1、2016-2017学年天津市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A1BiC2iD22变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A2B3C4D53某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A4B8C12D244如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A+B+C+D+5设Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前n项和，若=（nN*），则=（）ABCD6已知f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=logx设a
2、=f（），b=f（），c=f（） 则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab7已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（x）=xsinx，若不等式f（4t）f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，0）C（，0）（，+）D（，）（，+）8设N*且15，则使函数y=sinx在区间，上不单调的的个数是（）A6B7C8D9二填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9函数f（x）=xex在极值点处的切线方程为10设Sn是等比数列an的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是11在ABC中，BAC=120，AB=AC=4，D为BC边上的点
3、，且=0，若=，则（+）=12设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为13在正三棱柱ABCA1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小14设0a1，函数f（x）=x+1，g（x）=x2lnx，若对任意的x11，e，存在x21，e都有f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围是三解答题（本大题共6小题，共80分）15（13分）已知函数f（x）=sinxcosxcos2x（0，xR）的图象上相邻两个最高点的距离为（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值16（13分）福州市某大型家电商场
4、为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百元）月资金最多供应量（百元）空调冰箱进货成本3020300工人工资510110每台利润68问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？17（13分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点（）证明MN平面PAB；（）求四面体NBCM的体积18（13分）已知单调递增的等比数列an满足a2+a3+a
5、4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（I）求数列an的通项公式；（）设bn=anlog2an，其前n项和为Sn，若（n1）2m（Snn1）对于n2恒成立，求实数m的取值范围19（14分）已知函数f（x）=alnxx+1（aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）0在（0，+）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（nN，n1）20（14分）设等差数列an的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn+3=0，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Pn2016-2017学年天津市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科
6、）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1（2016成都模拟）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A1BiC2iD2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解【解答】解：z=1+2i，复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2故选：D【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的化数形式的乘除运算法则的合理运用2（2016天津校级模拟）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A2B3C4D5【考点】简单线性规划【专题】计算题；规律型；数形
7、结合；转化思想；不等式的解法及应用；不等式【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+31=4，故选：C【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法3（2014秋许昌月考）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A4B8C12D24【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】该几何体是三棱锥，一个侧面
8、垂直于底面，要求三棱锥的体积，求出三棱锥的高即可【解答】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是一个直角三角形，斜边为6，斜边上的高为2，底面三角形面积为：S=，三棱锥的高是h=2，它的体积v=6=4，故选A【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是基础题4（2016秋天津期中）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A+B+C+D+【考点】空间向量的加减法【专题】空间向量及应用【分析】由题意，把，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确
9、选项【解答】解：=，=+，=+，=+，=，=，=，=+，故选：A【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题5（2016秋天津期中）设Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前n项和，若=（nN*），则=（）ABCD【考点】等差数列的性质【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质和求和公式进行解答【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=故选：C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属中档题6（2016秋天津期中）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，
10、f（x）=logx设a=f（），b=f（），c=f（） 则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab【考点】对数函数的图象与性质【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据已知中f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=logx分别判断a，b，c的值，或范围，可得答案【解答】解：f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=logxa=f（）=f（）=f（）（1，0），b=f（）=f（）=f（）=1，c=f（）=f（）=1；bac，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，对数的运算性质，难度中档7（2016北京模拟）已知定义
11、在R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（x）=xsinx，若不等式f（4t）f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，0）C（，0）（，+）D（，）（，+）【考点】函数恒成立问题【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据函数的单调性问题转化为2mt2+4t+m0，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，求出m的范围即可【解答】解：由f（x）=xsinx，可得f（x）=1cosx0，故f（x）在0，+）上单调递增，再由奇函数的性质可知，f（x）在R上单调递增，由f（4t）f（2mt2+m），可得4t2mt2+m，即2mt2+4t+m0，当m=0时，不
12、等式不恒成立；当m0时，根据条件可得，解之得，综上，m（，），故选：A【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题8（2016秋天津期中）设N*且15，则使函数y=sinx在区间，上不单调的的个数是（）A6B7C8D9【考点】三角函数的最值【专题】分类讨论；分类法；三角函数的图像与性质【分析】使函数y=sinx在区间，上不单调，只需对称轴在，即可【解答】解：根据正弦函数图象及性质：对称轴方程为x=+k，（kZ）解得：x=+，（kZ）函数y=sinx在区间，上不单调，+，（kZ），解得：1.5+3k2+4k，（kZ）由题意：N*且15，当k=0时，1.52，此时没有正整数
13、可取；当k=1时，4.56，此时可以取：5；当k=2时，7.510，此时可以取：8，9；当k=3时，10.514，此时可以取：11，12，13；当k=4时，13.518，此时可以取：14，15；N*且15，y=sinx在区间，上不单调时，可以4个数，即5，8，9，11，12，13；14，15故选：C【点评】本题考查了正弦函数图象及性质的灵活运用，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目二填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（2016秋天津期中）函数f（x）=xex在极值点处的切线方程为y=【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综
14、合应用【分析】求出导数，可得极值点和单调区间，求得极值，再由切线的斜率，可得切线的方程【解答】解：函数f（x）=xex的导数为f（x）=ex+xex，由f（x）=0，可得x=1，当x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0可得x=1为极小值点，极值为在极值点处的切线斜率为0可得在极值点处的切线方程为y+=0，即为y=故答案为：y=【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和极值、单调区间，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题10（2013秋扬州期末）设Sn是等比数列an的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】设出等比数列的公比，
15、由已知求得，代入的展开式后得答案【解答】解：设等比数列an的公比为q（q0），由a5+2a10=0，得，a10，则=故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题11（2016秋天津期中）在ABC中，BAC=120，AB=AC=4，D为BC边上的点，且=0，若=，则（+）=8【考点】向量在几何中的应用【专题】计算题；平面向量及应用【分析】由题，已知BAC=120，AB=AC=4，可将问题转化为以向量与为基底的向量线性运算或者由=0分析得ADBC，且D为线段BC的中点，又根据=可得E为BD的中点，故问题转化为以向量与为基底的向量线性运算【解答】解：=0ADBC又AB
16、=AC=4，BAC=120D为BC的中点，且BAD=60，AD=2（+）=2=24cos60+22=8故填空：8【点评】考查平面向量基本定理，平面向量线性运算，属于基础题12（2014秋郑州期末）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为9【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy2+3，解关于的一元二次不等式可得【解答】解：x，y均为正数，且+=，=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy2+3，整理可得（）2230，解得3，或1（舍去）xy9，当且仅当x=y时取等号，故答案为：9【点评】本题考查基本不等式和不等式的解
17、法，属基础题13（2010秋梅州校级期末）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小90【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】将异面直线所成角转化成证明线面垂直，根据题目的条件很容易证得线面垂直，则异面直线互相垂直【解答】解：如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D若，B1ABD，B1AC1D，BDC1D=DB1A面C1DB，而C1B面C1DBB1AC1B，故答案为90【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题14（2016秋天津期中）设0a1，函数f（x）=x+1，g（x）=x2lnx，若对任意的x11，
18、e，存在x21，e都有f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围是22ln2，1【考点】函数的最值及其几何意义【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用【分析】求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围【解答】解：求导函数，可得g（x）=1，x1，2，g（x）0，x（2，e，g（x）0，g（x）min=g（2）=22ln2，令f（x）=0，0a1，x=，当0a1，f（x）在1，e上单调增，f（x）min=f（1）=a22ln2，22ln2a1，故答案为22ln2，1【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对
19、任意的x11，e，存在x21，e都有f（x1）g（x2）成立，转化为对任意的x1，x21，e，都有f（x）ming（x）min三解答题（本大题共6小题，共80分）15（13分）（2016平度市模拟）已知函数f（x）=sinxcosxcos2x（0，xR）的图象上相邻两个最高点的距离为（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【专题】解三角形【分析】（）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出
20、的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可【解答】解：f（x）=sin2x（1+cos2x）=sin（2x）1，f（x）图象上相邻两个最高点的距离为，=，即=1，则f（x）=sin（2x）1，（）令+2k2x+2k，kZ，得到+kxk+，kZ，则函数f（x）的单调递增区间为+k，k+，kZ；（）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C）1=0，即sin（2x）=1，2C=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sin
21、A代入得：b=3a，由余弦定理及c=得：cosC=，整理得：10a27=3a2，解得：a=1，则b=3【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键16（13分）（2016春汕头校级期末）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金（百元）月资金最多供应量（百元）空调冰箱进货成本3020300工人工资510110每台利润68问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？【考点】
22、简单线性规划【分析】根据每月的资金供应量，我们先列出满足条件的约束条件，进而画出可行域，平移目标函数的变形直线，可得最优解【解答】解：设每月调进空调和冰箱分别为x，y台，总利润为 z（百元）则由题意得目标函数是 z=6x+8y，即y=x+平移直线y=x，当直线过P点时，z取最大值由得P点坐标为P（4，9）将（4，）代入得zmax=64+89=96（百元）即空调和冰箱每月分别调进4台和9台是商场获得的总利润最大，总利润最大值为9600元【点评】本题是简单线性规划题，其步骤是设，列，画，移，求，代，答17（13分）（2016春九江校级期末）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB
23、=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点（）证明MN平面PAB；（）求四面体NBCM的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN平面PAB（）取AC中点F，连结NF，NF是PAC的中位线，推导出NF面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体NBCM的体积【解答】证明：（）取BC中点E，连结EN，EM，N为PC的中点，NE
24、是PBC的中位线，NEPB，又ADBC，BEAD，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，BE=BC=AM=2，四边形ABEM是平行四边形，EMAB，平面NEM平面PAB，MN平面NEM，MN平面PAB解：（）取AC中点F，连结NF，NF是PAC的中位线，NFPA，NF=2，又PA面ABCD，NF面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，AMCG，四边形AGCM是平行四边形，AC=MG=3，又ME=3，EC=CG=2，MEG的高h=，SBCM=2，四面体NBCM的体积VNBCM=【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解
25、题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18（13分）（2016湖北校级模拟）已知单调递增的等比数列an满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（I）求数列an的通项公式；（）设bn=anlog2an，其前n项和为Sn，若（n1）2m（Snn1）对于n2恒成立，求实数m的取值范围【考点】数列的求和；对数的运算性质；数列递推式【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（）设出等比数列an的首项和公比，由已知列式求得首项和公比，则数列an的通项公式可求；（）把（）中求得的通项公式代入bn=anlog2an，利用错位相减法求得Sn，代入（n1）2m（Snn1），分
26、离变量m，由单调性求得最值得答案【解答】解：（）设等比数列的an首项为a1，公比为q由题意可知：，解得：或，数列为单调递增的等比数列，an=2n；（）bn=anlog2an =n2n，Sn=b1+b2+bn=121+222+n2n，2Sn=122+223+324+n2n+1，得：Sn=2+22+23+2nn2n+1=n2n+1=2n+12n2n+1，Sn=（n1）2n+1+2，若（n1）2m（Snn1）对于n2恒成立，则（n1）2m（n1）2n+1+2n1=m（n1）2n+1+1n对于n2恒成立，即=对于n2恒成立，=，数列为递减数列，则当n=2时，的最大值为m则实数m得取值范围为，+）【点评
27、】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了利用数列的单调性求最值，是中档题19（14分）（2016秋天津期中）已知函数f（x）=alnxx+1（aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）0在（0，+）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（nN，n1）【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；导数的综合应用【分析】（1）求导，利用导数得出函数单调性；（2）对a进行分类：当a0时，f（x）递减，又知f（1）=0可得f（x）0 （x（0，1）；当a0时，只需求f（x）max=f（a）=alnaa+1，让最大值小于等于零即可；（3）利用（2）的结论，对式子变形可
28、得=【解答】解：（1）f（x）=当a0时，f（x）0，f（x）递减；当a0时，x（0，a）时，f（x）0，f（x）递增；x（a+）时，f（x）0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a0时，f（x）递减，f（1）=0f（x）0在（0，+）上不恒成立，当a0时，x（0，a）时，f（x）0，f（x）递增；x（a+）时，f（x）0，f（x）递减；f（x）max=f（a）=alnaa+1令g（a）=alnaa+1g（a）=lnag（a）的最小值为g（1）=0alnaa+10的解为a=1；（3）由（2）知：lnxx1 x1=+=【点评】考察了导函数求单调性和最值问题，利用结论证明不等式问题难点是对式子的变
29、形整理20（14分）（2015中山二模）设等差数列an的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn+3=0，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Pn【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】（）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项an，运用n=1时，b1=T1，n1时，bn=TnTn1，求出bn；（）写出cn，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，由题意，得，解得，an=4n，Tn2bn+3=0，当n=1时，b1=3，当n2时，Tn12bn1+3=0，两式相减，得bn=2bn1，（n2）则数列bn为等比数列，； （）当n为偶数时，Pn=（a1+a3+an1）+（b2+b4+bn）= 当n为奇数时，（法一）n1为偶数，Pn=Pn1+cn=2（n1）+1+（n1）22+4n=2n+n2+2n1，（法二）Pn=（a1+a3+an2+an）+（b2+b4+bn1）= 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题
