z1+z2为纯虚数，则实数a3【分析】先计算z1+z2，然后根据纯虚数的概念进行计算即可解：由z13+4i，z2a+i，得z1+z23+a+5i，z1+z2为纯虚数，3+a0，解得a3故答案为：32已知向量，若，则m【分析】利用数量积与垂直的关系即可得出解：，13+2m0，解得故答案为3若tan2，则3【分析】直接利用两角差的正切公式代入即可求解解：tan2，则3故答案为
7、：34已知角满足sin+cos，则tan+cot的值为 【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，整理求出sincos的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简后，代入计算即可求出值解：把sin+cos，两边平方得：（sin+cos）21+2sincos，即sincos，则原式+故答案为：5函数ysin（x+），x0，的单调增区间为 0，【分析】根据已知条件，结合正弦函数的单调性和x的取值范围，即可求解解：令，kZ，即，当k0时，又x0，函数y的单调增区间为故答案：6若3+2i是方程x2+bx+c0（b，cR）的一个根，则c13【分析】由实系数一元二次方程虚根
8、成对原理可得方程x2+bx+c0的另一个根，再由根与系数的关系求解c值解：3+2i是方程x2+bx+c0（b，cR）的一个根，32i是方程x2+bx+c0（b，cR）的另一个根，则c（3+2i）（32i）32+（2）213故答案为：137已知向量（2，3），（4，7），则向量在向量的方向上的数量投影为 【分析】根据投影的定义，应用公式向量在向量的方向上的数量投影|cos求解解：向量（2，3），（4，7），根据投影的定义可得：向量在向量的方向上的数量投影|cos故答案为：8已知向量，|1，|2，则|2|的取值范围是3，5【分析】利用向量数量积运算性质、余弦函数的单调性即可得出解：设，|2|1co
9、s1，9178cos25，|2|的取值范围是3，5故答案为：3，59已知函数ycosx与ysin（2x+）（0）的图象有一个横坐标为的交点，则常数的值为【分析】由于函数ycosx与ysin（2x+），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得sin（ +）cos根据的范围和正弦函数的单调性即可得出解：函数ycosx与ysin（2x+），它们的图象有一个横坐标为的交点，sin（+）cos0，+，+，解得故答案为：10复平面上两个点Z1，Z2对应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：且z2z12i；两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，则Z1OZ2的面积为 20【分析】设z1a+bi（a，b
10、R），求得z2，结合中点坐标公式求解a与b的值，再求出|OZ1|与|OZ2|，代入三角形面积公式得答案解：设z1a+bi（a，bR），则z2z12i（a+bi）2i2b+2ai，Z1（a，b），Z2（2b，2a），又两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，解得a，b，Z1OZ2的面积为S故答案为：2011如图是函数ysin（x+）在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（+）【分析】根据三角函数的图象及性质可求出A，B点坐标，结合三角函数的对称性可得A是CD的中点，所以，又i 为 x 轴正方向的单位向量
11、，所以 ，再根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案解：，所以，令f（x）0，解得，即，当k1时，所以，因为函数f（x）关于A点对称，所以C关于A的对称点为D，即CD的中点是A，所以，因为为x轴正方向的单位向量，所以，所以故答案为：12定义：对于任意实数p、q，maxp，q设函数yg（x）的表达式为g（x）maxx，acosx（xR，常数a0），函数yf（x）的表达式为f（x）2sinx+1，若对于任意x1R，总存在x2R使得g（x1）f（x2）成立，则实数a的取值范围是 （0，【分析】分别设g（x）、f（x）的值域为集合A、B，则题意等价于AB，利用集合的包含关系求最值解：因为2是g（x）的
12、周期，所以讨论0，2）上的解析式当x0，2）时，所以g（x）的值域为A；f（x）2sinx+1的值域为B1，3；条件等价于AB，所以，又a0，解得故答案为：二、选择题：（每小题3分，共12分）13已知ABC中，则ABC为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【分析】根据数量积的应用，判断角B的大小即可得到结论解：，cosB0，即B为锐角，此时无法判断A，C的大小，ABC为的形状无法判断故选：D14设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（）A如果z12+z220，那么z1z20B如果|z1|z2|，那么z1z2C如果|z1|a，a是正实数，那么az1aD如果|z1|a，a是正实数，
13、那么【分析】利用反例判断A的正误；通过反例判断B的正误；利用复数的几何意义判断C的正误；设出复数即可化简结果，判断正误即可解：对于A，如果z11i，z21+i，所以z1z20不正确对于B，如果z11i，z21+i，|z1|z2|，那么z1z2不正确对于C，|z1|a，a是正实数，说明复数对应的点到原点的距离小于a，所以az1a不正确对于D，|z1|a，a是正实数，那么a2，正确故选：D15已知函数f（x）cos（sinx），g（x）sin（cosx），则下列说法正确的是（）Af（x）与g（x）的定义域都是1，1Bf（x）为奇函数，g（x）为偶函数Cf（x）的值域为cos1，1，g（x）的值域为
14、sin1，sin1Df（x）与g（x）都不是周期函数【分析】根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可解：Af（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误，Bf（x）cos（sin（x）cos（sinx）cos（sinx）f（x），则f（x）是偶函数，故B错误，C1sinx1，1cosx1，f（x）的值域为cos1，1，g（x）的值域sin1，sin1，故C正确，Df（x+2）cos（sin（x+2）cos（sinx）f（x）则f（x）是周期函数，故D错误，故选：C16已知在ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（）ABCABACDACBC【分析】设
15、|4，则|1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0a，由数量积的几何意义，化恒成立，为（a+1）24a（a1）20，从而求得ABC是等腰三角形，ACBC解：设|4，则|1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0a，如图所示；则由数量积的几何意义可得，|（a+1）|，a，于是恒成立，整理得|2（a+1）|+a0恒成立，只需（a+1）24a（a1）20即可，于是a1，因此我们得到HB2，即H是AB的中点，ABC是等腰三角形，即ACBC故选：D三、解答题：（第17题8分，第18、19、20题各10分，第21题14分，共52分）17已知复数z使得z+2iR，R
16、，其中i是虚数单位（1）求复数z的共轭复数；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围【分析】（1）设zx+yi（x，yR），则z+2ix+（y+2）i，由虚部为0求得y值再把利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得x值，则z可求，可求；（2）把（z+mi）2变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解m的范围解：（1）设zx+yi（x，yR），则z+2ix+（y+2）i，z+2iR，y+20，即y2又R，x40，即x4x42i，则；（2）m为实数，且（z+mi）24+（m2）i2（12+4mm2）+8（m2）i，由题意，解得2m2实数m
17、的取值范围为（2，2）18已知向量（sinx，1），（cosx，1）（1）若，求tanx的值；（2）若函数y（），求此函数当x0，时的最大值【分析】（1）利用向量关系，推出结果即可（2）利用向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，转化求解函数的最大值即可解：（1）向量（sinx，1），（cosx，1），可得sinxcosx，所以tanx；（2）y（）1+cos2x+1sin2x+cos2xsin+因为x0，所以2x+，所以当2x+，即x时，最大值为：19如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距
18、离少0.4米，于是选择沿ABC路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务（1）B、C两处垃圾的距离是多少米？（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角ABC是多少弧度？（用反三角函数表示）【分析】（1）利用题目条件找到三边关系，结合余弦定理构造关于a的方程求解；（2）利用正弦定理列式求解解：（1）设角A、B、C的对边分别为a，b，c由条件有A120，bc0.4，c+a100.22则c2a，b0.4+c2.4a，由余弦定理，得，又0a2，解得a1.4，即B、C两点间的距离为1.4（2）b2.41.41，
19、由正弦定理得，因为B为锐角，所以即智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角ABC是20设（x1，y1），（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2R（1）请你利用上述两个向量以及向量的知识证明：（x1x2+y1y2）2（x12+y12）（x22+y22），并指出等号成立的条件；（2）请你运用（1）中证明不等式的向量方法，求函数y3+的最大值【分析】（1）根据题意，由、的坐标可得、|和|的值，由数量积的运算性质|cos|，分析可得证明；（2）根据题意，由（1）的结论对y3+，变形分析可得答案解：（1）证明：根据题意，（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，|，|，又由|cos|，则有（
20、x1x2+y1y2）2（x12+y12）（x22+y22），当且仅当时等号成立；（2）根据题意，由（1）的结论（x1x2+y1y2）2（x12+y12）（x22+y22），y3+3+2，当且仅当x时等号成立，故函数y3+的最大值为221在ABC中，CAB120（1）如图1，若点P为ABC的重心，试用、表示；（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上运动（包含B、C两个端点），且ABAC1，设+（，R），求的取值范围；（3）如图3，若点P为ABC外接圆的圆心，设m+n（m，nR），求m+n的最小值.【分析】（1）延长AO交BC于D，利用重心性质及向量加减表示即可；（2）以A为坐标原点建
21、立平面直角坐标系，利用向量坐标表示求得，再用三角函数性质求得最值即可；（3）表示出m（）+n（），即（1mn）m+n，平方后整理可得3mn+12m+2n，利用换元思想及基本不等式即可求解解：（1）延长AO交BC于D，则D是BC中点，所以（）；（2）以A为原点，建立如图所示坐标系，则B（1，0），C（，），设P（cos，sin），0，因为+，所以（cos，sin）（1，0）+（，），所以，所以sin（cos+）sin2+sinsin2+（1cos2）（sin2cos2+1）sin（2）+，因为0，所以2，则sin（2）+0，1；（3）因为CAB120，所以CPB120，由m+n（m，nR）可得m（）+n（），即（1mn）m+n，平方可得（1mn）m+n+2mn即（1mn）|m|+n|+2mn|cos120，所以（1mn）m+nmn，整理可得3mn+12m+2n，由平行四边形法则可知m+n1，令m+nt，则mn，t1，由基本不等式可得mn，即，解得t2或t，所以t2，则m+n2，即m+n的最小值为2
