1、海淀区高三年级第二学期期末练习数学 （理科） 2018.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合，则A. B. C. D. （2）已知复数在复平面上对应的点为，则 A. 是实数B. 是纯虚数C. 是实数D. 是纯虚数（3）已知，则A. B. C. D. （4）若直线是圆的一条对称轴，则的值为A. B. C. D. （5）设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（6）关于函数，下列说法错误的是A. 是
2、奇函数 B. 0不是的极值点 C. 在上有且仅有3个零点D. 的值域是（7）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是A.求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和 C. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和 D. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和（8）已知集合，集合，满足每个集合都恰有5个元素集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的值不可能为A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）极坐标系中，点到直线的距离为 .（10）
3、在的二项展开式中，的系数为 .（11）已知平面向量，的夹角为，且满足，则 ， .（12）在中，则 .（13）能够使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为 .（14）如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）如图，已知函数（）在一个周期内的图像经过，三点（）写出的值；（）若，且，求的值.（16）（本小题13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该
4、名学生的考核成绩.记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929087909290第二轮测试成绩90909088888796928992（）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率；（）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，考核成绩的平均数和方差分别为，试比较与， 与的大小.（只需写出结论）（17）（本小题14分）如图，在三棱柱中，平面，分别是的中点（）证明：；（）证明：平面；（）求与平面所成角的正弦值.
5、（18）（本小题14分）已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.（）求椭圆的焦距及离心率；（）求四边形面积的最大值.（19）（本小题13分）已知函数（）求的极值；（）当时，设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线. （20）（本小题13分）如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为（）若，公差，判断数列是否具有“性质”，并说明理由； （）若数列具有“性质”，求证：且；（）若数列具有“性质”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由. 海淀区高三年级第二学期期末练习参
6、考答案及评分标准数学（理科）2018.5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项12345678BCDBACCA二、填空题共6小题，每小题5分，共30分（9）1（10）10（11）1；（12）（13）答案不唯一，或的任意实数（14）注：第11题第一空3分，第二空2分。三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）（本小题13分）解：（），6分（）由（）得，因为，所以因为，所以所以，所以，所以13分16. （本小题共13分）解：（）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91
7、.5，91，90.5，91其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：，从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.4分（）设事件：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分.由（）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人.所以，.9分（），.13分17.（本小题共14分）解：（）因为平面，平面，所以因为，平面，所以平面因为平面，所以4分AC1A1CB1BDEM（）取
8、的中点，连接、因为、分别是、的中点，所以ME，且ME在三棱柱中，且，所以MEAD，且ME=AD，所以四边形ADEM是平行四边形，所以DEAM又平面，平面，所以平面9分（）在三棱柱中，因为，所以在平面内，过点作，因为，平面，所以，平面建立空间直角坐标系C-xyz，如图则,.，设平面的法向量为，则，即，得，令，得，故设直线DE与平面所成的角为，则sin，所以直线与平面所成角的正弦值为.14分18. （本小题共14分）解：（）在椭圆：中，所以，故椭圆的焦距为，离心率5分（）法一：设（，），则，故所以，所以，又，故因此由，得，即，所以，当且仅当，即，时等号成立.14分19.（本小题共13分）解：（），
9、令，得当时，与符号相同，当变化时，的变化情况如下表：极小当时，与符号相反，当变化时，的变化情况如下表：极小综上，在处取得极小值.7分（），故注意到，所以，使得因此，曲线在点，处的切线斜率均为. 下面，只需证明曲线在点，处的切线不重合.曲线在点（）处的切线方程为，即假设曲线在点（）处的切线重合，则令，则，且.由（）知，当时，故所以，在区间上单调递减，于是有，矛盾！因此，曲线在点()处的切线不重合13分20.（本小题13分）解：（）若，公差，则数列不具有性质理由如下：由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的，3分（）若数列具有“性质P”，则假设，则对任意的，. 设，则
10、，矛盾！假设，则存在正整数，使得设，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾！假设，则存在正整数，使得设，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾！综上，8分（）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数，这与数列具有“性质P”矛盾，故设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，设，则，因为，所以，即数列的每一项均是整数由（）知，故数列的每一项均是自然数，且是正整数由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则，即因为，故是的约数所以，,当时，得，故，共2019种可能；当时，得，故，共1010种可能；当时，得，故，共3种可能；当时，得，故，共2种可能；当时，得，故，共2种可能；当时，得，故，共1种可能；当时，得，故，共1种可能；当时，得，故，共1种可能综上，满足题意的数列共有（种）经检验，这些数列均符合题意13分
