1、2015-2016学年吉林省吉林一中高一（上）11月月考数学试卷（奥班）一.选择题（本大题共12小题，共12×5=60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1集合A可以表示为，也可以表示为0，|x|，x+y，则yx的值为( )A1B0C1D1或12已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），则=( )A4B3C2D13函数的图象大致是( )ABCD4已知函数，则f（2+log23）的值为( )ABCD5设=（cos2，sin），=（1，0），已知=，且，则tan=( )ABCD6下列函数既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是( )A f（x）=sinxBf（x）
2、=|x+1|CD7将函数y=（sinx+cosx）（sinxcosx）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的图象( )A关于原点对称B关于y轴对称C关于点（，0）对称D关于直线x=对称8在ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则ABC的形状为( )A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形9已知f（x）=ln（3x）+1，则f（lg3）+f（lg）等于( )A2B1C0D110如图是函数f（x）=Acos（x+）1（A0，|）的图象的一部分，则f=( )A1B2CD311函数y=tan（x）的部分图象如图所示，则（+）=
3、( )A6B4C4D612若非零不共线向量、满足|=|，则下列结论正确的个数是( )向量、的夹角恒为锐角；2|2；|2|2|；|2|2|A1B2C3D4二.填空题（本大题共4小题，共4×5=20分，请把正确答案填写在横线上）13求值：=_14设函数y=sinx（0x）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）单调递增区间_15在ABC中，A=60，M是AB的中点，若|AB|=2，|BC|=2，D在线段AC上运动，则的最小值为_16已知函数f（x）=，则关于x的方程ff（x）+k=0给出下
4、列四个命题：存在实数k，使得方程恰有1个实根；存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根其中正确命题的序号是_（把所有满足要求的命题序号都填上）三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的图象的相邻两条对称轴的距离是，当x=时取得最大值2（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）的零点为x0，求18已知集合A=x|x23（a+1）x+2（3a+1）0，B=，（1）当a=2时，求AB；（2）求使BA的实数a的取值范围19已知函数（）求
5、函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当时，若f（x）log2t恒成立，求t的取值范围20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，tanC=（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求ABC面积S的取值范围21在ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为相应的三条边，若，且（1）求证：A=C；（2）若|=2，试将表示成C的函数f（C），并求f（C）值域22已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围2
6、015-2016学年吉林省吉林一中高一（上）11月月考数学试卷（奥班）一.选择题（本大题共12小题，共12×5=60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1集合A可以表示为，也可以表示为0，|x|，x+y，则yx的值为( )A1B0C1D1或1【考点】集合的相等 【专题】计算题【分析】利用集合相等的定义，紧紧抓住0这个特殊元素，结合列方程组解方程解决问题，注意集合中元素的互异性【解答】解：集合A可以表示为，也可以表示为0，|x|，x+yy=0，则或解得x=0或x=1注意到集合中元素的互异性则x=1yx=0（1）=1故选C【点评】本题主要考查集合的相等，如果已知集合中有特殊元
7、素，抓住它是简化解题的关键，还需注意集合中元素的互异性，属于基础题2已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），则=( )A4B3C2D1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【专题】平面向量及应用【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：，=（2+3，3），=0，（2+3）3=0，解得=3故选B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键3函数的图象大致是( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】作图题【分析】根据选项提供的信息利用函数值的符号对选项进行筛选【解答】解：当0x1时，因为lnx0，所以，排除选项B、C；当x1时，排
8、除D故选A【点评】本题考查了函数的图象，筛选法是做选择题常用的办法4已知函数，则f（2+log23）的值为( )ABCD【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法 【专题】计算题【分析】先判断出2+log234，代入f（x+1）=f（3+log23），又因3+log234代入f（x）=，利用指数幂的运算性质求解【解答】解：1log232，32+log234，f（2+log23）=f（2+log23+1）=f（3+log23），43+log235，f（3+log23）=，故选A【点评】本题的考点是分段函数求函数值，先判断自变量的范围，再代入对应的关系式，根据指数幂的运算性质进行化简求值
9、5设=（cos2，sin），=（1，0），已知=，且，则tan=( )ABCD【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【专题】计算题；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用【分析】进行数量积的坐标运算可得到cos2，这样根据二倍角的余弦公式及的范围便可求出sin，cos，从而可以得出tan【解答】解：；，；故选B【点评】考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，切化弦公式，清楚正弦函数、余弦函数在各象限的符号，要熟悉正余弦函数的图象6下列函数既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是( )Af（x）=sinxBf（x）=|x+1|CD【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】常规题
10、型【分析】本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确【解答】解：f（x）=sinx是奇函数，但其在区间1，1上单调递增，故A错；f（x）=|x+1|，f（x）=|x+1|f（x），f（x）=|x+1|不是奇函数，故B错；a1时，y=ax在1，1上单调递增，y=ax1，1上单调递减，f（x）=（axax）在1，1上单调递增，故C错；故选 D【点评】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，是函数这一部分的常见好题7将函数y=（sinx+cosx）（sinxcosx）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的图象( )A关于原点对称B关于y轴对称C关于
11、点（，0）对称D关于直线x=对称【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】计算题【分析】利用平方差公式和二倍角公式对解析式进行化简，根据左加右减求出g（x）的解析式，由正弦函数的对称性进行判断【解答】解：y=（sinx+cosx）（sinxcosx）=sin2xcos2x=cos2x，则由题意知，g（x）=cos2（x+）=sin2x，即g（x）的图象关于原点对称故选A【点评】本题考查了复合三角函数图象的变换，根据平方差公式和二倍角公式对解析式进行化简，由条件和正弦函数的性质进行判断，考查了分析问题和解决问题的能力8在ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则A
12、BC的形状为( )A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【考点】解三角形 【专题】计算题【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形【解答】解：cos2=，=，cosB=，=，a2+c2b2=2a2，即a2+b2=c2，ABC为直角三角形故选B【点评】本题主要考查了三角形的形状判断考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用9已知f（x）=ln（3x）+1，则f（lg3）+f（lg）等于( )A2B1C0D1【考点】对数的运算性质 【专题】函数的性质及应用【分析】利用f（x）+f（x）
13、=2即可得出【解答】解：f（x）+f（x）=+1=ln1+2=2f（lg3）+f（lg）=f（lg3）+f（lg3）=2故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性、对数的运算法则，属于基础题10如图是函数f（x）=Acos（x+）1（A0，|）的图象的一部分，则f=( )A1B2CD3【考点】余弦函数的图象 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】根据已知中函数f（x）=Acos（x+）1（A0，|）的图象，求出函数的解析式，结合函数周期性可得f=f（2）=2cos1=3【解答】解：函数f（x）=Acos（x+）1的周期T=3，函数的最大值A1=1，故A=2，又由函数图象
14、过（1，0），故2cos（+）1=0，即cos（+）=，由|得：=，f（x）=2cos（x）1f=f（2）=2cos1=3，故选：D【点评】本题考查的知识点是余弦型函数的图象和性质，熟练掌握余弦型函数的图象和性质，是解答的关键11函数y=tan（x）的部分图象如图所示，则（+）=( )A6B4C4D6【考点】向量在几何中的应用 【专题】图表型【分析】先利用正切函数求出A，B两点的坐标，进而求出 与 的坐标，再代入平面向量数量积的运算公式即可求解【解答】解：因为y=tan（ x）=0x=kx=4k+2，由图得x=2；故A（2，0）由y=tan（ x ）=1x=k x=4k+3，由图得x=3，故B
15、（3，1）所以 =（5，1），=（1，1）（ ） =51+11=6故选A【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查的是基础知识，属于基础题解决本题的关键在于利用正切函数求出A，B两点的坐标12若非零不共线向量、满足|=|，则下列结论正确的个数是( )向量、的夹角恒为锐角；2|2；|2|2|；|2|2|A1B2C3D4【考点】平面向量数量积的运算 【专题】综合题【分析】对于，利用已知条件，推出向量、组成的三角形是等腰三角形，判定正误即可；对于，利用数量积公式，结合已知条件，判断正误；对于，通过平方以及向量的数量积判断正误对于，|2|2|，得到4|cos，|不一定成立，说明正误即可【解答】解：
16、因为非零向量、满足|=|，所以由向量、组成的三角形是等腰三角形，且向量是底边，所以向量、的夹角恒为锐角，正确；：2|2=|cos，2|cos，而|+|=2|cos，所以正确；：|2|2|4|2|2|2=|24|cos，+4|24|cos，|24|cos，|，而2|cos，=|，所以4|cos，|，正确；：|2|2|4|cos，|，而4|cos，|不一定成立，所以不正确故选C【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力二.填空题（本大题共4小题，共4×5=20分，请把正确答案填写在横线上）13求值：=19【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值 【专题】计算题
17、【分析】根据式子的特点需要把底数和真数表示成幂的形式，把对数前的系数放到真数的指数位置，利用恒等式，进行化简求值【解答】解：原式=93（3）+=18+1=19，故答案为：19【点评】本题的考点是对数和指数的运算性质的应用，常用的方法是把（底数）真数表示出幂的形式，或是把真数分成两个数的积（商）形式，根据对应的运算法则和“”进行化简求值14设函数y=sinx（0x）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）单调递增区间【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性 【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分
18、析】依题意，对x0，与x，讨论即可【解答】解：依题意得f（x）=|AB|，（0|AB|）当x0，时，|AB|由变到0，0，为f（x）单调递减区间；当当x，时，|AB|由0变到，为f（x）单调递增区间故答案为：，【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与分析问题的能力，属于中档题15在ABC中，A=60，M是AB的中点，若|AB|=2，|BC|=2，D在线段AC上运动，则的最小值为【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理 【专题】平面向量及应用【分析】把向量用，表示，可化简数量积的式子为，由余弦定理可得AC的长度，进而可得的范围，由二次函数区间的最值可得答案【解答】解：=，=，故=（
19、）（）=，设AC=x，由余弦定理可得，整理得x22x8=0，解得x=4或x=2（舍去），故有0，4，由二次函数的知识可知当=时，取最小值故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及余弦定理和二次函数的最值，属中档题16已知函数f（x）=，则关于x的方程ff（x）+k=0给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有1个实根；存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根其中正确命题的序号是（把所有满足要求的命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用；根的存在性及根的个数判断 【专题】综合题【分析】由解析式判断
20、出f（x）0，再求出ff（x）的解析式，根据指数函数的图象画出此函数的图象，根据方程根的几何意义和图象，判断出方程根的个数以及对应的k的范围，便可以判断出命题的真假【解答】解：由题意知，当x0时，f（x）=ex1；当x0时，f（x）=2x0，任意xR，有f（x）0，则，画出此函数的图象如下图：ff（x）+k=0，ff（x）=k，由图得，当ek1时，方程恰有1个实根；当ke时，方程恰有2个实根，故正确故答案为：【点评】本题考查了命题的真假判断，以及方程根的根数问题，涉及到了分段函数求值，指数函数的图象及性质应用，考查了学生作图能力和转化思想三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17
21、已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的图象的相邻两条对称轴的距离是，当x=时取得最大值2（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）的零点为x0，求【考点】正弦函数的图象 【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）由已知求出函数的振幅，周期和初相，可得函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）的零点为x0，利用诱导公式，可得答案【解答】解：（1）由题意知，振幅A=2，周期T=，=2，f（x）=2sin（2x+）将点代入得：，又，故（2）由函数的零点为x0知：x0是方程的根，故，得sin（2x0+）=，又（2x0+）+（2
22、x0）=，【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键18已知集合A=x|x23（a+1）x+2（3a+1）0，B=，（1）当a=2时，求AB；（2）求使BA的实数a的取值范围【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用 【专题】计算题【分析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解AB；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围【解答】解：（1）当a=2时，A=x|x23（a+1）x+2（
23、3a+1）0=x|x29x+14=0=（2，7），B=x|=（4，5），AB=（4，5）（2）B=（2a，a2+1），当a时，A=（3a+1，2）要使BA必须，此时a=1，当时，A=，使BA的a不存在a时，A=（2，3a+1）要使BA，必须，此时1a3综上可知，使BA的实数a的范围为1，31【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合的包含关系及其应用，考查了分类讨论的数学思想，解答此题的关键是对集合A的讨论，此题是中档题19已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当时，若f（x）log2t恒成立，求t的取值范围【考点】两角和与差的正弦函数；函数恒成立问题；正弦函数的单调性 【
24、专题】三角函数的图像与性质【分析】（）函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的最小值，根据f（x）log2t恒成立，得到log2t小于等于f（x）的最小值，即可确定出t的范围【解答】解：（I）f（x）=sin2xcos2x+1=2sin（2x）+1，=2，函数f（x）最小正周期是T=；当2k2x2+，kZ，即kxk+，kZ，函数f（x）单调递增区间为k，k+，kZ；
25、（II）x，2x0，f（x）=2sin（2x）+1的最小值为1，由f（x）log2t恒成立，得log2t1=log22恒成立，0t2，即t的取值范围为（0，2【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，函数恒成立问题，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，tanC=（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求ABC面积S的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的求值；解三角形【分析】（1）先将tanC写成，再展开化为sin（CA）=sin（BC），从而求得A+B；（2）先
26、用正弦定理，再用面积公式，结合AB的范围，求面积的范围【解答】解：（1）tanC=，=，即sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，所以，sinCcosAcosCsinA=cosCsinBsinCcosB，因此，sin（CA）=sin（BC），所以，CA=BC或CA=（BC）（不成立），即2C=A+B，故C=；（2）根据正弦定理，外接圆直径2R=1，所以，a=2RsinA=sinA，b=2RsinB=sinB，而SABC=absinC=sinAsinB=cos（AB）cos（A+B）=cos（AB）+，其中，A+B=，所以，AB（，），因此，cos（AB）（，1，
27、所以，SABC=（0，故ABC面积S的取值范围为：【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，涉及同角三角函数基本关系式，两角和差的正弦公式，以及运用正弦定理解三角形和面积的求解，属于中档题21在ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为相应的三条边，若，且（1）求证：A=C；（2）若|=2，试将表示成C的函数f（C），并求f（C）值域【考点】正弦定理；函数解析式的求解及常用方法；平面向量数量积的运算 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形；平面向量及应用【分析】（1）由已知及正弦定理化简可得sinB=sin2C，解得B=2C或B+2C=，利用角C的范围及三角形内角和定理分类讨论即可得证（2
28、）由B+2C=，可得cosB=cos2C由，利用平面向量数量积的运算，结合a=c，可得，从而可求f（C）=，结合C的范围，利用余弦定理的图象和性质即可得解f（C）值域【解答】（本小题满分12分）解：（1）由，及正弦定理有sinB=sin2C，B=2C或B+2C= 若B=2C，且，B+C（舍）； B+2C=，所以 A=C，（2）B+2C=，cosB=cos2C，a2+c2+2accosB=4，（a=c），从而 f（C）=，2f（C）3，所以 f（C）值域是（2，3）【点评】本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的运算，三角形内角和定理，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属
29、于中档题22已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围【考点】函数奇偶性的性质；函数与方程的综合运用 【专题】计算题【分析】（1）因为f（x）为偶函数所以f（x）=f（x）代入求得k的值即可；（2）函数与直线没有交点即无解，即方程log9（9x+1）x=b无解令g（x）=log9（9x+1）x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点推出g（x）为减函数得到g（x）0，所以让b0就无解（3）函数f（x）与h（x）的图象有
30、且只有一个公共点，即联立两个函数解析式得到方程，方程只有一个解即可【解答】解：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以xR，f（x）=f（x），即log9（9x+1）kx=log9（9x+1）+kx对于xR恒成立即恒成立即（2k+1）x=0恒成立，而x不恒为零，所以（2）由题意知方程即方程log9（9x+1）x=b无解令g（x）=log9（9x+1）x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点因为任取x1、x2R，且x1x2，则，从而于是，即g（x1）g（x2），所以g（x）在（，+）是单调减函数因为，所以所以b的取值范围是（，0）（3）由题意知方程有且只有一个实数根令3x=t0，则关于t的方程（记为（*）有且只有一个正根若a=1，则，不合，舍去；若a1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根由或3；但，不合，舍去；而；方程（*）的两根异号（a1）（1）0，即a+10，解得：a1综上所述，实数a的取值范围3（1，+）【点评】考查学生运用函数奇偶性的能力，以及函数与方程的综合运用能力
