1、课时素养评价四十七几个函数模型的比较 (15分钟30分)1.以下四种说法中,正确的是()A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的x0,xnlogaxC.对任意的x0,axlogaxD.不一定存在x0,当xx0时,总有axxnlogax【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当0a1,n0时,一定存在x0,使得当xx0时,总有axxnlogax,但若去掉限制条件“a1,n0”,则结论不成立.2.向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为()【解析】
2、选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长,后不变,符合B中容器的形状.【补偿训练】某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是图中的()【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%;经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2;经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x0),即y=(108.6%)x(x0).因为底数108.6%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年
3、宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,6)进行整理,得数据如表所示:x1.002.003.004.005.006.00y1.652.202.602.762.903.10根据表中数据,下列函数中,适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是()A.y=0.5(x+1)B.y=log3x+1.5C.y=2x-1D.y=2【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略),观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合.4.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下4个模拟函数:y=0.58x-
4、0.16;y=2x-3.02;y=x2-5.5x+8;y=log2x.请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选_.【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选.答案:5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象,并比较两者在0,+)上的大小关系.【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.根据图象易得:当0xg(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x4时,f(x)0且a1)的图象.有以下说法:第4个月时,残留量就会低于;每月减少的有害物质质量都相等;当残留量为,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确说法的序
5、号是_.【解析】由于函数的图象经过点,故函数的解析式为y=.当t=4时,y=,故正确;当t=1时,y=,减少,当t=2时,y=,减少,故每月减少有害物质质量不相等,故不正确;分别令y=,解得t1=,t2=,t3=,t1+t2=t3,故正确.答案:6.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为符合的函数模型是_,根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为_米.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7【解析】据表中数据作出散点图如图:由图可以看出用一次函数模型不吻合,选
6、用对数型函数比较合理.将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3,即h=log3(t+1).当t=8时,h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.答案:h=loga(t+1)2三、解答题7.(10分)若不等式3x2logax在x内恒成立,求实数a的取值范围.【解题指南】原不等式等价于3x2logax,将不等式两边分别看成两个函数,作出它们的图象,研究a的取值范围.【解析】由题意,知3x21,则函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以a1不成立;当0a1时,y=logax的图象必过点A或在这个点的上方,则loga,所以a,所以a1.综上,a的取值范围是.
