1、152 随机事件的概率第1课时 古 典 概 型基础认知自主学习【概念认知】1古典概型(1)定义：样本空间只含有有限个样本点；每个基本事件的发生都是等可能的我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型(2)本质：事件所包含的基本事件个数有限；每个基本事件发生的概率相等2古典概型的概率计算公式在古典概型中，如果样本空间 w1，w2，wn(其中，n 为样本点的个数)，那么每一个基本事件wk(k1，2，n)发生的概率都是1n，如果事件 A 由其中 m个等可能基本事件组合而成，即 A 中包含 m 个样本点，那么事件 A 发生的概率为P(A)_mn1下列关于古典概型的说法中正确的是()试验中所有样本
2、点有有限个；每个事件出现的可能性相等；每个样本点出现的可能性相等；样本点的总数为 n，随机事件 A 若包含 k 个样本点，则 P(A)kn.A B C D【解析】选 B.根据古典概型的特征与公式进行判断，正确，不正确2(2020全国卷)设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为()A15 B25 C12 D45【解析】选 A.如图，从 O，A，B，C，D 5 个点中任取 3 个点有O，A，B，O，A，C，O，A，D，O，B，C，O，B，D，O，C，D，A，B，C，A，B，D，A，C，D，B，C，D共 10 种不同取法，3 点共线只有
3、O，A，C与O，B，D共 2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为 210 15.3若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为_【解析】记事件 A：甲或乙被录用从五人中录用三人，样本点有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共 10 种可能，所以样本点中含有甲或乙的有 9 种可能，故所求概率为 910.答案：9104做 A，B，C 三件事的费用各不相同在一次游戏中，要求参加者写出做这三件事所需
4、费用的顺序(由多到少排列).如果某个参加者随意写出答案，他正好答对的概率是_【解析】A，B，C 三件事排序，有 6 种排法，记“参加者正好答对”为事件 D，由古典概型的概率公式，得 P(D)16.答案：165一个袋中已知有 3 个白球，2 个黑球，第一次摸出一个球，然后再放进去，再摸第二次，求两次都是摸到黑球的概率【解析】把它们编号，白球为 1，2，3，黑球为 4，5，用(x，y)记录摸球结果，x 表示第一次摸到球号数，y 表示第二次摸到球号数样本空间为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2
5、)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，一共 25 种，两次摸球都是黑球的样本点有：(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，共 4 个，所以 P 425.学情诊断课时测评一、单选题1抛掷一枚骰子，下列不是一个样本点的是()A向上的点数是奇数B向上的点数是 3C向上的点数是 4 D向上的点数是 6【解析】选 A.向上的点数是奇数包含 3 个样本点：向上的点数是 1，向上的点数是 3，向上的点数是 5，所以 A 不是一个样本点2若书架上放有数学、物理、化学书分别是 5 本
6、、3 本、2 本，则随机抽出一本是物理书的概率为()A15 B 310 C35 D12【解析】选 B.样本点总数为 10，“抽出一本是物理书”包含 3 个样本点，所以其概率为 310.3有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A45 B35C25 D15【解析】选 C.从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，样本空间为：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)而取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有
7、(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共 4 个样本点，故所求概率 P 410 25.4集合 A2，3，B1，2，3，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是()A23 B12 C13 D16【解析】选 C.从 A，B 中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共 6 种情况，其中两个数之和为 4 的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为26 13.5某校高二年级 4 个文科班要举行一轮单循环(每个班均与另外 3 个班比赛一场)篮球赛，则所有场次中甲、乙两班至少有一个班参加的概率是()A16 B13 C12 D56【解
8、析】选 D.记 4 个班分别为甲、乙、丙、丁，则他们的比赛对阵场次为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共 6 种，其中甲、乙两班至少有一个班参加的有 5 种，则所求概率 P56.6设 a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程 x2ax20 有两个不相等的实根的概率为()A23 B13 C12 D 512【解析】选 A.基本事件总数为 6，若方程有两个不相等的实根，则 a280，满足上述条件的 a 为 3，4，5，6，故概率为46 23.二、多选题7下列概率模型是古典概型的为()A从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B同时掷两枚质地均匀的骰子，点数和为 6 的概率C近三天
9、中有一天降雨的概率D10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【解析】选 ABD.古典概型的特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等显然 A，B，D 符合古典概型的特征，所以 A，B，D 是古典概型；C 选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型三、填空题8口袋内装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球，其中有 45 个红球；从中摸出 1个球，若摸出白球的概率为 0.23，则摸出黑球的概率为_【解析】因为摸出白球的概率是 0.23，所以由古典概型概率公式，知白球的个数为1000.2323(个)，所以黑球的个数为 100234532(个)，所
10、以摸出黑球的概率为32100 0.32.答案：0.329从编号为 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为_【解析】从编号为 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数 n4416，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有 8 个，分别为：1，1，1，2，1，3，1，4，2，2，2，4，3，3，4，4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为 P 816 12.答案：12四、解答题10某地发生大地震，全国人民
11、纷纷伸出援助之手，白衣天使更是无私奉献现随意安排甲、乙、丙 3 个医生在某医疗救助点值班 3 天，每人值班 1 天，(1)这 3 人值班的顺序共有多少种不同的排法？(2)其中甲在乙之前的排法有多少种？(3)甲排在乙之前的概率是多少？【解析】(1)3 人值班的顺序所有可能的情况如图所示：由图知，3 人值班的顺序共有 6 种不同的排法(2)由图知，甲在乙之前的排法有 3 种(3)记“甲排在乙之前”为事件 A，则事件 A 的概率是 P(A)36 12.11(1)从 A，B，C 三个人中选两个人分别担任正副班长，求 A 当选的概率；(2)从 A，B，C 三个人中选两个人去担任学生代表，求 A 当选的概
12、率【解析】(1)由题意可知，样本空间为AB，AC，BA，CA，BC，CB，共有六个样本点，设事件 M“A 当选”，则 M 中包含 4 个样本点，由古典概型公式得，P(M)4623.(2)由题意可知，样本空间为AB，AC，BC，共有三个样本点，设事件 N“A 当选”，则 N 中包含 2 个样本点，由古典概型公式得，P(N)23.一、选择题1中国诗词大会节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛，现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取 2 人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件 A，则事件 A 的概率为()A0.3
13、B0.4 C0.5 D0.6【解析】选 A.从 5 人中随机选取 2 人，共有 10 种选法，而甲被选上且乙不被选上，共有 3 种选法，所以对应事件 A 的概率为 310 0.3.2史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”若双方各自拥有上、中、下等马各 1 匹，从中随机选 1 匹进行 1 场比赛，则齐王的马获胜的概率为()A23 B13 C12 D16【解析】选 A.依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为 a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为 A，B，C.由
14、题意可知，可能的比赛为 aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共 9 种，其中田忌可以获胜的事件为 aB，aC，bC，共3 种，则齐王的马获胜的概率 P139 23.3从 1，2，3，30 中任取一个数，它是偶数或能被 3 整除的数的概率为()A16 B13 C12 D23【解析】选 D.从 1，2，3，30 中任取一个数共有 30 种情况，其中能被 3 整除的数共有 10 个，偶数共 15 个，其中既能被 3 整除又是偶数的数有 5 个，故是偶数或能被 3 整除的数共有 1510520 个，故所求概率 P2030 23.4(多选)袋中有 2 个红球，2 个白球，2 个黑球，从
15、里面任意摸 2 个球，则是基本事件的为()A(正好 2 个红球)B(1 个红球，1 个黑球)C(至少 1 个白球)D(正好 2 个黑球)【解析】选 ABD.从里面摸 2 个球，样本空间为：(2 个红球)，(2 个白球)，(2 个黑球)，(1 红 1 白)，(1 红 1 黑)，(1 白 1 黑)“至少 1 个白球”包括“(1 白 1 红)，(1白 1 黑)，(2 个白球)”，包含 3 个样本点二、填空题5从 5 件正品，1 件次品中随机取出 2 件，则取出的 2 件产品中恰好是 1 件正品，1件次品的样本点有_个【解析】设 5 件正品分别为 A，B，C，D，E，次品为 1，则取出 2 件产品的所
16、有可能为 AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，A1，B1，C1，D1，E1共 15 种，符合要求的样本点为：A1，B1，C1，D1，E1 共 5 种答案：56用红、黄、蓝三种不同的颜色给图中的 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则 3 个矩形颜色都相同的概率是_，3 个矩形颜色都不同的概率是_【解析】以“红黄蓝”表示从左到右三个矩形所涂的颜色，则所有的基本事件有：红红红、红红黄、红红蓝、红黄红、红黄黄、红黄蓝、红蓝红、红蓝黄、红蓝蓝、黄红红、黄红黄、黄红蓝、黄黄红、黄黄黄、黄黄蓝、黄蓝红、黄蓝黄、黄蓝蓝、蓝红红、蓝红黄、蓝红蓝、蓝黄红、蓝黄黄、蓝黄蓝、蓝蓝红、蓝
17、蓝黄、蓝蓝蓝，共 27 个基本事件，事件“3 个矩形颜色都相同”所包含的基本事件有：红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝，共 3 个基本事件，所以 3 个矩形颜色都相同的概率是 327 19.事件“3 个矩形颜色都不同”所包含的基本事件有：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝黄红、蓝红黄，共6 个基本事件，所以 3 个矩形颜色都不同的概率是 627 29.答案：19 297甲、乙、丙三组学生人数分别为 3，2，2，现从中抽 2 人，则这两人来自同一组的概率为_【解析】设甲组的 3 名学生记为 A1，A2，A3，乙组的 2 名学生记为 B1，B2，丙组的2 名学生记为 C1，C2，所有的基本事件有：A1，A2，
18、A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，C1，A1，C2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，C1，A2，C2，A3，B1，A3，B2，A3，C1，A3，C2，B1，B2，B1，C1，B1，C2，B2，C1，B2，C2，C1，C2，共 21 种，其中，事件“所抽取的 2 人来自同一组”所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，B1，B2，C1，C2，因此所求事件的概率为 521.答案：5218如图所示是某市某年 2 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 2
19、 月 1 日至 2 月 12 日中的某一天到达该市，并停留 3 天则此人到达当日空气质量优良的概率为_；此人停留期间至多有 1 天空气重度污染的概率为_【解析】在 2 月 1 日至 2 月 12 日这 12 天中，只有 5 日，8 日共 2 天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率 P 212 16.事件“此人在该市停留期间至多有 1 天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间 0天空气重度污染或仅有 1 天空气重度污染”“此人在该市停留期间 0 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日或 8 日或 9 日”，其概率为 312 14.“此人在该市停留期间仅有 1 天空气
20、重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 3 日或 5 日或 6 日或 7 日或 10 日”，其概率为 512.所以此人停留期间至多有 1 天空气重度污染的概率为 P14 512 23.答案：16 23三、解答题9用简单随机抽样从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本问：(1)总体中的某一个体 a 在第一次抽取时被抽到的概率是多少？(2)个体 a 在第 1 次未被抽到，而第二次被抽到的概率是多少？(3)在整个抽样过程中，个体 a 被抽到的概率是多少？【解析】将 6 个个体编号为 1，2，3，4，5，a，则从中抽出的 2 个个体的编号可能为(前一个编号表示第一次抽到，后一个编号表示第二
21、次抽到)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，a)；(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，a)；(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，a)；(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，a)；(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，a)；(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5).(1)总体中的某一个体 a 在第一次抽取时被抽到的概率是 P 530 16；(2)个体 a 在第 1 次未被抽到，而第 2 次被抽到的概率是 P 530 16；(3)在整个抽样过程中，个体 a 被抽到的概率是P1030 13.10
22、某班数学兴趣小组有男生 3 名，记为 a1，a2，a3，女生 2 名，记为 b1，b2，现从中任选 2 名学生去参加校数学竞赛(1)写出所有的基本事件(2)求参赛学生中恰好有一名男生的概率(3)求参赛学生中至少有一名男生的概率【解析】(1)根据题意，用有序实数对来表示选出学生的情况，由列举法表示如下：a1，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，b1，b2.(2)由(1)可得，参赛学生中恰好有一名男生的情况为：a1，b1，a1，b2，a2，b1，a2，b2，a3，b1，(a3，b2)，共 6 种情况因此参赛学生中恰好有一名男生的概率为 P(A)610 35.(3)参赛学生中至少有一名男生的情况有 9 种，故至少有一名男生的概率为 P 910.
