1、12022 全国高考分类解析（10）数列 三、解答题：1（2022 年高考）已知函数2()1f xxx，是方程()0f x 的两个根()，()fx是()f x的导数设11a ，1()(1 2)()nnnnf aaanfa，（1）求，的值；（2）已知对任意的正整数n 有na，记ln(1 2)nnnabna，求数列 nb的前n 项和nS 【解析】(1)由 210 xx，得152x，152，152 (2)21fxx，221112121nnnnnnnaaaaaaa，222212211153515152122211535151521222nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa，12nn
2、bb ，又 1113515lnln4ln235aba，数列 nb是一个首项为 154ln2，公比为 2 的等比数列；154ln1 21524 21 ln1 22nnnS 22（2022 年高考）设数列na满足11a ，22a，121(2)3nnnaaa (3,4,)n 数列 nb满足11,(2,3,)nbb n是非零整数，且对任意的正整数 m 和自然数k，都有111mmm kbbb （1）求数列na和 nb的通项公式；（2）记(1,2,)nn ncna b n，求数列 nc的前n 项和nS 【解析】（1）由121()3nnnaaa得 1122()3nnnnaaaa (3)n 又 2110aa，
3、数列1nnaa 是首项为 1 公比为23的等比数列，1123nnnaa 12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa 222221 1333n 112183231255313nn ，由122221111,0bbbbZ b 得 21b ，由233331111,0bbbbZ b 得 31b ，同理可得当 n 为偶数时，1nb ；当 n 为奇数时，1nb ；因此1-1nb （2）11832553832553nnnnnnncna bnn 1234nnSccccc 当 n 为奇数时，0123188888322222(234)123455555533333nnSnn 012314132222
4、212345533333nnn 当 n 为偶数时 0123188888322222(234)1()2()3()4()()55555533333nnSnn 0123143222221()2()3()4()()5533333nnn 令01231222221()2()3()4()()33333nnTn 23得：12342222221()2()3()4()()333333nnTn -得：1234112222221()()()()()()3333333nnnTn 21()223()33()23313nnnnn，29933nnTn，当 n 为奇数时当 n 为偶数时当 n 为奇数时当 n 为偶数时3因此93
5、4232()553934272()553nnnnnSnn 3（2022 年高考）已知点1(1,)3是函数()(0,1)xf xa aa且的图像上一点等比数列 na的前n 项和为()f nc数列(0)nnbb 的首项为c 且前n 项和nS 满足11(2)nnnnSSSSn（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）若数列11nnb b 的前n 项和为nT，问满足nT 10002009的最小正整数n 是多少？【解析】（1）113fa，1()()3xf x 1113afcc，221afcfc29，323227afcfc 又数列 na成等比数列，22134218123327aaca，1c 又公比211
6、3aqa，所以12 11()2()3 33nnna ，*nN；1111nnnnnnnnSSSSSSSS 2n，又0nb，0nS，11nnSS；数列nS构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列，111nSnn ，2nSn，当2n，221121nnnbSSnnn ，21nbn(*nN)（2）1 22 33 411111nnnTbbb bb bb b L11111 33 55 7(21)21nn 111 111 111111232 352 572 2121nnK 11122121nnn；由1000212009nnTn，得10009n，满足10002009nT 的最小正整数为112 当 n 为奇数时
7、当 n 为偶数时44（2022 年高考）设 b0，数列na满足ba 1，)2(111nnanbaannn（1）求数列na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，121 nnba 【解析】11(2)22nnnnbaanan，112(1)nnnna ananba，12(1)1nnnnab ab，当1b时，111nnanan，当2n时，nan是以1111 ba为首项，公差为 1 的等差数列，nnann)1(1，1na 11 a也符合，1na，Nn 当1b时，令tantanbnn11)(，)1(11btananbnn，bt 11，banbanbnn111)11(1 bbanbannn1111)11(
8、1，当2n时，bann11是以)1(11111111bbbbba为首项，公比为 b1 的等比数列，1)1()1(111nnbbbban，nnnbbbna1)1(ba 1也符合，nnnbbbna1)1(，Nn 综上：当1b时，1na，Nn 当1b时，nnnbbbna1)1(，Nn（2）证明：当1b时，1na，11 1 12nb 对于一切正整数n，121nnab 当1b时，nnnbbbna1)1(，要证121nnab 5 即证11)1(21 nnnbbbbn 即证nnbbbbn1112 即证nnnbbbbbbn112122 即证nbbbbbbnnn2)1)(1(122 设)1)(1(122 nnn
9、bbbbbbS，)1111()(2132bbbbbbbbSnnnn )1()1()1()1(3322nnbbbbbbbb 根据均值不等式得：nnbbbbbbbbS121212123322 n22222 当1b时，对于一切正整数n，121 nnba 综上：对于一切正整数n，121 nnba 65（2022 年高考）设数列na的前n 项和为nS，数列nS的前n 项和为nT，满足2*2nnTSnnN，（1）求1a 的值；（2）求数列na的通项公式【解析】（1）当1n 时，1121TS，111aST，21121aa，11a ，(2)当2n 时，2211(22(1)nnnnnSTTSnSn)-12()21nnSSn221nan，当2n 时，11(22122(1)1nnnnnaSSanan)-122nnaa，122(2)nnaa，数列2na 是以123a 为首项，2 为公比的等比数列，123 2nna，13 22nna，1 113 22na ，13 22nna，*nN
