1、课后导练基础达标1.某个命题与自然数n有关，如果当n=k(kN*)时该命题成立，那么可推得n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立解析:n=k时成立,n=k+1时也成立,当k不成立时,k-1肯定不成立.答案:C2.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为()A.(5k-2k)+45k-2kB.5(5k-2k)+32kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-35k解析:第二步中要用到第一步假
2、设,分析可得.答案:B3.已知一个命题P(k),k=2n(nN*),若n=1,2,1 000时,P(k)成立,且当n=1 000+1时它也成立,下列判断中,正确的是()A.P(k)对k=2 004成立B.P(k)对每一个自然数k成立C.P(k)对每一个正偶数k成立D.P(k)对某些偶数可能不成立解析:由题意知,命题只对某些自然数成立,而非所有自然数成立,且是小于1 001的自然数,不能保证n1 001时也成立.答案:D4.欲有数学归纳法证明:对于足够大的自然数n,总有2nn3,n0为验证的第一个值,则()A.n0=1B.n0为大于1小于10的某个整数C.n010D.n0=2答案:C5.探索表达
3、式:A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+22!+11!(n1且nN)的结果时,第一步n=_时,A=_.答案:216.用数学归纳法证明某个命题时,左式为1234+2345+n(n+1)(n+2)(n+3),从“n=k到n=k+1”,左边需增加的代数式是_.答案: (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)7.已知an数列的前n项Sn=2n-an,则an的前四项依次为_.猜想an=_.解析:a1=S1=2-a1a1=1,a1+a2=4-a2a2=,a1+a2+a3=6-a3a3=,a1+a2+a3+a4=8-a4a4=.猜想an=.答案:1,8.在数列an中,Sn是其前n项和,且Sn
4、=2an-2,则此数列的四项分别为_.猜想an的计算公式是_.解析:a1=S1=2a1-2a1=2,a1+a2=2a2-2a2=4,a1+a2+a3=2a3-2a3=8,a1+a2+a3+a4=2a4-2a4=16.猜想an=2n.答案:2,4,8,16an=2n9.数列an满足a1=a,an+1=,猜想通项公式并用数学归纳法证明.解:a2=,a3=,a4=,a5=,猜想an=.证明:n=2时显然成立.假设n=k时成立,即ak=.当n=k+1时,ak+1=.n为任意自然数时,an=成立.10.已知正数数列an满足(nN*),(1)求a1,a2,a3;(2)猜测an的表达式,并证明你的结论.解析
5、:=a1+1(a1-1)2=0a1=1;=a2+1a2=3;=a3+1a3=5.猜想an=2n-1.证明:当n=1时,显然成立.假设n=k时成立,即ak=2k-1,则n=k+1时,=ak+1+1.Sk=()k,代入得(ak+1-1)2=4k2,ak+1=2k+1=2(k+1)-1.因此,对任意自然数nN*,有an=2n-1成立.综合运用11.利用数学归纳法证明“对任意偶数n,an-bn能被a+b整除”时,其第二步论证,应该是()A.假设n=k时命题成立,再证n=k+1时命题也成立B.假设n=2k时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立C.假设n=k时命题成立,再证n=k+2时命题也成立D.假设
6、n=2k时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立解析:根据步骤知.答案:A12.用数学归纳法证明1+2+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是()A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4解析:右边=23=6=左边.答案:C13.用数学归纳法证明“(3n+1)7n-1能被9整除(nN*)”的第二步应为_.答案:假设当n=k时,(3k+1)7k-1能被9整除14.用数学归纳法证明“当n2且nN时,xn-nan-1x+(n-1)an能被(x-a)2整除”的第一步应为_.答案:当n=2时,x2-2ax+a2能被(x-a)2整除拓展探究15.已知数列an满足a1=1,an+1=,(1)计算a2,a3,a4;(2)猜测an的表达式,并用数学归纳法加以证明.解:a2=;a3=;a4=.猜想an=.证明:当n=1时显然成立.假设当n=k时成立,即an=.当n=k+1时,an+1=,当n=k+1时也成立.an=对任意nN*成立.
