1、3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 第1课时 函数的概念(一)第三章 函数的概念与性质 学 习 任 务核 心 素 养1在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念(难点)2体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用3了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域(重点)1通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养2通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.情境导学探新知 NO.1(1)国家统计局的课题组公布，如果将 2005 年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示年度2012 2013 2014 2015 2016
2、 2017 2018 2019中国创新指数 148.2 152.6 158.2 171.5 189.5 196.3 212.0 228.3以 y 表示年度值，i 表示中国创新指数的取值，则 i 是 y 的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)如果用 t 表示测量的时间，v 表示测量的指标值，则 v 是 t 的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？知识点 函数的概念定义一般地，设 A，B 是非空的_，如果
3、对于集合 A中的_，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有_的数 y 和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数对应关系yf(x)，xA定义域_的取值范围三要素值域与 x 的值相对应的 y 的函数值的集合_实数集任意一个数x唯一确定自变量xf(x)|xA1.在函数的概念中，如果 yf(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？提示 确定2.如果 yf(x)的定义域与值域确定，那么对应关系确定吗？提示 不确定如函数的定义域为1,0,1，值域为0,1，则对应关系可以为 f(x)x2，或 f(x)|x|.理解函数的概念应关注三点(1)函数的定义中有“三性”：任
4、意性、存在性、唯一性，即对于非空数集 A 中的任意一个(任意性)数 x，在非空数集 B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的数 y 与之对应，这三性只要有一个不满足便不能构成函数(2)yf(x)仅是函数的一个符号，不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”，f(x)也未必有解析式(3)除 f(x)外，还常用 g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)根据函数的定义，定义域中的任意一个 x 可以对应着值域中不同的 y.()(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系()(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合()(4)在函数的定义中，集合 B 是函数的值
5、域()答案(1)(2)(3)(4)2.下图中能表示函数关系的是_(填序号)答案 合作探究释疑难 NO.2类型1 函数关系的判断 类型2 求函数值 类型3 求函数的定义域 类型 1 函数关系的判断【例 1】(1)设 Mx|0 x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：其中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的个数是()A0 B1 C2 D3(2)(多选)下列对应关系是实数集 R 上的函数的是()Af：把 x 对应到 3x1Bg：把 x 对应到|x|1Ch：把 x 对应到1xDr：把 x 对应到 x(1)B(2)AB(1)图不满足定义域 Mx|0 x2；图不满足集合 Ny|0y2；图不满足函数的
6、定义，如 x1 时对应两个不同的 y 值(2)A，B 满足题意，C 中当 x0 时不满足，D 中当 x0，对应法则 f：对 A 中元素求面积与 B中元素对应解(1)对于 A 中的元素 0，在 f 的作用下得 0，但 0 不属于 B，即 A 中的元素 0 在 B 中没有元素与之对应，所以不是函数(2)对于 A 中的元素1，在 f 的作用下与 B 中的 1 对应，A 中的元素2，在 f 的作用下与 B 中的 4 对应，所以满足 A 中的任一元素与 B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数(3)对于 A 中的任一元素，在对应关系 f 的作用下，B 中都有唯一的元素与之对应，如1 对应 1，2
7、对应 4，所以是函数(4)集合 A 不是数集，故不是函数类型 2 求函数值【例 2】(对接教材 P67 练习 T2)设 f(x)2x22，g(x)1x2，(1)求 f(2)，f(a3)，g(a)g(0)(a2)，g(f(2)；(2)求 g(f(x)解(1)因为 f(x)2x22，所以 f(2)222210，f(a3)2(a3)222a212a20.因为 g(x)1x2，所以 g(a)g(0)1a2 102 1a212(a2)g(f(2)g(10)1102 112.(2)g(f(x)1fx212x22212x24.函数求值的方法(1)已知 f(x)的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得
8、 f(a)的值(2)求 f(g(a)的值应遵循由里往外的原则跟进训练2已知 f(x)x32x3，求 f(1)，f(t)，f(2a1)和 f(f(1)的值解 f(1)132136；f(t)t32t3；f(2a1)(2a1)32(2a1)38a312a210a；f(f(1)f(1)32(1)3)f(0)3.类型 3 求函数的定义域【例 3】(对接教材 P67 练习 T1)求下列函数的定义域：(1)f(x)2 3x2；(2)f(x)(x1)02x1；(3)f(x)3x x1；(4)f(x)x12x1 1x.从 f(x)有几部分组成，是否含有分母、开偶次方根、x0 等角度思考f(x)有意义的条件，进而
9、进行解答解(1)当且仅当 x20，即 x2 时，函数 f(x)2 3x2有意义，所以这个函数的定义域为x|x2(2)函数有意义，当且仅当x10，2x10，x10，解得 x1 且 x1，所以这个函数的定义域为x|x1 且 x1(3)函数有意义，当且仅当3x0，x10，解得 1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3(4)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足x10，1x0，解得x1 且 x1，即函数定义域为x|x1 且 x1求函数定义域的常用方法(1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零(2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零(3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算
10、有意义的实数集合(4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集(5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟进训练3求函数 y 2x23x214x的定义域解 要使函数有意义，只需2x23x20，4x0，4x0，即x12或x2，x4，x4，x12或 2x4，函数的定义域为xx12或2x0 得 x1，所以函数的定义域为x|x12函数 y1x1的定义域是()Ax|x1 Bx|1x1Dx|1x01 2 3 4 5 AD 结合函数的定义可知 AD 正确3(多选)下列关于函数 yf(x)的说法正确的是()Ay 是 x 的函数Bx 是 y 的函数C对于
11、不同的 x，y 也不同Df(a)表示 xa 时，f(x)的函数值是一个常数1 2 3 4 5 18 98 f(x)11x2，f(3)11918.f(2)112213，f13 1113298.4若 f(x)11x2，则 f(3)_，f(f(2)_.5 1 2 3 4 结合函数的定义可知 y|x|.5已知集合 M1,1,2,4，N1,2,4，给出下列四个对应关系：yx2，yx1，yx1，y|x|，其中能构成从 M 到 N的函数的是_(填序号)回顾本节知识，自我完成以下问题：1判断一个对应关系是否为函数的条件是什么？提示(1)A，B 必须是非空实数集(2)A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与
12、之对应2f(x)与 f(a)相同吗？两者存在怎样的联系？提示 f(a)表示当 xa 时，函数 f(x)的值，是一个常量，而 f(x)是自变量 x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是 f(x)的一个特殊值，如一次函数 f(x)3x4，当 x8 时，f(8)38428 是一个常数3求函数 yf(x)的定义域常注意哪些问题？提示(1)分母是否为零；(2)被开偶次方数是否非负；(3)x0 中 x是否为 0；(4)实际意义数学阅读拓视野 NO.4函数定义的演变过程简介在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时
13、间“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系欧拉于 1734 年首先使用字母 f 表示函数，欧拉在他的著作微分学中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数1851 年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定 z 是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值如果对它的每一个值，都有未知量 w的唯一的一个值与之对应，则 w 称为 z 的函数人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法1939 年，法国布尔巴基学
14、派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设 E 和 F 是两个集合，它们可以不同，也可以相同E 中的变元 x 和 F 中的变元 y 之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个 xE，都存在唯一的 yF，它满足与 x 给定的关系，称这样的运算为函数它以上述方式将与 x 有给定关系的元素 yF 与每一个元素xE 相联系称 y 是函数在元素 x 处的值，函数值由给定的关系所确定两个等价的函数关系确定同一个函数人们通常称这样的定义为“关系说”后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设 F 是定义在集合 X 和 Y 上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个 xX，都存在唯一的 yY，使得(x，y)F.这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了可以看出，上述函数的定义越来越严格，抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱在数学学习过程中，如果我们能借助直观来理解有关概念和结论，可能会有事半功倍的效果为了形象地理解函数的概念，有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合是函数的定义域，所有输出的集合是函数的值域，如下图所示你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗？如果条件容许的话，去查阅更多的有关资料吧！点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
