1、专题强化练 12 导数与函数的单调性及其应用 一、选择题 1.(2020江苏徐州三校高二下联考,)已知f(x)=12x2-cos x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的大致图象是()2.(2020 广西百色高二上期末,)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(-3)=6,且 f(x)x2+1 对 xR 恒成立,则 f(x)13x3+15 的解集为()A.(-3,+)B.(-,-3)C.(-,3)D.(3,+)3.(2020 江苏南京秦淮中学高二下阶段测试,)已知函数 f(x)的导函数为 f(x),在(0,+)上满足 xf(x)f(x),则下列结论一定成立的是()A.2 019f(2 02
2、0)2 020f(2 019)B.f(2 019)f(2 020)C.2 019f(2 020)2 020f(2 019)D.f(2 019)0 时,f(x)=ex(x-1),则下列判断正确的是()A.当 x0 时,f(x)=-e-x(x+1)B.f(x)0 的解集为(-,-1)(0,1)C.函数在 R 上单调递增 D.函数 f(x)有 3 个零点 6.(多选)()已知函数 f(x)=xln x,若 0 x1x2,则下列结论正确的是()A.x2f(x1)x1f(x2)B.x1+f(x1)x2+f(x2)C.(1)-(2)1-2-1 时,x1f(x1)+x2f(x2)2x2f(x1)二、填空题
3、7.(2020 江 苏 江 阴 高 级 中 学 高 二 下 月 考,)已 知 函 数 f(x)=3x-2sin x,若f(a2-3a)+f(3-a)0,讨论函数 f(x)的单调性;(3)若 a 为正整数,且函数 f(x)恰有两个零点,求 a 的值.答案全解全析 专题强化练 12 导数与函数的 单调性及其应用 一、选择题 1.A 依题意得 f(x)=x+sinx,令 h(x)=x+sinx,则 h(x)=1+cosx.由于 f(0)=0,因此排除 C选项.由于 h(0)=1+1=20,因此 f(x)在 x=0 处的导数大于零,故排除 B,D 选项.故选 A.2.A 构造函数 F(x)=f(x)-
4、13x3,则 F(x)=f(x)-x2,由 f(x)x2+1 对 xR 恒成立得,F(x)10,F(x)是 R 上的单调递增函数.又 f(-3)=6,F(-3)=f(-3)-13(-3)3=15.f(x)13x3+15f(x)-13x315F(x)F(-3),由 F(x)的单调性知此不等式的解集为(-3,+),故选 A.3.A 令 g(x)=()(x0),则 g(x)=()-()2.由已知得,当 x0 时,g(x)0,故函数 g(x)在(0,+)上是增函数,所以 g(2020)g(2019),即(2020)2020(2019)2019,所以 2019f(2020)2020f(2019).故选
5、A.4.C 若函数f(x)=x+asin2x在0,4)上单调递增,则f(x)=1+2acos2x0在0,4)上恒成立,所以 2a-1cos2在0,4)上恒成立,又当 x0,4)时,0cos2x1,所以-1cos2-1,即-1cos2有最大值-1,则 a-12,即 a 的取值范围为-12,+),故选 C.5.BD 当 x0,所以 f(-x)=e-x(-x-1),又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以 f(x)=e-x(x+1),故 A 错误;易得 f(x)=e-(+1),0,令 f(x)0,可得 0,e-(+1)0,e(-1)0,解得 x-1 或 0 x1,所以
6、f(x)0 时,f(x)=ex(x-1),f(x)=ex(x-1)+ex=xex0,所以 f(x)在(0,+)上为增函数,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-,0),(0,+)上单调递增,但当 x0 且 x0 时,f(x)-1;当 x0 且 x0 时,f(x)1;当 x=0 时,f(x)=0,所以 f(x)在 R 上不单调递增,故 C 错误;令 f(x)=0,可得 0,e(-1)=0,解得 x=1,又因为 f(0)=0,所以函数 f(x)有 3 个零点,故 D 正确.故 BD.6.AD 对于 A,令 g(x)=()=lnx,易知 g(x)在(0,+)上单调递增,所以 g(
7、x1)g(x2),即(1)1(2)2,所以 x2f(x1)x1f(x2),故 A 正确;对于 B,令 h(x)=x+f(x)=x+xlnx,则 h(x)=1+lnx+1=2+lnx,当 x(0,e-2)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以 x1+f(x1)x2+f(x2)不恒成立,故 B 错误;对于 C,由 f(x)=xlnx 可得 f(x)=lnx+1,当 x(0,e-1)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以(1)-(2)1-2-1 时,f(x)单调递增,由 e-1x1f(x1),所以x1f(x1)-f(x2)-x2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则x1f
8、(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1),由 A 中分析可知 x2f(x1)2x2f(x1),故 D正确.故选 AD.二、填空题 7.答案(1,3)解析 易知 f(x)=3x-2sinx 的定义域为 R,f(-x)=-3x+2sinx=-f(x),函数 f(x)为奇函数,易得 f(x)=3-2cosx0,函数 f(x)在 R 上单调递增,f(a2-3a)+f(3-a)0,即 f(a2-3a)-f(3-a)=f(a-3),a2-3aa-3,解得 1a0),因为 t+t20,所以 2a0,即 a0.故实数 a 的取值范围为(-,0.(2)因为 f(x)=xln(x+1)-ax2+1,
9、所以 f(x)=ln(x+1)+1-2ax,又 f(x)在(-1,+)上是单调递减函数,所以 f(x)0 在(-1,+)上恒成立,且无连续区间使 f(x)恒为 0.因为 f(0)=0,所以 f(0)是 f(x)的一个极大值,令 g(x)=f(x),则 g(x)=1+1+1(+1)2-2a=-2(+1)2+2(+1)2=-22+(1-4)+2-2(+1)2,则 g(0)=0,即 2-2a=0,解得 a=1.当 a=1 时,有 g(x)=1+1+1(+1)2-2=-(2+3)(+1)2,当 x(-1,0)时,g(x)0,则 f(x)在(-1,0)上单调递增;当 x(0,+)时,g(x)0,f(x)
10、=1+2ax-(a+2)=(-1)(2-1),则 f(1)=a-1,由于曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线与直线 x+3y=0 垂直,所以 f(1)(-13)=-1,所以 f(1)=a-1=3,解得 a=4.(2)因为 a0,所以10.若 0a12,当 0 x1时,f(x)0,当12x1时,f(x)2,则112,当 0 x12时,f(x)0,当1x12时,f(x)0,所以函数 f(x)在(0,1)和(12,+)上单调递增,在(1,12)上单调递减.综上,当0a2 时,f(x)在(0,1)和(12,+)上单调递增,在(1,12)上单调递减.(3)因为 a 为正整数,所以若 0af(1)=0,又 f(e-2)=e-4-3e-2=e-2(e-2-3)2,则 f(1)=ln1+a(1)2-(a+2)1+2=ln1-1+1,令 t=1,则 0t0,所以 yln12-12+1=12-ln20.由(2)知此时函数 f(x)在(1,12)上单调递减,在(0,1)和(12,+)上单调递增,所以 f(12)f(1)0,所以函数 f(x)在(0,+)上至多有一个零点.综上,a=1.
