1、五复数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.在复平面内,复数z=2i-i2对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.复数z=2i-i2=1+2i对应的点为(1,2),在第一象限.2.设z=a+bi(a,bR)对应的点在虚轴右侧,则()A.a0,b0B.a0,b0,aRD.a0,bR【解析】选D.复数对应的点在虚轴右侧,则该复数的实部大于零,虚部可为任意实数.3.设复数z=(3m-2)+(m-1)i(mR,i为虚数单位),在复平面内对应的点不可能位于()A.第一象限B.第二象限
2、C.第三象限D.第四象限【解析】选B.设复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内的对应点为P(3m-2,m-1).当m1时,P在第一象限;当m时,P在第三象限;当m1时,P在第四象限;当m=时,P在虚轴上;当m=1时,P在实轴上.4.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为()A.5B.-2C.-5D.2【解析】选A.设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为,(O为坐标原点),则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).因为A,B,C三点共线,所以=t+(1-t),即(3,-5)=t(1,-1)+(1-t)(-2,a).所以解得即
3、a的值为5.5.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于()A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i【解题指南】先确定复平面内点的坐标,再求其关于实轴的对称点的坐标,得到共轭复数.【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2-i.6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,bR的说法正确的是()A.=a-biB.若=z,则b=0C.若|z|=0,则z=0D.若|z|0,则ab0【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,bR,得=a-bi,选项A正确;若=z,则a+bi=a-bi,b=-b,所以b=0
4、,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C正确;若|z|0,则a2+b20,所以a、b至少有一个不为0,选项D不正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知复平面内,点(2cos 300,2sin 300)对应的复数为z,则z=_,|z|=_.【解析】由点的坐标(2cos 300,2sin 300),得(1,-),对应的复数为z=1-i,|z|=2.答案:1-i28.已知z=(m+3)+(m-1)i,(mR),在复平面内对应的点为P,则当P在第三象限时,m的取值范围为_,当P在第四象限时,m的取值范围为_.【解析】当P点在第三象限时,解得m-3;当P点在第四
5、象限时,解得-3m1.答案:(-,-3)(-3,1)【补偿训练】已知i为虚数单位,复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=_.【解析】因为z1=2-3i,所以z1对应的点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3),所以z2=-2+3i.答案:-2+3i三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知z=x+yi,x,yR,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求:(1)实数x,y的值;(2).【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,由复数相等的充要条件得解得.(2)=x-yi=3+2i.10.已知复数z=x+y
6、i(x,yR)满足|(x+1)+(y-1)i|=1,求|z|的最大值和最小值.【解题指南】由题意容易判断出z对应点的轨迹是圆,结合点与圆的位置关系求出|z|的最值.【解析】设复数z对应的点为Z,由|(x+1)+(y-1)i|=1得(x+1)2+(y-1)2=1,所以动点Z的轨迹是以(-1,1)为圆心,半径为1的圆,所以复数z对应的点的轨迹是以-1+i对应的点为圆心,以1为半径的圆,如图,而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离,由平面几何知识可知,使圆上的点到原点距离取最大(最小)值的点在直线OC与圆的交点处.所以|z|最大值为|OC|+r=+1,最小值为|OC|-r=-1.(35分钟70分)一
7、、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.过原点和-i对应的点的直线的倾斜角是()A.B.-C.D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tan =-(00,cos 10,根据复数的几何意义即得答案.【解析】选A.由题意,根据公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位),令x=1,则ei=cos 1+isin 1,又由sin 10,cos 10,所以复数ei=cos 1+isin 1表示的点位于第一象限.【补偿训练】已知复数z=3+4i所对应的向量为,把依逆时针旋转得到一个新向量为,若对应一个纯虚数,当取最小正角时
8、,这个纯虚数是()A.3iB.4iC.5iD.-5i【解析】选C.因为=5,由于新向量对应的点Z1在虚轴上,则新向量=(0,5),即新向量对应的复数是5i.3.(多选题)在复平面内,下列关于复数的叙述正确的是()A.原点对应的复数是0B.纯虚数对应的点在虚轴上C.实轴上的点对应的复数是实数D.虚轴上的点对应的复数是虚数【解析】选ABC.复平面内,原点对应的复数是0,选项A正确;纯虚数对应的点在虚轴上,选项B正确.实轴上的点对应的复数是实数,选项C正确.虚轴上除原点以外的点对应的复数是虚数,选项D错误.4.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+tan Bi对应的点
9、位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B,即A-B,sin Acos B.cos B-tan A=cos B-cos B-sin A0,所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在复平面内,点(2,3)对应的复数的共轭复数为_.【解析】在复平面内,点(2,3)对应的复数为z=2+3i,共轭复数为=2-3i.答案:2-3i6.复数z1=3与z2=2-i对应的两点间的距离为_.【解析】复数z1=3与z2=2-i对应的两点Z1(3,0),Z2(2,-)间的距离为|Z1
10、Z2|=2.答案:27.已知z=x+yi(x,yR),且(x-|z|)+yi=-1+i,则复数z=_.【解析】由题意得(x-)+yi=-1+i,所以解得所以z=i.答案:i8.设(sin -1)+(sin -cos )i对应的点在直线x+y+1=0上,则tan 的值为_.【解析】(sin -1)+(sin -cos )i的对应点为(sin -1,sin -cos ),由点(sin -1,sin -cos )在直线x+y+1=0上,得sin -1+sin -cos +1=0,即2sin =cos ,所以tan =.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i
11、,对应的复数为2a+i(aR).若与共线,求a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.10.(12分)设z=log2(1+m)+ilo (3-m)(mR).(1)若z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.【解析】(1)由已知,得解得,-1m0.解得,m2.故不等式组的解集为-1m0,所以m的取值范围是-1m0,且3-m0,所以m=1.11.(14分)设复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x、aR,当x在(-,+)内变化时,求|z|的最小值g(a).【解析】|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.令t=2x+2-x,则t2,且22x+2-2x=t2-2.从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2,当-a2,即a-2时,g(a)=;当-a-2时.g(a)=|a+1|.综上可知,g(a)=
